博弈論書后習(xí)題

博弈論書后習(xí)題

3.在下圖所?的標(biāo)準(zhǔn)式表述的博弈中，哪些戰(zhàn)略不會(huì)被重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略所剔除？純戰(zhàn)略納什均衡?是什么？

參與者2

參與者1 L

C M

T

B

R

5.(投票博弈)設(shè)有三個(gè)參與者)3,2,1(=i 要在三個(gè)項(xiàng)?（A,B 和C ）中投票選出?個(gè)。三個(gè)參與者同時(shí)投票，不允許棄權(quán)。因

此，三個(gè)參與者的戰(zhàn)略空間為)3,2,1}(,,{==i C B A S i 。得票最多的項(xiàng)?被選中。如果沒(méi)有任何項(xiàng)?得到多票數(shù)，那么項(xiàng)?A 就

被選中。某個(gè)項(xiàng)?被選中后三個(gè)參與者的收益函數(shù)如下：

2)()()(321===C u B u A u 1)()()(321===A u C u A u 0)()()(321===B u A u C u

（1） 寫出此博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表達(dá)；

（2） 求出此博弈的純戰(zhàn)略納什均衡。

7.倆?分?塊蛋糕，每個(gè)?獨(dú)?地提出??想要的份額。設(shè)1s 為參與者1想要的份額，

2s 為參與者2想要的份額，1s ，2s 的可?集為[0，1]。分配規(guī)則是，如果1s s 21≤+，那

么每?均能得到??想要的份額，如果1s s 21>+，那么倆?什么也得不到，試證明：在此博弈中，任何滿?關(guān)系式1s s *

2*

1=+的戰(zhàn)略組合（*

2*

1s s ，）都是博弈的純戰(zhàn)略納什均衡。

13.

求下圖所?標(biāo)準(zhǔn)式表述的博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡。

參與者1

參與者2

L

R D

U

C

15.?雞博弈故事的?種版本是，兩個(gè)?相遇在?個(gè)獨(dú)?橋上，每個(gè)?要選擇是??先過(guò)還是讓對(duì)?先過(guò)。如果兩個(gè)?選擇T

（表?“強(qiáng)硬”，??要先過(guò)），那么他們將在橋中間頂?，甚?掉如?中，這時(shí)每個(gè)?得到的效?為-1；如果兩個(gè)?均選擇W

（表?“軟弱”，

讓對(duì)?先過(guò)），那么他們都將在橋頭等待，這時(shí)每個(gè)?得到的效?為0；如果?個(gè)?選擇T ?另?個(gè)?選擇W，那么選擇T的?

將先過(guò)河，得到的效?為2，選擇W的?將后過(guò)河，得到的效?為1。（有??稱這?博弈為“鷹鴿博弈”。他們將戰(zhàn)略T解釋

為“鷹派”，將戰(zhàn)略W 解釋為“鴿派”）

（1）求此博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡；

（2）如果再補(bǔ)充?個(gè)信息：兩個(gè)?是?男??。你認(rèn)為此博弈的兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡，哪?個(gè)應(yīng)作為聚焦均衡？

第?章

1.參與者1(丈夫)和參與者2(妻?)必須獨(dú)?地決定出門郊游時(shí)是否帶上?傘。他們知道下?的概率是50%。每個(gè)?的收益如

下：如果只有??帶傘，下?時(shí)帶傘者的效?為-

2.5，不帶傘者（沾點(diǎn)光）的效?為-3；不下?時(shí)帶傘者的效?為-1,不帶傘者的效?為0。如果兩個(gè)都帶傘，下?時(shí)每?的效應(yīng)

為-2，不下?時(shí)每?的效?為-1。如果兩?都不帶傘，下?時(shí)每?的效?為-5，不下?時(shí)每?的效?為1。試就下列三種情況

給出博弈的擴(kuò)展式表述（博弈樹）和標(biāo)準(zhǔn)式表述（收益的雙變量矩陣）。

(1)兩?出門前都不知道是否會(huì)下?，并且兩?同時(shí)決定是否帶傘，即每??在決

策時(shí)都不知道對(duì)?的決策；

(2)兩?出門前都不知道是否會(huì)下?，但參與者1先決策，參與者2在觀察到參與

者1是否帶傘后再?zèng)Q定??是否帶傘；

(3) 參與者1出門前知道是否會(huì)下?，參與和2不知道，但參與者1先決策，參與者2決策。

5.在?個(gè)由三寡頭壟斷競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)中，市場(chǎng)需求函數(shù)由Q P -=100給出，這?

321q q q Q ++=，其中i q 表?企業(yè)i 的產(chǎn)量（3,2,1=i ）。已知三個(gè)企業(yè)?產(chǎn)的邊際成本

為2，并且沒(méi)有固定成本。

（1）各企業(yè)按下述順序進(jìn)?產(chǎn)量決策：①企業(yè)1和企業(yè)2先同時(shí)選擇產(chǎn)量1q 、2q ；②企業(yè)3觀測(cè)到1q 、2q ，再選擇產(chǎn)量3q 。

求此博弈的?博弈精煉解（各企業(yè)均衡產(chǎn)量和利潤(rùn)）。

（2）各企業(yè)按下述順序進(jìn)?產(chǎn)出決策：①企業(yè)1選擇產(chǎn)量1q ；②企業(yè)2和企業(yè)3觀測(cè)到1q ，并同時(shí)選擇產(chǎn)量2q 、3q 。求此博

