索桿張力結構基本理論綜述

索桿張力結構的基本理論綜述

夏巨偉

()

浙江大學空間結構研究中心

摘要：對應索桿張力結構的預張力加工、施工和使用狀態，此類結構的分析設計主要落

實到零狀態、初始態和荷載態三個階段。零狀態為結構不受預張力作用時的平衡形態，

初始態為結構在自重和預張力作用下的平衡狀態，而荷載態則為結構在初始態的基礎上

承受其他外荷載的受力狀態。本文針對這三個狀態對索桿張力結構的基本理論進行綜述。

關鍵詞：索桿張力結構；初始態分析；荷載態分析；零狀態分析；找形；找力；平衡矩

陣理論；

1.1

初始態分析理論

從索桿張力結構的設計過程看，結構的初始態分析是整個設計過程的起點，是荷載

態和零狀態施工成形態分析的基本依據。初始態分析主要以下幾個方面內容：體系

()(1)

的靜動特性分析，即考察體系是否為機構和體系是否能維持預應力。預應力的可行

(2)

性分析，即考察體系中維持的預應力是否能夠剛化機構。初始形態的穩定性，考察

(3)

體系是否能夠維持初始平衡形狀。找形分析，即確定初始態的幾何。

(4)

TimoshekoYoungs(

和指出決定鉸接桿系結構靜動特性的兩個重要參數自應力模態

[1]

數和機構數或獨立機構位移模態數與其平衡矩陣的秩有關。若確定了平衡矩陣

)m()r

0

A

A

的秩，則和可以分別表示為

rsm

0

(1.1)

(1.2)

s=b-r

m=m-r

0

式中，為結構的自由度數，為結構的桿件數。文獻根據、的取值情況將鉸接桿

mbsm

0

件體系分成了靜定、靜定動不定、超靜定、靜不定動不定

(s=0,m=0)(s=0,m>0)(s>0,m=0)

000

(s>0,m>0)

0

四類，通常情況下索桿張力結構屬于第四類。

PellegrinoCalladine(SVD)

和將矩陣的奇異值分解技術和矩陣空間的解析相結合，給

出了一個分析鉸接桿系結構靜動特性的方法。該方法不僅能夠有效地得到結構的靜動

[2]

特性，還能將許多具有物理意義的結構屬性揭示出來。鉸接桿件體系的平衡方程和協調

方程可以寫作為

(1.3)

At?p

浙江大學博士學位論文索桿張力結構的基本理論綜述

(1.4)

Bd?e

Atp

(mb)(b1)(m1)

×為結構的平衡矩陣，×為桿件內力向量，×為節點外荷載向量，式中，

Bde

(bm)(m1)(b1)

×為結構的協調矩陣，×為節點位移向量，×為桿件伸縮量向量。根據

虛功原理容易證明，同時也容易觀察出平衡矩陣實際建立了桿件空間和自由

A=BA

Tb

(R)

度空間之間的聯系，也即為和間的線性算子。

(R)RR

mbm

A

對矩陣進行奇異值分解，則

A

(1.5)

??

Σ0

rr

A=UΣW=U,UW,W

????

rm?rrb?r

??

??

00

T

T

式中，×為左奇異矩陣，其中，且

U?U,UU?u,?,uU?u,?,u

??????

rm?rr1rm?rr?1m

(mm)

ui?1,2,?,mW=w,?,w,?,w

i1ib

??

為左奇異向量。×為右奇異矩陣，其中

??

(bb)

W?w,?,wW?w,?,wwi?1,2,?,bΣm?b

r1rb?rr?1bi

????

，，為右奇異向量。的前

????

r

個主對角元素為正值，且，而其余元素均為零。和

?

iirr11rr

??

i?1,?,rΣ?diag,?,

??

??

U

W

均為正交矩陣。

將式左右兩邊同時乘以可得

(1.5)

W

(1.6)

?

AW?UΣ

rrrr

?

AW?0

b?r

?

