知識點10：壓桿穩定
一、彈性平衡穩定性的概念
１．彈性體保持初始平衡狀態的能力稱為彈性平衡的穩定性。
２．受壓桿件保持初始直線平衡狀態的能力稱為壓桿的穩定性。
二、壓桿的臨界力
１．兩端鉸支細長壓桿歐拉〔Euler〕臨界力公式為。歐拉臨界力公式只適用于小變形、線彈性范圍內。
２．在臨界狀態兩端鉸支細長壓桿的彈性曲線方程為一個半波正弦方程：。由此利用“形狀比較法〞可求得不同約束下細長壓桿的臨界力。
３．桿端約束對臨界力的影響：
〔１〕不同桿端約束的壓桿的臨界力，可用解壓桿的撓曲線近似微分方程或用形狀比較法求
得。
〔２〕不同桿端約束細長壓桿臨界力的歐拉公式為，式中μ稱為計算長度〔或有效長度〕，μ稱為支座系數〔或長度系數〕。當壓桿在兩個慣性平面內的μ值不同時，計算臨界力應取較大的μ值。
〔３〕幾種常見桿端約束的支座系數：
４．臨界應力與柔度：
細長壓桿的臨界應力公式為，式中稱為壓桿的柔度，和壓桿的長度、約束情況、截面形狀及尺寸相關。
三、壓桿的分類與臨界應力總圖
１．柔度的分界值
；
式中a，b是與材料性質相關的常數，單位為ＭＰa。
２．壓桿的分類
壓桿根據其柔度的大小而分類，計算壓桿臨界應力時應先判斷是何類壓桿，然后選擇相應的臨界應力公式。壓桿可分為以下三類：
〔１〕細長桿〔λ≥λP〕：計算臨界應力用歐拉公式〔歐拉雙曲線公式〕；
〔２〕中長桿〔λs＜λ＜λP〕：計算臨界應力用經歷公式σcr＝a－bλ〔雅辛斯基直線公式〕；
〔３〕粗短桿〔λ≤λs〕：計算臨界應力用壓縮強度公式σcr＝σs〔或σb〕。
３．臨界應力總圖
臨界應力總圖如圖10－1所示。
四、壓桿穩定性的校核
１．進展壓桿穩定性的校核時，通常用平安系數法。在建筑等行業常用折減系數法。
２．工程中，考慮到壓桿的初曲率、載荷的偏心、材料的不均勻及失穩破壞的突發性等因素對壓桿臨界力的影響，因而規定的穩定平安系數大于強度平安系數。
３．對于截面有局部削弱〔如油孔等〕的壓桿，除校核穩定性外，還須對局部削弱處進展強度校核，其計算面積應是扣除孔洞削弱后的實際面積〔稱為凈面積〕。
４．壓桿的穩定性是對壓桿整體而言的，截面的局部削弱，對臨界力影響不大，故可不必考慮。
a．平安系數法
為了保證壓桿有足夠的穩定性，應使其工作壓力小于臨界力，或使其工作應力小于臨界應力，即
Ｆ＜Ｆcr 或 σ＜σcr
用平安系數來校核壓桿穩定性，其穩定性條件為
或
式中nW為壓桿實際穩定平安系數，［nW］為規定的穩定平安系數。
*b．折減系數法
用折減系數法進展壓桿穩定性校核時，引入穩定性的許用應力，壓桿的穩定條件為：
σ≤［σW］
［σW］常用根本許用應力［σ］來表示，即
［σW］＝?［σ］
式中?為與λ相關且小于等于１的系數，稱為折減系數，計算時可查有關手冊。
五、提高壓桿穩定性的措施
提高壓桿穩定性的措施可以從改善支承情況、減小壓桿長度〔或增加中間約束〕、選擇合理的截面形狀、使壓桿在各彎曲平面內的柔度相等〔等穩定性構造〕及合理選擇材料等方面考慮。
六、解題思路
計算壓桿的臨界應力〔臨界力〕時，可按照以下步驟進展：
１．根據壓桿的桿端約束情況確定支座系數μ值，計算出該壓桿的柔度。
２．將壓桿的柔度與壓桿分類的界限柔度值λP和λs比較，以確定該壓桿是何類桿，選取相應的臨界應力公式。
３．計算壓桿的臨界應力〔臨界力〕。
４．本卷須知：
〔１〕切忌不判斷壓桿的類別，直接用歐拉臨界應力公式計算。
〔２〕當壓桿分類的界限柔度值λP及λs值未知時，應由材料數據計算出。
〔３〕計算臨界應力時，采用未削弱前的橫截面面積和慣性矩。
〔４〕當壓桿在各彎曲平面內的支座系數及慣性矩不同時，應分別計算壓桿在各彎曲平面內的柔度，選用較大的柔度計算壓桿的臨界應力。
〔５〕當壓桿不是粗短桿且又沒有局部削弱時，就不需再校核其壓縮強度。
七、難題解析
【例1】如圖10-1〔a〕所示構造，由剛性桿AB與彈性桿CD組成。在鉛垂載荷F作用下，剛性桿AB在豎直狀態保持平衡，試確定載荷F的臨界值。桿CD各截面的拉壓剛度均為EA。
圖10-1
解：1. 問題分析
使系統發生微偏離，如圖10-1〔b〕所示。
設桿端A的水平位移為f，則由圖10-1〔b〕可以看出，桿CD的軸向變形為
根據胡克定律，并考慮上述關系式，得桿CD的軸力為
〔a〕
于是由平衡方程即可確定臨界載荷值。
2．臨界載荷確實定
在臨界載荷作用下，系統可在微偏離狀態保持平衡，平衡方程為
將式〔a〕代入上式，得臨界載荷值為。
【例2】*機器連桿如圖10-2所示，截面為工字形，其，，。材料為Q275鋼，連桿所受的最大軸向壓力，取規定的穩定平安系數。試校核壓桿的穩定性。
圖10-2
解：連桿失穩時，可能在*-y平面內發生彎曲，這時兩端可視為鉸支；也可能在*-z平面內發生彎曲，這時兩端可視為固定。此外，在上述兩平面內彎曲時，連桿的有效長度和慣性矩也不同。故應先計算出這兩個彎曲平面內的柔度，以確定失穩平面，再進展穩定校核。
1. 柔度計算
在*-y平面內失穩時，截面以z軸為中性軸，柔度
在*-z平面內失穩時，截面以y軸為中性軸，柔度
因，說明連桿在*-y平面內穩定性較差，故只需校核連桿在此平面內的穩定性。
2. 穩定性校核
由于，屬中長桿，需用經歷公式。現按經歷公式算得臨界應力為
則臨界力為
又工作壓力
代入公式得
故連桿的穩定性足夠。
