二次三項式分解因式!!(有答案詳解!!)

十字相乘法分解二次三項式因式

總結知識歸納

對于首項系數是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式

x?(a?b)x?ab?x?ax?b

2

????

進行因式分解。掌握這種方法的關鍵是確定適合條件的兩個數，即把

常數項分解成兩個數的積，且其和等于一次項系數。

對于二次三項（a、b、c都是整數，且）來說，如果存在四個整數

ax?bx?c

2

a?0

a，c，a，c

1122

滿足，并且，那么二次三項式即

aa?a，cc?c

1212

ac?ac?b

1221

ax?bx?c

2

aax?ac?acx?cc

12122112

2

??

可以分解為。這里要確定四個常數，

????

ax?cax?c

1122

a，c，a，c

1122

分析和嘗試都要比首項系數是1的類型復雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。

下面我們一起來學習用十字相乘法因式分解。

1. 在方程、不等式中的應用

例1. 已知：，求x的取值范圍。

x?11x?24?0

2

分析：本題為二次不等式，可以應用因式分解化二次為一次，即可求解。

解：

?x?11x?24?0

2

?x?3x?8?0

????

??

x?3?0x?3?0

?

??

或

x?8?0x?8?0

??

?x?8x?3

或

例2. 如果能分解成兩個整數系數的二次因式的積，試求m的值，并把這個

x?x?mx?2mx?2

432

多項式分解因式。

分析：應當把分成，而對于常數項-2，可能分解成，或者分解成，由此

xx?x

422

????

?1?2?2?1

分為兩種情況進行討論。

解：（1）設原式分解為，其中a、b為整數，去括號，得：

????

x?ax?1x?bx?2

22

432

x?a?bx?x?2a?bx?2

????

將它與原式的各項系數進行對比，得：

a?b??1，m?1，2a?b??2m

解得：

a??1，b?0，m?1

此時，原式

?x?2x?x?1

????

22

（2）設原式分解為，其中c、d為整數，去括號，得：

????

x?cx?2x?dx?1

22

432

x?c?dx?x?c?2dx?2

????

- 1 -

將它與原式的各項系數進行對比，得：

c?d??1，m??1，c?2d??2m

解得：

c?0，d??1，m??1

此時，原式

?x?2x?x?1

????

22

2. 在幾何學中的應用

例. 已知：長方形的長、寬為x、y，周長為16cm，且滿足

x?y?x?2xy?y?2?0

，求長方形的面積。

22

分析：要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。

解：

?x?y?x?2xy?y?2?0

22

?x?2xy?y?x?y?2?0

??

22

2

??

?(x?y)?x?y?2?0

??

?x?y?2x?y?1?0

????

或

?x?y?2?0

x?y?1?0

又

?x?y?8

?

??

??

x?y?2?0x?y?1?0

??

x?y?8x?y?8

或

解得：或

??

??

x?5x?3.5

??

y?3y?4.5

63

4

∴長方形的面積為15cm或

2

cm

2

4. 在代數證明題中的應用

例. 證明：若是7的倍數，其中x，y都是整數，則是49的倍數。

4x?y

8x?10xy?3y

分析：要證明原式是49的倍數，必將原式分解成49與一個整數的乘積的形式。

22

證明一：

8x?10xy?3y?2x?3y4x?y

????

22

22x?3y?4x?6y?4x?y?7y

??

∵是7的倍數，7y也是7的倍數（y是整數）

4x?y

∴是7的倍數

22x?3y

??

而2與7互質，因此，是7的倍數，所以是49的倍數。

2x?3y

8x?10xy?3y

證明二：∵是7的倍數，設（m是整數）

4x?y

4x?y?7m

則

y?4x?7m

22

又∵

8x?10xy?3y?2x?3y4x?y

????

22

?2x?12x?21m4x?4x?7m?7m14x?21m?49m2x?3m

????????

- 2 -

∵x，m是整數，∴也是整數

m2x?3m

??

所以，是49的倍數。

8x?10xy?3y

22

中考點撥

例1. （2000·湖北）

把分解因式的結果是________________。

4xy?5xy?9y

42222

解：

4xy?5xy?9y

42222

?y4x?5x?9

242

?y4x?9x?1

?yx?12x?32x?3

222

22

??

????

??

????

說明：多項式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續分解徹底。

例2. （2000·甘肅）

因式分解：_______________

6x?7x?5?

2

2

解：

6x?7x?5?2x?13x?5

????