將式左右兩邊同時取轉置并乘以可得

(1.5)

U

(1.7)

TT

?

AU?WΣ

rrrr

?

T

AU?0

m?r

?

以上兩式給出了平衡矩陣的四個重要的子空間，其中和分別為其行空間和零

A

WW

rb?r

空間，而和分別為其列空間和左零空間。分別對比式和式及式和式

UU

rb?r

(1.3)(1.6)(1.4)

(1.7)

易知，位于子空間的桿件內力向量形成的節點外荷載能被結構平衡，位于子

WW

rb?r

空間中的桿件內力向量不產生節點外荷載，中向量即為通常所講的自應力模態。

WU

b?rr

子空間向量表示的位移模式下桿件能產生與之相協調的變形，而子空間向量表示的

U

m?r

位移模式下桿件不產生任何變形，中向量即所謂的獨立機構位移模態。

U

m?r

根據平衡矩陣理論，對于給定了初始態幾何的索桿張力結構，其初始態預張力為

t

0

自應力模態的線性組合，可由下式表示

(1.8)

t=Wα?w?w???w

0b?rs1r?12r?2sb

???

式中，×為自應力模態組合因子。理論上講

α?,,?,

s12s

??

???

(s1)

α

s

向量中元素可為任

意實數，但索桿張力結構中索單元只能承受拉力，所以選擇這些常數時一方面必須保證

索單元受拉。另外，得到的初始態預張力還必須能夠使得可動方向“剛化”。這就是通常

所講的“可行預應力”問題。和在結構靜動分析的基礎上提出了一

CalladinePellegrino

個判定預張力能否使機構“剛化”的乘積力準則，詳見下式

[3]

T

βGtUβ

T

??

??

??

0m?r

?0

(1.9)

式中，為結構在機構位移下預張力產生的節點不平衡力向量，即所謂的乘積力，

Gt

??

0

它與結構預張力和獨立結構位移模態有關，×為獨立機構位移模態組合因子向量。

β

(m

0

1)

乘積力準則具有明確的物理意義，其表示若初始平衡構型下預張力由于體系發生任意機

構位移而產生的節點不平衡力具有使體系返回初始構型的能力，則預張力能夠“剛化”

機構位移。

顯然，乘積力準則中僅包含機構位移項，也即其僅給出了預張力能夠強化機構位移

的條件，而結構位移包含機構位移和變形位移兩部分，因此乘積力準則并不能作為結構

穩定性的判據，而只是結構穩定的必要條件。文獻基于能量原理指出勢能的二階變分

[4, 5]

是判斷結構穩定性的一般條件，且其與切線剛度矩陣的正定性等價，文獻中還給出了乘

積力準則的嚴格證明。文獻進一步指出切線剛度矩陣的最小特征值可作為判別結構

[6]

?

min

穩定的參數。若，則結構處于穩定平衡狀態；若，則結構處于臨界平衡

??

minmin

?0?0

狀態；若，則結構處于不穩定平衡狀態。值得提及的是，對于張拉整體結構目前

?

min

?0

一些學者熱衷于研究結構的不依賴于預張力水平和材料屬性的超穩定條件

(super stable

conditon)

[7-10]

。

一般情況下，索桿張力結構的外形是綜合建筑功能、建筑外形、荷載及邊界條件等

多重因素確定的。然而，理論上還存在僅已知結構的拓撲來求解結構幾何外形的問題，

()

即所謂的“找形”分析。實際工程中“找形”分析的主要目的是為建筑設

(Form Finding)

計方案提供一個合理性的參考依據。目前常用的“找形”方法有力密度法、動力松弛法

和非線性有限元法。力密度法由和于年首先

(Force Density Method)LinkwitzSchek1971

提出，最早被用于索網結構找形分析，其基本原理為對結構的每個節點建立靜力平衡方

程，從而形成與節點坐標相關的線性方程組，通過選擇合適的力密度值求解方程組得到

所需的節點空間坐標，進而可得所欲分析結構的幾何外形及單元內力。這種方法將幾何

非線性問題轉化為線性方程組的求解問題，避免了初始坐標的設定和非線性系統的收斂

浙江大學博士學位論文索桿張力結構的基本理論綜述

問題，簡單易行，因而被廣泛應用于預應力張拉結構的找形分析中。動力松弛法

(Dynamic

Relaxation Method)Barnes

最早由提出并應用于流體計算中，后經推廣運用于

[11]

