能帶圖的橫坐標(biāo)是在模型對稱性基礎(chǔ)上取的K點(diǎn)。為什么要取K點(diǎn)呢？因?yàn)榫w的周期性使得薛定諤方程的解也具有了周期性。按照對稱性取K點(diǎn)，可以保證以最小的計算量獲得最全的能量特征解。能帶圖橫坐標(biāo)是K點(diǎn)，其實(shí)就是倒格空間中的幾何點(diǎn)。縱坐標(biāo)是能量。那么能帶圖應(yīng)該就是表示了研究體系中，各個具有對稱性位置的點(diǎn)的能量。我們所得到的體系總能量，應(yīng)該就是整個體系各個點(diǎn)能量的加和。
主要是從以下三個方面進(jìn)行定性/定量的討論：
1、電荷密度圖（charge density）；
2、能帶結(jié)構(gòu)（Energy Band Structure）；
3、態(tài)密度（Density of States，簡稱DOS）。
電荷密度圖是以圖的形式出現(xiàn)在文章中，非常直觀，因此對于一般的入門級研究人員來講不會有任何的疑問。唯一需要注意的就是這種分析的種種衍生形式，比如差分電荷密圖（def-ormation charge density）和二次差分圖（difference charge density）等等，加自旋極化的工作還可能有自旋極化電荷密度圖（spin-polarized charge density）。所謂“差分”
是指原子組成體系（團(tuán)簇）之后電荷的重新分布，“二次”是指同一個體系化學(xué)成分或者幾何構(gòu)型改變之后電荷的重新分布，因此通過這種差分圖可以很直觀地看出體系中個原子的成鍵情況。通過電荷聚集（accumulation）/損失（depletion）的具體空間分布，看成鍵的極性強(qiáng)弱；通過某格點(diǎn)附近的電荷分布形狀判斷成鍵的軌道（這個主要是對d軌道的分析，對于s或者p軌道的形狀分析我還沒有見過）。分析總電荷密度圖的方法類似，不過相對而言，這種圖所攜帶的信息量較小。
成鍵前后電荷轉(zhuǎn)移的電荷密度差。此時電荷密度差定義為：delta_RHO = RHO_sc - RHO_atom
其中 RHO_sc 為自洽的面電荷密度，而 RHO_atom 為相應(yīng)的非自洽的面電荷密度，是由理想的原子周圍電荷分布堆徹得到的，即為原子電荷密度的疊加(a superposition of atomic charge densities)。需要特別注意的，應(yīng)保持前后兩次計算（自洽和非自洽）中的 FFT-mesh 一致。因?yàn)椋挥芯S數(shù)一樣，我們才能對兩個RHO作相應(yīng)的矩陣相減。
能帶結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)在在各個領(lǐng)域的第一原理計算工作中用得非常普遍了。首先當(dāng)然可以看出這個體系是金屬、半導(dǎo)體還是絕緣體。對于本征半導(dǎo)體，還可以看出是直接能隙還是間接
能隙：如果導(dǎo)帶的最低點(diǎn)和價帶的最高點(diǎn)在同一個k點(diǎn)處，則為直接能隙，否則為間接能隙。
1）因?yàn)槟壳暗挠嬎愦蠖嗖捎贸瑔伟╯upercell）的形式，在一個單胞里有幾十個原子以及上百個電子，所以得到的能帶圖往往在遠(yuǎn)低于費(fèi)米能級處非常平坦，也非常密集。原則上講，這個區(qū)域的能帶并不具備多大的解說/閱讀價值。因此，不要被這種現(xiàn)象嚇住，一般的工作中，我們主要關(guān)心的還是費(fèi)米能級附近的能帶形狀。
2） 能帶的寬窄在能帶的分析中占據(jù)很重要的位置。能帶越寬，也即在能帶圖中的起伏越大，說明處于這個帶中的電子有效質(zhì)量越小、非局域（non-local）的程度越大、組成這條能帶的原子軌道擴(kuò)展性越強(qiáng)。如果形狀近似于拋物線形狀，一般而言會被冠以類sp帶（sp-like band）之名（此陳述有待考證—博主加）。反之，一條比較窄的能帶表明對應(yīng)于這條能帶的本征態(tài)主要是由局域于某個格點(diǎn)的原子軌道組成，這條帶上的電子局域性非常強(qiáng)，有效質(zhì)量相對較大。
3）如果體系為摻雜的非本征半導(dǎo)體，注意與本征半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行對比，一般而言在能隙處會出現(xiàn)一條新的、比較窄的能帶。這就是通常所謂的雜質(zhì)態(tài)(doping state)，或者
