泡沫理論

泡 沫 理 論

【內(nèi)容摘要】 數(shù)學(xué)，是一門與我們的生活有著密切聯(lián)系的學(xué)問(wèn)。在任何時(shí)期，

數(shù)學(xué)對(duì)小至個(gè)人，大到世界的各個(gè)方面都起到了一定的推動(dòng)作用。在本文中，我

們將從數(shù)學(xué)中的泡沫理論入手，通過(guò)文獻(xiàn)查閱等方式談一談泡沫理論的起源、發(fā)

展及其應(yīng)用，并由此闡述數(shù)學(xué)與人類文明的關(guān)系，以進(jìn)一步地了解數(shù)學(xué)這門與我

們每個(gè)人都息息相關(guān)的學(xué)科。

【關(guān)鍵詞】 泡沫理論 起源 發(fā)展 應(yīng)用

縱觀古今中外人類文明的發(fā)展史，任何時(shí)期、任何朝代，無(wú)論政治、軍事,

還是經(jīng)濟(jì)、文化的進(jìn)步，數(shù)學(xué)都無(wú)一例外地起著巨大的推動(dòng)作用:愛(ài)因斯坦正是

受到數(shù)學(xué)家黎曼著作的影響才創(chuàng)造出相對(duì)論，從而深刻而長(zhǎng)久地改變了我們當(dāng)代

人的生活；量子力學(xué)創(chuàng)始人海森堡則運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的矩陣來(lái)描述物理量，從而建

立起量子力學(xué)的大廈；1917年數(shù)學(xué)家拉頓在積分集合研究中引用了一種數(shù)學(xué)變

換（拉頓變換），幾十年后柯爾馬克和洪斯菲爾德巧妙地運(yùn)用拉頓變換，設(shè)計(jì)出

X射線斷層掃描儀——CT，為醫(yī)學(xué)診斷做出了巨大的貢獻(xiàn)??

再到如今世界上的偉大建筑，許多都與數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。在2008年的

北京奧運(yùn)會(huì)上，最吸引眼球的建筑當(dāng)屬國(guó)家游泳中心——水立方了，她宛如一座

水晶宮殿，與鳥巢交相輝映。這座由“泡泡”和鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)成的巨大建筑，憑借著

其創(chuàng)新的設(shè)計(jì)，獲得了2010年國(guó)際橋協(xié)杰出結(jié)構(gòu)大獎(jiǎng)。說(shuō)到水立方的設(shè)計(jì)靈感，

它也來(lái)源于數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的“泡沫理論”。

一、泡沫理論的起源

泡沫理論的起源最早要追溯到公元4世紀(jì)，古希臘幾何學(xué)家帕普斯（Pappus）

在《On The Sagacity of Bees》一文中提到蜜蜂具有理解幾何對(duì)稱性的靈性，

天生就知道如何用最少量的蜂蠟構(gòu)建正六邊形的蜂巢，緊接著他提出了一系列的

思考：蜜蜂是如何把平面等分割成等邊長(zhǎng)單元的呢？對(duì)于平面而言，為什么只有

等三邊、等四邊、等六邊形能周期性地排布成平面，而其他等邊則不行？蜜蜂為

什么選擇面積恒定時(shí)周長(zhǎng)最小的正六邊形？另外，在肥皂泡問(wèn)題上，肥皂泡總是

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試圖最小化它們的表面積，以使它們的表面能量最小化。對(duì)于一個(gè)孤立的肥皂泡，

最佳的表面就是一個(gè)球面。公元320年，帕普斯首次對(duì)肥皂泡的球狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了

數(shù)學(xué)分析。1884年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨（H. A. Schwarz）用微積分對(duì)此給出了

嚴(yán)格的證明。然而，肥皂泡的問(wèn)題遠(yuǎn)沒(méi)有被徹底解決，如當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)肥皂泡聚

集在一起時(shí)，它們的結(jié)構(gòu)又會(huì)如何變化呢？

1840年，比利時(shí)物理學(xué)家普拉托（J. Plateau）（又譯為柏拉圖）對(duì)最小表

面積問(wèn)題著手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)始于一次偶然：他的一個(gè)仆人把油濺到了盛有

水和酒精的容器中，普拉托注意到油在混合物中呈現(xiàn)完美的球形，后來(lái)他改用肥

皂溶液和甘油并把蘸濕的線框放入其中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在一系列實(shí)驗(yàn)之后，普拉托于