弈的?博弈精煉解。

7.考慮如下雙寡頭壟斷市場(chǎng)帶戰(zhàn)略性投資博弈：企業(yè)1和企業(yè)2?前情況下的單位?產(chǎn)成本都是2=c 。企業(yè)1籌劃引進(jìn)?項(xiàng)新技

術(shù)可以使單位?產(chǎn)成本降低到1=c ，但引進(jìn)該項(xiàng)?技術(shù)需要的投資為f 。第?階段，企業(yè)1選擇是否投資；第?階段，企業(yè)2可

以觀察到企業(yè)1的決策，這時(shí)兩企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量（庫(kù)諾特博弈）。假定市場(chǎng)逆需求函數(shù)為

)(1421q q p +-=，這?21,q q 分別是企業(yè)1、2選擇的產(chǎn)量，p 是市場(chǎng)價(jià)格。問(wèn)投資f 處

于什么?平，企業(yè)1將會(huì)投資引進(jìn)新技術(shù)？

13.現(xiàn)將3.6.2?節(jié)討論的?限次重復(fù)庫(kù)諾特模型博弈稍加改變：將兩個(gè)企業(yè)擴(kuò)充為n 個(gè)企業(yè)，其他條件不變。

（1）如果在某?階段博弈中，除了企業(yè)i 之外，其余1-n 個(gè)企業(yè)都?產(chǎn)壟斷產(chǎn)量

2/)(c a q m -=的 平均產(chǎn)量n c a n q m 2/)(/-=，企業(yè)i 為了追求最?利潤(rùn)，它的最優(yōu)產(chǎn)

量i q 是多少？相應(yīng)的最?利潤(rùn)是多少？

（2）在?限次重復(fù)博弈中，n 個(gè)企業(yè)采取觸發(fā)戰(zhàn)略：?先?產(chǎn)量n c a n q m 2/)(/-=，此后繼續(xù)選擇?產(chǎn)n q m /，直到有?個(gè)企

業(yè)選擇偏離n q m /，然后永遠(yuǎn)選擇階段博弈的均衡產(chǎn)量（參見第2章思考題第8題）。問(wèn)貼現(xiàn)因?δ滿?什么條件，能使觸發(fā)戰(zhàn)

略組合構(gòu)成?個(gè)?博弈精煉納什均衡？

（3）當(dāng)n 充分?時(shí)，試就δ的變化趨勢(shì)，分析各個(gè)企業(yè)采取觸發(fā)戰(zhàn)略產(chǎn)?的默契合作難易程度。

第三章

1.考慮如下靜態(tài)貝葉斯博弈：①?然決定收益情況，由下圖)(a 或)(b 給出，選擇)(a 或)(b 的概率分別為p 或p 1；

②參與者1知道?然選擇了)(a 還是)(b ，但參與者2不知道；③參與者1和參與者2同時(shí)?動(dòng)（參與者1選擇T 或B ，同時(shí)參與者2

選擇L 或R ）。

（1）給出此博弈的擴(kuò)展式表述（博弈樹）； （2）求此博弈純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡。

參與者1

參與者2

L

R

B

T

（a ）

參與者1

參與者2

L

R B

T （b ）

第四章

1.對(duì)下列兩個(gè)擴(kuò)展式博弈，分別寫出其標(biāo)準(zhǔn)式表述形式，并且找出所有的純戰(zhàn)略納什均衡、?博弈精煉納什均衡以及貝葉斯均

衡。

(a)

3.考察下圖所?博弈。

（1）驗(yàn)證（D ，L ，R ′）是惟?的?博弈精煉納什均衡；

（2）運(yùn)?精煉貝葉斯均衡定義體現(xiàn)的要求1～4，檢驗(yàn)均衡戰(zhàn)略（D ，L ，R ′）和均衡推斷1~

=p 共同構(gòu)成博弈的精煉貝葉斯均衡；

（3）驗(yàn)證（A ，L ，L ′）和0=p 是博弈的?個(gè)納什均衡；

（4）驗(yàn)證（A ，L ，L ′）和0=p 滿?精煉貝葉斯均衡定義體現(xiàn)的要求1～３，但不滿?要求4，因此，（A ，L ，L ′）和0=p

不能構(gòu)成精煉貝葉斯均衡。

9. 思考下圖所?博弈（因?yàn)樵擃愋偷牟┺氖菨蔂栻v最先研究的，且博弈樹形狀像?匹馬，因此，此）博弈戲稱為“澤爾騰的

馬”）。

（1）檢驗(yàn)（A,D,L）和（B,D,R）是此博弈的納什均衡；

（2）求此博弈的?博弈精煉納什均衡；

（3）求此博弈的精煉貝葉斯均衡；

（4）求此博弈的序貫均衡。

11. 現(xiàn)將本章5.5.1討論不完全信息囚徒困境有限次重復(fù)博弈中的合作?為時(shí)，明智類型囚徒1和明智類型囚徒2博弈的收益矩陣

（如圖5-42所?）修改為下圖。

囚徒2

囚徒1

沉默沉默

坦?

坦?

這?，a>-1,b<-6.

（1）導(dǎo)出在?階段重復(fù)博弈中，第?階段選擇沉默的充分條件；

（2）導(dǎo)出在三階段重復(fù)博弈中，圖5-27是?個(gè)精煉貝葉斯均衡的均衡路徑的充分條件。