預應力索網結構和膜結構的找形分析中。動力松弛法的基本原理為對結構進行空間和時

間的離散化，在每一個時間步對離散體系的每一個節點的振動過程進行追蹤，直到結構

因虛擬阻尼的作用而停留在平衡位置。因而在找形分析中，只需對結構設定任意的初始

幾何形狀，虛設節點的質量和阻尼，通過對結構構件施加預應力使結構在不平衡力作用

下產生振動，最終找到結構的平衡狀態，而無需求解大型非線性方程組。非線性有限元

法找形的基本原理是將索桿單元進行離散，根據索桿體系大變位小變形的特點，建立以

節點位移為未知量的非線性平衡方程，再通過迭代法進行求解。

1.2

零狀態分析理論

索桿張力結構的零狀態反映的是結構每一個施工步驟構件安裝就位后的平衡狀態，

零狀態的求解實際上就是結構施工成形全過程的形態跟蹤問題。具體的說，就是確定結

構在各個施工步驟的形狀以及相應的內力。從工程的角度看，這個分析過程具有現實意

義，一方面其分析結果可作為結構施工成形的模擬從而對結構施工張拉方案的合理性進

行判斷，另一方面也能為施工過程的監測和控制提供參考依據。盡管索桿張力結構的施

工過程從形狀上表現出大變形的特征，但從工程的角度來看人們更為關心的是每一個施

工步驟完成后的結構形態。因而，索桿張力結構的施工形態問題在理論上可以轉化為已

知原長也稱放樣長度的構件根據特定的連接方式在其自重作用下所達到的平衡形態的

()

求解問題也稱找形問題。值得注意的是，在求解這個問題時，安裝構件的原長應該根

()

據構件的類別分別確定。對于被動張拉構件，其原長即為理論上的松弛長度，可通過初

始態的構件長度扣除內力引起的彈性伸長量對于索或者縮短量對于桿來計算。而對于

()()

主動索，其原長除理論松弛長度外，還包括施工中需要的牽引長度。而在主動索張拉過

程中，索的長度計算還應該將放樣原長扣除千斤頂已拔出長度。另外應該注意的是，這

類找形問題與常規的柔性結構的找形問題有所不用，主要表現在結構在施工成形過程中

為幾何不穩定的機構，但體系幾何的不穩定性并不意味著結構在施工階段不存在平衡狀

態，在特定荷載作用下，任何結構體系都會通過形狀和內力的調整來達到與當前荷載相

適應的一個平衡狀態。從能量的角度來看，這實際上是系統勢能最小的客觀要求。

常導致計算無法收斂。因而，實際分析時往往采用一些避免出現數值不穩定現象的措施。

如袁行飛提出了索穹頂施工張拉成形的反分析控制法，即以索穹頂結構的初始態為分

[13]

析起點，以實際施工張拉的反順序逐步拆除斜索，從而確定各個施工階段的結構形態。

文中在計算分析時為避免矩陣奇異引入了中間約束狀態。沈祖炎等指出懸鏈線索元能

[14]