按照摻雜半導(dǎo)體的類型稱為受主態(tài)或者施主態(tài)。
4） 關(guān)于自旋極化的能帶，一般是畫出兩幅圖：majority spin和minority spin。經(jīng)典的說，分別代表自旋向上和自旋向下的軌道所組成的能帶結(jié)構(gòu)。注意它們在費(fèi)米能級處的差異。如果費(fèi)米能級與majority spin的能帶圖相交而處于minority spin的能隙中，則此體系具有明顯的自旋極化現(xiàn)象，而該體系也可稱之為半金屬（half metal）。如果majority spin與費(fèi)米能級相交的能帶主要由雜質(zhì)原子軌道組成，可以此為出發(fā)點(diǎn)討論雜質(zhì)的磁性特征。
5）做界面問題時，襯底材料的能帶圖顯得非常重要，各高對稱點(diǎn)之間有可能出現(xiàn)不同的情況。具體地說，在某兩點(diǎn)之間，費(fèi)米能級與能帶相交；而在另外的k的區(qū)間上，費(fèi)米能級正好處在導(dǎo)帶和價帶之間。這樣，襯底材料就呈現(xiàn)出各項(xiàng)異性：對于前者，呈現(xiàn)金屬性，而對于后者，呈現(xiàn)絕緣性。因此，有的工作是通過某種材料的能帶圖而選擇不同的面作為生長面。具體的分析應(yīng)該結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果給出。
原則上講，態(tài)密度可以作為能帶結(jié)構(gòu)的一個可視化結(jié)果。很多分析和能帶的分析結(jié)果可以一一對應(yīng)，很多術(shù)語也和能帶分析相通。但是因?yàn)樗庇^，因此在結(jié)果討論中用得比能帶分析更廣泛一些。簡要總結(jié)分析要點(diǎn)如下：
1） 在整個能量區(qū)間之內(nèi)分布較為平均、沒有局域尖峰的DOS，對應(yīng)的是類sp帶（此陳述有待考證—博主加），表明電子的非局域化性質(zhì)很強(qiáng)。相反，對于一般的過渡金屬而言，d軌道的DOS一般是一個很大的尖峰，說明d電子相對比較局域，相應(yīng)的能帶也比較窄。
2）從DOS圖也可分析能隙特性：若費(fèi)米能級處于DOS值為零的區(qū)間中，說明該體系是半導(dǎo)體或絕緣體；若有分波DOS跨過費(fèi)米能級，則該體系是金屬。此外，可以畫出分波（PDOS）和局域（LDOS）兩種態(tài)密度，更加細(xì)致的研究在各點(diǎn)處的分波成鍵情況。
3）從DOS圖中還可引入“贗能隙”（pudogap）的概念。也即在費(fèi)米能級兩側(cè)分別有兩個尖峰。而兩個尖峰之間的DOS并不為零。贗能隙直接反映了該體系成鍵的共價性的強(qiáng)弱：越寬，說明共價性越強(qiáng)。如果分析的是局域態(tài)密度（LDOS），那么贗能隙反映的則是相鄰兩個原子成鍵的強(qiáng)弱：贗能隙越寬，說明兩個原子成鍵越強(qiáng)。上述分析的理論基礎(chǔ)可從緊束縛理論出發(fā)得到解釋：實(shí)際上，可以認(rèn)為贗能隙的寬度直接和Hamiltonian矩陣的非對角元相關(guān)，彼此間成單調(diào)遞增的函數(shù)關(guān)系。
4） 對于自旋極化的體系，與能帶分析類似，也應(yīng)該將majority spin和minority spin分別畫出，若費(fèi)米能級與majority的DOS相交而處于minority的DOS的能隙之中，可以說明該體系
的自旋極化。
5）考慮LDOS，如果相鄰原子的LDOS在同一個能量上同時出現(xiàn)了尖峰，則我們將其稱之為雜化峰（hybridized peak），這個概念直觀地向我們展示了相鄰原子之間的作用強(qiáng)弱。
由于金屬的能帶有可能穿越fermi能級，從而引起總能計算時的不連續(xù)變化。為了避免這種情況，需要引入分?jǐn)?shù)的占據(jù)態(tài)smearing。
硅和硅鍺合金半導(dǎo)體中碳相關(guān)缺陷和自間隙缺陷的從頭計算研究
楊福華
