北大隨機過程課件:第5章第3講正弦波與窄帶高斯過程之和

北大隨機過程課件：第5章第3講正弦波與窄帶

高斯過程之和

隨機過程

正弦波和窄帶實平穩高斯隨機過程之和

概述

信號瞬時值特性

6 正弦波和窄帶高斯過程之和的表達式

6 正弦波和窄帶高斯過程之和數字特征：均值，相關函數 6 隨機相

位的正弦波的特征函數和概率密度函數

6 窄帶實平穩高斯隨機過程的特征函數和概率密度函數 6 正弦波和

窄帶高斯過程之和的特征函數與概率密度函數 信號的包絡和相位特性

6 任意一個時刻包絡相位的聯合概率密度函數

基于xc(t),xs(t),θ的聯合概率密度函數 基于zc(t),zs(t),θ的聯合概率密

度函數 基于Vt, (t),θ的聯合概率密度函數

6 6

某個時刻信號包絡的概率密度函數 某個時刻給定正弦波相位

θ后，信號相位 (t)的概率密度函數

1 信號瞬時值特性

隨機相位的正弦波：

Asin(ωct+θ)，其中幅度A，角頻率ω0，隨機相位θ均勻分布于

（0，2π）。

窄帶實平穩高斯隨機過程：

ξ(t)=xc(t)cos2πfct+xs(t)sin2πfct，均值零，方差σξ2

窄帶實平穩高斯隨機過程與隨機相位正弦波統計獨立；

正弦波和窄帶高斯過程之和：

η(t)=Asin(ωct+θ)+ξ(t)

正弦波和窄帶高斯過程之和的數字特征：

均值：

E{η(t)}=E{Asin(ωct+θ)+ξ(t)}

=E{Asin(ωct+θ)}+E{ξ(t)} =0

隨機過程

相關函數：

Rηη(t1 t2)=E{η(t1)η(t2)}

=E{[Asin(ωct1+θ)+ξ(t1)][Asin(ωct2+θ)+ξ(t2)]}=E{Asin(ωct1+θ)Asin(ωct2+θ

)}+E{ξ(t1)ξ(t2)} A2

=cos(ωct1 ωct2)+Rξξ(t1 t2)2A2=cosωcτ+Rξξ(τ)2

隨機相位的正弦波的特征函數：

Φs(u)=E{exp(juAsin(ωct+θ))}

1=2π

2π

∫exp(juAsin(ω

c

t+θ))dθ

=J0(Au)

隨機相位的正弦波的概率密度函數：

1

,x≤A 22 fs(x)= πA x

0otherwi

窄帶實平穩高斯隨機過程的特征函數：

Φξ(u)=e

u2

2

窄帶實平穩高斯隨機過程的概率密度函數：

fξ(x)=

12e

x22

正弦波和窄帶高斯過程之和的特征函數與概率密度函數：

數：

2 2 xA11 1 1F1 k+;1; ∑22 22σξ 2πσξ2k=0k! 2σξ

∞

k

fη(x)=

aza(a+1)z2a(a+1)(a+2)z3

+++“1F1(a;b;z)=1+

b1!b(b+1)2!b(b+1)(b+2)3!

隨機過程

2信號的包絡和相位特性

2.1任意一個時刻包絡相位的聯合概率密度函數

由于xc(t),xs(t),θ是相互統計獨立的，xc(t),xs(t)是均值為零、方差是σξ

的高斯隨機變量，θ是均勻分布于（0，2π）的隨機變量，因此：

2

xc(t),xs(t),θ的聯合概率密度函數：

22

xc+xs 1exp fxc,xs,θ(xc,xs,θ)= 22

2π2πσξ2σξ

1

正弦波和窄帶高斯過程之和，可以寫作，

η(t)=Asin(ωct+θ)+ξ(t)

=Asin(ωct+θ)+xc(t)cos2πfct+xs(t)sin2πfct

=[Asinθ+xc(t)]cos2πfct+[Acosθ+xs(t)]sin2πfct=zc(t)cos2πfct+zs(t)sin2πfct

其中，

zc(t)=Asinθ+xc(t)zs(t)=Acosθ+xs(t)

，經過變換可以得到

zc(t),zs(t),θ的聯合概率密度函數：

22 1 (zc Asinθ)+(zs Acosθ)

expfzc,zs,θ(zc,zs,θ)= 22

2σξ2πσξ 2π

222 11 zc+zs+A 2A(zcsinθ+zscosθ)

exp= 2

2π2πσξ22σ ξ

1

η(t)=Vtcos(2πfct+ (t))

再作變換：

Vtcos (t)=zc=Asinθ+xc Vtsin (t)=zs=Acosθ+xs

，經過變換可以得到

包絡相位Vt, t,θ的聯合概率密度函數：

fVt, ,θ(Vt, ,θ)

隨機過程

22 Vt+A 2A(Vtcos (t)sinθ Vtsin (t)cosθ)

exp= 222

4πσξ2σξ

Vt

22 Vt+A 2AVtsin(θ (t))

exp= 222

4πσξ2σξ

Vt

2.2 一個時刻信號包絡的概率密度函數：

對Vt, (t),θ的聯合概率密度函數中的

2π2π

(t),θ積分，得到Vt的邊緣分布，

fVt(Vt)=

∫∫f

00

Vt, ,θ

(Vt, ,θ) d dθ

22 Vt+A = exp 2

σ4π2σξ22 ξ

Vt

2π2π

∫

AVtsin(θ (t))

exp d dθ2∫σξ 0

22 Vt+A

=2exp 2σξσ2 ξ

2π2π 1 AVtcos(θ (t) π/2) exp d dθ2∫σ4π2∫ ξ00

Vt

22 AVt Vt+A I=2exp 0 22

σξ2σ ξ σξ

Vt

其中Vt≥0。

正弦波和窄帶高斯過程之和的包絡的概率密度函數為萊斯分布。 采

用歸一化變量的表示，可以寫作

v2+a2

fv(v)=exp I0(av)

2

其中v=

Vt

σξ

,a=

A

σξ

2.3 給定正弦波相位θ后，信號相位 (t)的概率密度函數：

Vt, (t),θ的聯合概率密度函數對Vt積分，得到 (t),θ的聯合和邊緣分

布：

隨機過程

∞

fVt( ,θ)=∫fVt, ,θ(Vt, ,θ) dVt

0∞