說明：分解系數時一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯誤。

題型展示

例1. 若能分解為兩個一次因式的積，則m的值為（ ）

x?y?mx?5y?6

22

A. 1 B. -1 C. D. 2

?1

22

解：

x?y?mx?5y?6?x?yx?y?mx?5y?6

????

-6可分解成或，因此，存在兩種情況：

????

?2?3?3?2

（1）x+y -2 （2）x+y -3

x-y 3 x-y 2

由（1）可得：，由（1）可得：

m?1m??1

故選擇C。

說明：對二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積，再通過待定系

數法確定其系數，這是一種常用的方法。

例2. 已知：a、b、c為互不相等的數，且滿足。

??????

a?c?4b?ac?b

求證：

a?b?b?c

證明：

?a?c?4b?ac?b

??????

- 3 -

2

2

?a?c?4b?ac?b?0

??????

?a?2ac?c?4bc?4ac?4ab?4b?0

222

2

?a?c?4ba?c?4b?0

????

?a?c?2b?0

??

?a?c?2b?0

?a?b?b?c

2

2

2

說明：抓住已知條件，應用因式分解使命題得證。

例3. 若有一因式。求a，并將原式因式分解。

x?5x?7x?a

32

x?1

解：有一因式

?x?5x?7x?a

32

x?1

∴當，即時，

x?1?0

x??1

x?5x?7x?a?0

32

?a?3

x?5x?7x?3

?x?x?4x?4x?3x?3

322

2

32

?xx?1?4xx?1?3x?1

??????

2

?x?1x?4x?3

??

??

?x?1x?1x?3

??????

?x?1x?3

????

2

說明：由條件知，時多項式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個因式是，分解時

x??1x?1

盡量出現，從而分解徹底。

x?1

實戰模擬

1. 分解因式：

（1） （2）

ab?16ab?39

22

15x?7xy?4y

（3）

????

x?3x?22x?3x?72

22

2

2nnn?12n?2

2. 在多項式，哪些是多項式

x?1，x?2，x?3，x?2x?3，x?2x?1，x?2x?3

- 4 -

222

????

x?2x?10x?2x?9

的因式？

22

42

3. 已知多項式有一個因式，求k的值，并把原式分解因式。

2x?x?13x?k

32

4. 分解因式：；

3x?5xy?2y?x?9y?4

22

5. 已知：，求的值。

x?y?0.5，x?3y?1.2

3x?12xy?9y

22

- 5 -

試題答案

1.

（1）解：原式

?ab?16ab?39?ab?3ab?13

??????

（2）解：原式

?3x?y5x?4y

????

nn?1nn?1

（3）解：原式

?x?3x?4x?3x?18?x?4x?1x?6x?3

????

????????

22

2

2.

解：

?xxxx

????

?2?10?2?9

22

42

?x?2x?9x?2x?1

????

????

2222

22

22

22

2

?x?2x?3x?2x?3x?2x?1x?2x?1

????????

?x?2x?3x?3x?1x?1x?2x?1

????

??????

∴其中是多項式

x?1，x?3，x?2x?3，x?2x?1

22

????

x?2x?10x?2x?9

的因式。

22

42

說明：先正確分解，再判斷。

3.

解：設

2x?x?13x?k?2x?1x?ax?b

??

??

322

3232

則

2x?x?13x?k?2x?2a?1x?a?2bx?b

????

?

2a?1??1

?

?a?2b??13

?

?

b?k

?

?

a??1

?

解得：

?

b??6

?

k??6

?

且

?k??6

2x?x?13x?6?2x?1x?x?6?2x?1x?3x?2

????????

??

322

說明：待定系數法是處理多項式問題的一個重要辦法，所給多項式是三次式，已知有一個一次因式，

則另一個因式為二次式，由多項式乘法法則可知其二次項系數為1。

4.

解：簡析：由于項數多，直接分解的難度較大，可利用待定系數法。

設

3x?5xy?2y?x?9y?4

?3x?y?mx?2y?n

????

?3x?5xy?2y?m?3nx?2m?ny?mn

????

22

22

- 6 -

?

m?3n?1

?

比較同類項系數，得：

?

2m?n?9

?

mn??4

?

?

m?4

解得：

?

n??1

?

?3x?5xy?2y?x?9y?4?3x?y?4x?2y?1

22

????

5.

解：

3x?12xy?9y

22

22

?3x?4xy?3y

??

?3x?yx?3y

????

?x?y?x?y?

0.5，31.2

??3?0.5?1.2?1.8

原式

說明：用因式分解可簡化計算。

- 7 -