【摘要】：Si_(1-x)Ge_x合金是一種新型半導(dǎo)體材料，它與傳統(tǒng)的Si工藝相兼容，又能實(shí)現(xiàn)“能帶工程”，是現(xiàn)在和未來的微電子產(chǎn)業(yè)中重要半導(dǎo)體材料。隨著器件尺寸的迅速變小，Si和Si_(1-x)Ge_合金半導(dǎo)體材料中存在的B等摻雜劑瞬間增強(qiáng)擴(kuò)散作用(Transient EnhancedDiffusion)不容忽視。集成的器件經(jīng)過離子注入摻雜后，在退火的過程中會在注入層周圍形成小的間隙原子團(tuán)簇，而間隙Si原子是B等摻雜劑瞬間增強(qiáng)擴(kuò)散的主要介質(zhì)。幸運(yùn)的是碳(C)雜質(zhì)可以捕捉和儲存間隙Si原子，降低間隙Si的濃度，從而很好地抑制這種瞬
間增強(qiáng)擴(kuò)散作用。因此，碳相關(guān)缺陷和自間隙缺陷在Si和Si_(1-x)Ge_x合金材料中的性質(zhì)和演化對半導(dǎo)體性能影響很大。 本文根據(jù)密度泛函理論(DFT)中的局部密度近似(LDA)，用從頭計算法(ab initio)對比研究了Si和Si_(1-x)Ge_x合金半導(dǎo)體材料中C_iC_s缺陷、C_iO_i缺陷和一種自間隙缺陷(W缺陷)的性質(zhì)。通過計算得到了三種缺陷在Si和Si_(1-x)Ge_x合金半導(dǎo)體材料中的相應(yīng)缺陷結(jié)構(gòu)狀態(tài)。在純Si體系中，C_iC_s缺陷(A型結(jié)構(gòu)和B型結(jié)構(gòu))、C_iO_i缺陷和W缺陷的形成能分別為4．602 eV(A結(jié)構(gòu))、4．367 eV(B型結(jié)構(gòu))、3．84 eV和8．27 eV。 含C_iC_s缺陷和C_iO_i缺陷Si_(1-x)Ge_x合金中的Ge原子不能與C原子和O原子直接相連形成Ge-C鍵和Ge-O鍵，而是取代偏離缺陷中心位置的Si原子，但含W缺陷的Si_(1-x)Ge_x合金中，Ge取代不同位置Si原子的形成能之間的差異均小于0．4 eV，與純Si體系中W缺陷的形成能相比差值較小，不能排除Ge原子與間隙Si原子直接相連的可能性。有趣的是，在含C_iO_i缺陷的晶胞中，Ge原子傾向于取代沿[110]方向的Si原子。 Si_(1-x)Ge_x合金是一種完全固溶體，其價電子密度分布與純Si體系幾乎相同，且Ge的加入對C_iC_s缺陷和C_iO_i缺陷的價電子密度分布影響也很小。在Si_(1-x)Ge_x合金中，隨著Ge含量的升高W缺陷的形成能不斷增加。在Ge含量小于4．69％時變化較小；而當(dāng)Ge含量大于4．69％時，W缺陷的形成能迅速升高，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性逐漸降低。與W缺陷不同的是，
C_iC_S缺陷和C_iO_i缺陷在不同Ge含量的Si_(1-x)Ge_x合金中形成能變化較小，變化幅度在0．15 eV以內(nèi)。這可能與小半徑原子C、O和大半徑原子Ge之間的互補(bǔ)償作用有關(guān)。通過對不同Ge含量的Si_(1-x)Ge_x合金中缺陷的性質(zhì)研究發(fā)現(xiàn)，在較低Ge含量的Si_(1-x)Ge_x合金中，三種缺陷的性質(zhì)和在純Si體系中的性質(zhì)差別較小，但Ge含量增加到較高時各缺陷表現(xiàn)出不一樣的性質(zhì)特征。 當(dāng)Si_(1-x)Ge_x合金中的Ge含量較小時，C_iC_s缺陷的A型和B型結(jié)構(gòu)的能量差值在0．235～0．220 ev范圍內(nèi)微小變化；而Ge含量大于25％以后，能量差值迅速減小到0．1 eV左右。由于Ge含量的增加降低了A型結(jié)構(gòu)的形成能，使得A型結(jié)構(gòu)越來越穩(wěn)定，這在一定程度上導(dǎo)致了Si_(1-x)Ge_x合金中在C元素濃度一定的情況下，C_iC_s缺陷的A型結(jié)構(gòu)所占比例相對增加，而B型結(jié)構(gòu)所占比例相對減少。C_iC_s缺陷在Si和Si_(1-x)Ge_x合金中的退火實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，C_iC_s缺陷的A型結(jié)構(gòu)在組成原子獲得一定能量的條件下，可以跨越它與B型結(jié)構(gòu)之間的勢壘而調(diào)整轉(zhuǎn)變?yōu)锽型結(jié)構(gòu)；由于合金中Ge的加入改變了A型結(jié)構(gòu)與B型結(jié)構(gòu)之間的勢壘關(guān)系，使得缺陷結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變依賴于Ge的含量、Ge取代的位置、退火溫度等。
