排列組合教案
第一部分 基本內容
一．課標要求：
1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題；
2．排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題；
3．二項式定理
能用計數原理證明二項式定理； 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
二．命題走向
本部分內容主要包括分類計數原理、分步計數原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數和組合數公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數及二項式系數和。
排列、組合不僅是高中數學的重點內容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數學的重點內容，也是高考每年必考內容，新高考會繼續考察。
考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結合出現在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預測2007年高考本部分內容一定會有題目涉及，出現選擇填空的可能性較大，與概率相結合的解答題出現的可能性較大。
三．要點精講
1．排列、組合、二項式知識相互關系表
2．兩個基本原理
（1）分類計數原理中的分類；
（2）分步計數原理中的分步；
正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。
3．排列
（1）排列定義，排列數
（2）排列數公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)；
（3）全排列列： =n!；
（4）記住下列幾個階乘數：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．組合
（1）組合的定義，排列與組合的區別；
（2）組合數公式：Cnm==；
（3）組合數的性質
①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
5．二項式定理
（1）二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
（2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
6．二項式的應用
（1）求某些多項式系數的和；
（2）證明一些簡單的組合恒等式；
（3）證明整除性。①求數的末位；②數的整除性及求系數；③簡單多項式的整除問題；
（4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+x2；（5）證明不等式。
第二部分 典型題
排列組合問題聯系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質特征，采用合理恰當的方法來處理。
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
1.認真審題弄清要做什么事
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
一.特殊元素和特殊位置優先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.
解:由于末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計數原理得
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件
練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
解一：分兩步完成；
第一步選兩葵花之外的花占據兩端和中間的位置
第二步排其余的位置：
解二：第一步由葵花去占位：
第二步由其余元素占位：
二.相鄰元素捆綁策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有種不同的排法
要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.
練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為 20
三.不相鄰問題插空策略
例3.一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？
解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數原理,節目的不同順序共有 種
元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端
練習題：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為 30
四.定序問題倍縮空位插入策略
例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：
(空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。
思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
（解析：首先，從10個人當中任選5個人站第一排，有C10 5 種，然后按從高到低排只有1種，即為C10 5*1=C10 5；
然后，剩下的5個人站第二排，按從高到低排只有1種。
所以，就為C10 5.）
五.重排問題求冪策略
例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種
練習題：
1．某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法
