“萬能”的梯形面積公式

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“萬能”的梯形公式

武勝縣龍庭鄉小學 謝海波

長期的六年級數學教學，每一次給學生整理復習資料時，平面圖形

的面積是一個大的知識板塊。正是這些復習與總結，不能總是對原有

的知識進行線性的重復，也不是對原有的知識點重新講解一遍，而是

要有所創新，要讓學生有新的領悟、新的收獲。正是基于此，在學生

學習完小學階段平面圖形面積計算的時候，我就可以來一個創新，來

一次總結，來一次融通，讓學生的思維來個飛躍。

眾所周知，如果梯形的上底為a，下底為b，高為h，那么，它的面積

公式：S= (a+b)h

我們可以把長方形看作特殊的梯形，特殊在上下底相等。如果上底為

a，下底也為a，高為b，因此S= (a+a)b

=×2a×b

=ab

S=ab也是長方形的面積公式！

當我們把正方形看作特殊的梯形時，那么這個梯形的上底是a，下底是

a，高是h，在正方形中，四條邊相等，所以a=h所以

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S=(a+a)h

=×2ah

=a

2

當我們把三角形看作特殊的梯形時，三角形的上為0，下底

為a,高為h,則三角形的面積就是：

S=(0+a)h

=ah

平行四邊形是長方形的變形，當平行四邊形上

底為a，下底也為a，高為h，S=(a+a)h

=×2ah

=ah

圓也是特殊的梯形，只不過上底為0，下底為圓周長

（2πr），高為r，那么S=×(0+2πr)×r

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=×2πr×r

=πr

2

扇形形狀類似于三角形，當圓心角為，上底為0，下

底×2πr，高為r，則S=(0+×2πr)×r

××2πr =

πr =

2

2

外圓半徑為R，內圓為r，圓環其實就是變形

的梯形，上底為內圓周長，下底為外圓周長，高為內外圓半徑之差，

S=×(2πR+2πr)(R-r)

=×2π×(R+r)(R-r)

=π(R－r)

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扇環是圓環的一部分，更是變形的梯形。上底為外扇

環弧長，下底為內扇環弧長，高為外扇半徑與內扇半徑之差。所以

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S=×（×2πR+×2πr)(R+r)

=××2π(R-r)(R+r)

=×π(R-r)

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大家聽過數學王子高斯小時候的故事嗎？有一次，他的老師出了

這樣一道題目：1＋2＋3＋4＋…＋97＋98＋99＋100=?同學們都老老實

實地埋頭計算，只有聰明的小高斯很快就報出了答案：5050。

其實小高斯所做的題屬于等差數列。而等差數列是常見數列的一

種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個

常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，

公差常用字母d表示。

Sn=[（首項+末項）×項數]

Sn=[（a1+an）×n]

公式中首項為a1，末項為an，項數為n，公差為d，前n項和為Sn。

由此可見，梯形面積公式真的是“萬能”的！

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