1873年指出，當(dāng)肥皂泡沫聚集到一起時(shí)，首先，4個(gè)氣泡形成一組相互作用的基

本單元（氣泡大小為10μm-1cm），相交于一個(gè)交匯點(diǎn)（vertex，junction或node）；

每3個(gè)氣泡圍成一個(gè)凹三角形形成柏拉圖通道（plateau border），則4個(gè)氣泡

共形成4個(gè)柏拉圖通道，其曲率半徑為r（大小為~1μm-1mm）。柏拉圖通道長(zhǎng)

Pb

度L約為氣泡大小的1/3，柏拉圖通道要比交匯點(diǎn)薄一些，每?jī)蓚€(gè)氣泡間形成

Pb

一個(gè)液膜，4個(gè)氣泡共形成6個(gè)液膜，液膜間以及柏拉圖通道間的夾角分別為

arccos(-1/2)=120°和arccos（-1/3）≈109.47°（圖1）。這即是著名的柏拉

圖規(guī)則（Plateau rule），即泡沫結(jié)構(gòu)平衡法則。

柏拉圖的結(jié)論如此簡(jiǎn)單，連他自己都感到吃驚，他說(shuō)：“??這些規(guī)則使得

我們得到一個(gè)非常值得關(guān)注的結(jié)論：那些香檳、啤酒和肥皂水中的泡沫很明顯是

液體薄膜的結(jié)合體??因此，盡管泡沫在人們看來(lái)是極其易變的，但它一定會(huì)受

到以上規(guī)則支配的。”

圖1

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二、泡沫理論的發(fā)展和應(yīng)用

麥克斯韋提出電磁輻射理論，認(rèn)為光是電磁波，赫茲實(shí)驗(yàn)也表明電磁波具有

光的一切性質(zhì)。1900年前后，物理學(xué)家確認(rèn)光是一種電磁波。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，

波動(dòng)是需要有介質(zhì)的，為了解釋光的波動(dòng)性，很多科學(xué)家認(rèn)為光是在一種叫做

“以太”的媒質(zhì)中傳播的。以太一方面要像液體，以便物體可以從中穿行，另一

方面又必須像固體，因?yàn)殡姶挪ㄊ菣M波，而橫波只能在固體中傳播。

為了理解這種具有奇異性質(zhì)的以太，19世紀(jì)末的物理學(xué)家們提出了很多模

型。開爾文（原名威廉姆.湯姆孫（Willian Tomson,1824-1907），1892年被授

予開爾文勛爵封號(hào)）曾說(shuō)過(guò)：“如果我能成功地建立起一個(gè)（機(jī)械）模型，我就

能理解它（以太），否則我就不能。”開爾文和他的終生好友，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家斯托

