窄帶隨機(jī)過程

窄帶隨機(jī)過程

通信系統(tǒng)都有發(fā)送機(jī)和接收機(jī)，為了提高系統(tǒng)的可靠性，通常在

接收機(jī)的輸入端接有一個(gè)帶通濾波器，信道內(nèi)的噪聲構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)

過程，經(jīng)過該帶通濾波器之后，則變成了窄帶隨機(jī)過程，因此，討論

窄帶隨機(jī)過程的規(guī)律是重要的。

一、窄帶隨機(jī)過程的定義

窄帶隨機(jī)過程的定義借助于它的功率譜密度的圖形來說

明。圖3.5.1（a）中，波形的中心頻率為，帶寬為，當(dāng)滿足

時(shí)，就可認(rèn)為滿足窄帶條件。

若隨機(jī)過程的功率譜滿足該條件則稱為窄帶隨機(jī)過程。

若帶通濾波器的傳輸函數(shù)滿足該條件則稱為窄帶濾波器。

隨機(jī)過程通過窄帶濾波器之后變成窄帶隨機(jī)過程。

圖3.5.1窄帶波形的頻譜及

示意波形

  二、窄帶隨機(jī)過程的表示方式

如果在示波器上觀察這個(gè)過程中一個(gè)樣本函數(shù)的波形，則

會(huì)發(fā)現(xiàn)它像一個(gè)包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波，如圖3.5.1（b）所示。

因此窄帶隨機(jī)過程可用下式表示成：

式中，是窄帶隨機(jī)過程包

絡(luò)；

是窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位。

窄帶隨機(jī)過程也可用下式表示

分別被稱作的同其中: 這里的和

相分量和正交分量。

可見，的統(tǒng)計(jì)特性可以由、或、的統(tǒng)計(jì)特性來確定。反之，

若已知的統(tǒng)計(jì)特性，怎樣來求 、或、的特性呢？

三、同相分量與正交分量的統(tǒng)計(jì)特性

設(shè)窄帶隨機(jī)過程是均值為零平穩(wěn)的窄帶高斯過程。可以證

明，它的同相分量和正交分量也是均值為零的平穩(wěn)高斯過程，而且與

具有相同的方差。

1.數(shù)學(xué)期望 已

設(shè)是平穩(wěn)的，且均值為零，即對(duì)于任意時(shí)刻，有，所以，可

得 即 2.自相關(guān)

函數(shù)

我們知道一些統(tǒng)計(jì)特性可以從自相關(guān)函數(shù)中得到，所以，

按定義的自相關(guān)函數(shù)為

將

上式展開，并取數(shù)學(xué)期望為

其

中 因?yàn)槭瞧椒€(wěn)的，可以令，得

（1） 同理，令，得

（2） 如果是平穩(wěn)的，則、也是

平穩(wěn)的。

由于式（1）和式（2）相等，則應(yīng)有 可

見，的同相分量和正交分量具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)

函數(shù)的性質(zhì)，有 可見，有

上式表示，為的奇函數(shù)，所以 同理可以證明

即 這 得到

表明，和具有相同的方差。

3.概率密度函數(shù) 因?yàn)?/span>和

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則和的二維概率密度函數(shù)為

利用式（3.5.16），上式改寫為

以上討論的是由的統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)出

同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性。

四、包絡(luò)與相位的統(tǒng)計(jì)特性

現(xiàn)在來確定窄帶平穩(wěn)高斯過程的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性，

隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位可表示為 利用概率論

中隨機(jī)變量變換的關(guān)系來求解和的概率密度函數(shù)，把，，和在某一時(shí)

刻的隨機(jī)變量用，，和來表示。根據(jù)隨機(jī)變量變換關(guān)系有

為，的聯(lián)合概率密度函數(shù)； 其中，

為雅可比行列式，它等于 由和得

進(jìn)行偏微分，并代入雅可比行列式，得

于是

因?yàn)?/span>，所以上

式中包絡(luò)，而在內(nèi)取值。

利用概率論中的邊際分布知識(shí)，可求得包絡(luò)的概率密度函

數(shù)為 可見，服從瑞

利分布。

瑞利分布的特點(diǎn)：最大值發(fā)生在處，其值為。

圖3.5.2 窄帶高斯過程包絡(luò)的概率密

度函數(shù) 利用邊際分布知識(shí)，可求得相位的概率密度函數(shù)為

可見，隨機(jī)相位

在內(nèi)服從均勻分布。 所以窄帶平穩(wěn)高斯過

程的包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

五、窄帶隨機(jī)過程的功率譜密度

結(jié)論：窄帶隨機(jī)過程同相分量和正交分量具有相同的功率

譜密度，而且與窄帶隨機(jī)過程的功率譜密度具有如下關(guān)系式

式中，設(shè)的頻率范圍

,

證明：窄帶隨機(jī)過程的同相分量和正交分量的提取方法如

圖3.5.4所示。 圖3.5.4 同相分量和

正交分量的提取方法 1.同相分量

對(duì)式兩邊乘以，得

兩邊都通過截止頻率為

的低通濾波器，于是輸出為，表示為

其功率譜密度為

1.同相分量

同理，對(duì)式兩邊乘以，得

用功率譜密度表示為

由以上關(guān)系

式，可畫出功率譜密度、和如圖3.5.3所示。

圖3.5.3、和的功率

譜密度