夠充分考慮索均布自重的影響，在任意構型下其水平和豎向都具有一定的剛度，可有效

地避免剛度矩陣奇異。文中進而提出了基于懸鏈線索元的非線性有限元求解策略，并對

一型索穹頂的施工成形過程進行了數值模擬。另外，還有一些學者基于力密度法

Geiger

和動力松弛法的提出了索桿張力結構施工成形分析的求解方法。如鄧華利用力密度法的

基本思想，提出了一種松弛懸索體系施工成形分析的通用方法，該方法不用建立剛度矩

陣，回避了由于其奇異性導致的計算困難。陳聯盟和祖義禎等則分別利用動力松弛法和

控制構件原長的施工過程分析法對索穹頂和索桁張力結構的施工成形過程進行了數值模

擬。

1.3

荷載態分析理論

索桿張力結構的荷載平衡態是指結構在初始態下受可變荷載作用達到的平衡狀態，

結構承受的可變荷載包括靜力荷載如雪荷載和活荷載和動力荷載脈動風和地震作用

()(

等。如前所述，索桿張力結構必須通過預張力提供的幾何剛度來維持結構平衡的穩定性。

)

因此，從分析方法上來看，索桿張力結構無論是靜力問題還是動力問題都必須考慮幾何

非線性來體現幾何剛度的效應，通常采用非線性有限元法進行結構分析。該結構的靜力

平衡方程的增量形式如下

(1.10)

j

??

K?K?d?p?R

jjjj

0g

j

式中，和分別第迭代步時為結構的線彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣，為

K

0

K

g

jj

?d

j

迭代步的節點位移增量，為節點外荷載向量，為迭代步時構件內力產生的節點力

p

R

j

j

向量。該方程可視具體情況采用法或修正的法進行迭代求解。

Newton-RaphsonN-R

結構的無阻尼自由振動平衡方程可以寫作為

(1.11)

??

?Kd?0Md

T

式中，為結構的切線剛度矩陣，為結構的質量矩陣。現假定節點位移可表示為

K

T

M

d

(1.12)

d?dsint?

??

??

式中，和分別為結構的振動頻率和相位。將式代入式中則

?

?

(1.12)(1.11)

浙江大學博士學位論文索桿張力結構的基本理論綜述

(1.13)

??

K?Md?0

T

?

2

上式即為結構的模態方程。可以看出，一旦確定了結構的振動初始態，則其模態分析和

普通的線性結構完全一致，唯一的區別是其切線剛度矩陣中計入了幾何條件變化和構件

初始預張力的影響。該方程一般可采用子空間迭代法或法進行求解。

Lanczos

考慮阻尼后結構的非線性動力方程可以表示為

(1.14)

???

?Cd?Kd?pMd

T

式中，為結構阻尼矩陣。求解該非線性動力方程常采用直接積分法，即將其在時間域

C

上進行離散，通過近似插值化為差分格式，然后根據初始條件，利用離散后導出的線性

代數方程組逐步求解在各離散時刻上的結構響應。根據在時間域上插值處理方式的不同，

目前常用的方法有中央差分法、法及法等。以法為例，

Wilson-θNewmark-βWilson-θ

[12]

設求解時間域被離散為個時間點，即，令，

(0~t)n

s

0?t?t?t???t?t

012ns

?t?t?t

jj?1j

???

jjj

及加速度均已知并取?，則由式?，假定時刻結構的位移、速度

ddd

?1.4

(j=1,2,,n)

t

j

(1.14)

可得到如下形式的等效靜力平衡方程

(1.15)

?

?K?KM?C,

式中，

TT

63

??

22

?t?t

jj

?

d?pK

j?

?

?

T

????

636

?

?t

j

??????

jjjj?1jjjjj

?

p?p?p?p?Md?d?2d?Cd?2d?d

?

??

????

22

。

????

???

?t?t?t2

jjj

????

由式求得后代入式、式和式即可得到時刻結構的位移

(1.15)(1.16)(1.17)(1.18)

d

j?

?

t

j?1

???

j?1j?1j?1

及加速度。、速度

ddd

(1.16)

(1.17)

(1.18)

?????

j?1jjj?j

?dd?d?d?1?d

663

??

?

??

??

???

22

?t?t

??

jj

??????

j?1jj?1j

?d?d?dd

?t

j

2

??

d?d?2d?d??td

j?1j?1jjj

2

?t

?????

j

j

6

??

如此重復求解式即可得到該非線性動力方程在整個時域內的解。

(1.15)