克斯（G. G. Stokes），就以太問(wèn)題經(jīng)常進(jìn)行書信討論。起初，他們把復(fù)雜流體

作為以太模型。然而，肥皂泡的彈性結(jié)構(gòu)特征卻對(duì)開爾文越來(lái)越有吸引力，開爾

文設(shè)想以太應(yīng)該具有泡沫一樣的結(jié)構(gòu)。這位開爾文爵士是熱力學(xué)研究的先驅(qū)，但

他對(duì)泡沫形狀的研究也是情有獨(dú)鐘。他的侄女就曾描述過(guò)這位爵士大人經(jīng)常帶著

一個(gè)盛有肥皂泡水的容器和很多用線做成的不同形狀的線框（這種方法為普拉托

首創(chuàng)），對(duì)這些肥皂泡膜進(jìn)行科學(xué)的研究。

具有相同體積的所有泡泡應(yīng)該具有什么樣的完美結(jié)構(gòu)？1887年，開爾文提

出了開爾文問(wèn)題（Kelvin Problem）：如果將三維空間細(xì)分為若干個(gè)小部分，保

證接觸面積最小，這些細(xì)小的部分應(yīng)該是什么形狀？這個(gè)問(wèn)題引發(fā)了人類對(duì)完美

空間的不倦追求。就二維空間來(lái)說(shuō)，其答案即開普勒猜想的生物實(shí)現(xiàn)，六角密堆

積的蜂房是平面上效率最高的一種堆積方式，單個(gè)蜂房滿足表面積最小，從而最

節(jié)省蜂蠟。

開爾文很快在《倫敦哲學(xué)雜志》上發(fā)表了該問(wèn)題的解決方法。他將既能填滿

整個(gè)空間、同時(shí)又能滿足普拉托規(guī)則的那些具有最小表面積的相同尺寸的泡泡，

稱為開爾文單元（Kelvin cell），其結(jié)構(gòu)為14面體（圖2）。開爾文用截去頂端

的八面體去填充整個(gè)空間，然而他發(fā)現(xiàn)，只有把八面體的每個(gè)面進(jìn)行輕微的彎曲，

才能獲取具有較小表面積的泡沫結(jié)構(gòu)，開爾文泡沫結(jié)構(gòu)具有完美的對(duì)稱性。

在一個(gè)多世紀(jì)里，人們都把開爾文的泡沫結(jié)構(gòu)視為開爾文問(wèn)題的最佳答案。

然而，由于開爾文結(jié)構(gòu)缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明和實(shí)驗(yàn)論證，科學(xué)家們并沒(méi)有停止尋

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找開爾文問(wèn)題的更佳答案。

在這個(gè)過(guò)程中，不只是科學(xué)家，一些建筑學(xué)家也作出了他們的貢獻(xiàn)。世界上

圖2 采用Surface Evolver軟件復(fù)現(xiàn)的開爾文單元結(jié)構(gòu)

很多著名建筑的設(shè)計(jì)理念就是基于對(duì)肥皂泡的形學(xué)和力學(xué)特性的研究成果。

在這些人中，以德國(guó)的著名設(shè)計(jì)師奧托（）最具代表性。他自1950

年起開始研究索膜結(jié)構(gòu)所具有的結(jié)構(gòu)和形式特性。并且總結(jié)出“極小曲面”對(duì)索

膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要作用。因?yàn)楫?dāng)索膜結(jié)構(gòu)處于極小曲面的時(shí)候，膜材料在所有方

向的受力是均等的，他的形式遵從自己的規(guī)律，并不以設(shè)計(jì)者的意志為轉(zhuǎn)移，形

式和結(jié)構(gòu)在此形成了一個(gè)不可分的整體，共存于不可變的形體中。

為了找出“極小曲面”，奧托及其合作者將肥皂泡作為研究的主要工具，去

尋求合理的索膜結(jié)構(gòu)形式。奧托在試驗(yàn)中采用的材料是毛發(fā)和細(xì)絲，他把它們系

在針或細(xì)桿的斷點(diǎn)，而針或細(xì)桿則被釘在有機(jī)玻璃板上。如果將這個(gè)裝置放入肥

皂溶液，再取出，這時(shí)肥皂泡的表面積總是最小的，并且各處的表面壓力完全相

同，用它來(lái)模擬索膜結(jié)構(gòu)是十分理想的。他把細(xì)絲系在針的不同高度，這樣就會(huì)

形成類似帳篷那樣的奇妙結(jié)構(gòu)。奧托為此還特意研制了一種“肥皂泡試驗(yàn)裝置”，

以便于幾何分析和測(cè)量這些肥皂泡模型。在裝置內(nèi)的溫度控制箱中，這些肥皂泡

可以長(zhǎng)時(shí)間保存，當(dāng)一束平行光束按比例地將他們投影到地板或毛玻璃上時(shí)，即

可拍照或測(cè)量。奧托用他的實(shí)驗(yàn)裝置研究了各種帳篷形式：帆形、尖頂式、拱形、

凸起式、波浪式等，并廣泛應(yīng)用于設(shè)計(jì)實(shí)踐中。

斯圖加特輕質(zhì)研究所是奧托為1967年蒙特利爾世界博覽會(huì)德國(guó)館所作的結(jié)

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構(gòu)試驗(yàn)建筑。它是張拉索輕質(zhì)結(jié)構(gòu)，中間是采光天棚，四周的屋面也是端木和拉

索接成的。在這棟建筑的肥皂膜模型試驗(yàn)中，外圍的線圈是用系在針桿的細(xì)線張

拉而成的，所有針桿都嵌在一個(gè)平板上，在模型的上部設(shè)有一個(gè)吊架，而吸附在

肥皂膜中的線圈懸掛在這個(gè)吊架上，然后將線圈向上提起就能形成所需要的形

態(tài)。

科學(xué)家在這一方面的研究也從未停止過(guò)。1993年，愛(ài)爾蘭都柏林大學(xué)圣三

一學(xué)院的兩位物理學(xué)教授威爾（）和弗蘭（）受到一類稱為籠

結(jié)構(gòu)化合物的啟發(fā)，提出了新的解決方案。

硅基籠狀化合物NaSi整個(gè)結(jié)構(gòu)由8個(gè)籠組成，而6個(gè)4面體和2個(gè)12面

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體組成基本單元組合。借助于Surface Evolver軟件（這是一種基于最小能量原

理和有限元數(shù)值分析方法，針對(duì)表面成形演變過(guò)程分析的一般問(wèn)題，用C語(yǔ)言編

寫的通用型軟件），威爾和弗蘭提出要超越開爾文泡沫結(jié)構(gòu)的新型氣泡結(jié)構(gòu)模型。

威爾―弗蘭氣泡（Weaire-Phelan bubbles）模型中包含正12面體單元和14面

體單元這兩種多面體單元，兩者共有三種表面形狀，即一種六邊形和兩種五邊形，

其棱邊有四種邊長(zhǎng)，角點(diǎn)形式則有三種。6個(gè)14面體和2個(gè)正12面體可組成基

本單元組合，基本單元組合可以沿三個(gè)互相正交的方向陣列填充三維空間。WP

單元結(jié)構(gòu)面積比開爾文單元結(jié)構(gòu)的面積小了0.3%，這在數(shù)學(xué)上有著重大意義。

到目前為止，威爾-弗蘭多面體組合仍被認(rèn)為是開爾文問(wèn)題的最理想的解答（圖

3）。

圖3 不同視角時(shí)的Weaire-Phelan結(jié)構(gòu)，WP結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性遠(yuǎn)不如開爾文單

元

威爾—弗蘭的氣泡理論和開爾文理論相比，多了些復(fù)雜性，少了些對(duì)稱美，

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在某種程度上，那些堅(jiān)信最好的結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有最美的對(duì)稱性的科學(xué)家對(duì)威爾—弗

蘭的氣泡理論多少有點(diǎn)不安。然而，我們生活于其中的大自然的外在表現(xiàn)所具有

的美學(xué)感的結(jié)構(gòu)，是規(guī)則和不規(guī)則、有序和無(wú)序、優(yōu)雅簡(jiǎn)單和復(fù)雜性的微妙關(guān)系

的統(tǒng)一體。這個(gè)統(tǒng)一體正是科學(xué)家科學(xué)研究、工程師工程設(shè)計(jì)和藝術(shù)家創(chuàng)造的重

要驅(qū)動(dòng)力，只要善于觀察和吸收自然界中千變?nèi)f化現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，就會(huì)有取之

不盡的源泉。

如果肥皂泡的基座不是圓形的話它會(huì)自動(dòng)形成一個(gè)最符合泡內(nèi)壓力及最小

面積的形狀。如果把一大一小兩個(gè)肥皂泡放在一起，交界面向大肥皂泡的一方拱

出，其交界面為曲面隔膜。如果兩泡大小相等，其交界面會(huì)形成一個(gè)平面隔膜。

對(duì)于多個(gè)肥皂泡，其組合形式有如下規(guī)律：3個(gè)氣泡只能相交于一條邊，而4個(gè)

氣泡只能相交于一點(diǎn)，薄膜的交角永遠(yuǎn)是120°，而四條邊形成的角永遠(yuǎn)是109°

28′，只有這樣，在相交邊或接觸點(diǎn)張力才能平衡，這也就是普拉托于1873年

提出的著名的普拉托規(guī)則（Plateau rule）。這個(gè)理論在建筑學(xué)上的一次應(yīng)用是

尼古拉斯·格雷姆肖在英國(guó)康沃爾郡的伊甸園工程（圖4）。

圖4

三、總結(jié)

從四大文明古國(guó)開始，人類的文明已經(jīng)延續(xù)了五六千年。在這五六千年中，

我們見到一個(gè)文明衰落，另一個(gè)文明興起，再衰落，再興起??如此交替更迭，

而人類文明也在這樣的進(jìn)程中得到了發(fā)展。在促進(jìn)人類文明發(fā)展的所有因素中，

數(shù)學(xué)是不容忽視的。人類社會(huì)的發(fā)展、文明的進(jìn)步與數(shù)學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

鄧小平曾說(shuō)過(guò)：“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力。”而“科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科

學(xué)”，“應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)”。這一論述充分闡明了數(shù)學(xué)在生產(chǎn)力發(fā)展中的

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巨大作用。綜上所述，我們可以得出這樣的結(jié)論：數(shù)學(xué)的發(fā)展推動(dòng)著人類文明的

發(fā)展，數(shù)學(xué)真的是一門偉大的學(xué)科！

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