風險管理與金融機構第二版課后習題答案+(修復的)

.

1.15

假定某一投資預期回報為8%,標準差為14%；另一投資預期回報為12%,標準差為20%.

兩項投資相關系數為0.3,構造風險回報組合情形.

ww??

1 2 P P

0.0 1.0 12% 20%

0.2 0.8 11.2% 17.05%

0.4 0.6 10.4% 14.69%

0.6 0.4 9.6% 13.22%

0.8 0.2 8.8% 12.97%

1.0 0.0 8.0% 14.00%

1.16

6市場的預期回報為12%,無風險利率為7%,市場回報標準差為15%.一個投資人在有效

邊界上構造了一個資產組合,預期回報為10%,另外一個構造,預期回報20%,求兩個資產組合

各自的標準差.

解：由資本市場線可得：,

r?r?

pfp

r?r

mf

?

m

?

當則

r?0.12,r?7%,?15%,r?10%,

mfmp

?

??

ppfmmf

?(r?r)*/(r?r)?(10%?7%)*15%/(12%?7%)

?9%

則標準差為：

?

p

?39%

同理可得,當,

r?20%

p

1.17

一家銀行在下一年度的盈利服從正太分布,其期望值與標準差分別為資產的0.8%與2%.

股權資本為正,資金持有率為多少.在99% 99.9%的置信度下,為使年終時股權資本為正,銀行

的資本金持有率〔分母資產〕分別應為多少

〔1〕設 在99%置信度下股權資本為正的當前資本金持有率為A,銀行在下一年

的盈利占資產的比例為X,由于盈利服從正態分布,因此銀行在99%的置信度下股

權資本為正的當前資本金持有率的概率為：,由此可得

P(X??A)

P(X??A)?1?P(X??A)?1?N()?N()?99%

?A?0.8%A?0.8%

查表得

2%2%

A?0.8%

=2.33,解得A=3.85%,即在99％置信度下股權資本為正的當前資本金

2%

持有率為3.85%.

〔2〕設 在99.9%置信度下股權資本為正的當前資本金持有率為B,銀行在下一

年的盈利占資產的比例為Y,由于盈利服從正態分布,因此銀行在99.9%的置信度

下股權資本為正的當前資本金持有率的概率為：,由此可得

P(Y??B)

P(Y??B)?1?P(Y??B)?1?N()?N()?99.9%

?B?0.8%B?0.8%

查表得

2%2%

B?0.8%

=3.10,解得B=5.38% 即在99.9％置信度下股權資本為正的當前資本

2%

金持有率為5.38%.

1.18

一個資產組合經歷主動地管理某資產組合,貝塔系數0.2.去年,無風險利率為5%,回報-

30%.資產經理回報為-10%.資產經理市場條件下表現好.評價觀點.

該經理產生的阿爾法為

?

??0.1?0.05?0.2?(?0.3?0.05)??0.08

即-8%,因此該經理的觀點不正確,自身表現不好.

1 / 8

.

5.30一家公司簽訂一份空頭期貨合約．以每蒲式耳250美分賣出5000蒲式耳

小麥.初始保證金為3000美元,維持保證金為2000美元.價格如何變化會導致

保證金催付?在什么情況下,可以從保證金賬戶中提出1500美元？

There is a margin call when more than $1,000 is lost from the margin account. This

happens when the futures price of wheat ris by more than 1,000/5,000 = 0.20. There

is a margin call when the futures price of wheat ris above 270 cents. An amount,

$1,500, can be withdrawn from the margin account when the futures price of wheat

falls by 1,500/5,000 = 0.30. The withdrawal can take place when the futures price

falls to 220 cents.

還有,當超過000美元的保證金##失去了補倉.發生這種情況時,小麥期貨價格上

漲超過1000/5000=0.20.還有,當小麥期貨價格高于270美分補倉.的量,1,500

美元可以從保證金賬戶被撤銷時,小麥的期貨價格下降了1500/5000=0.30.停藥

后可發生時,期貨價格下跌至220美分.

5.31股票的當前市價為94美元,同時一個3個月期的、執行價格為95美元的

歐式期權價格為4.70美元,一個投資人認為股票價格會漲,但他并不知道是否

應該買入100股股票或者買入2000個〔相當于20份合約〕期權,這兩種投資

所需資金均為9400美元.在此你會給出什么建議？股票價格漲到什么水平會使

得期權投資盈利更好？

設 3個月以后股票的價格為X美nn’n元〔X>94〕〔1〕當美元時,

94?X?95

此時股票價格小于或等于期權執行價格,考慮到購買期權的費用,應投資于股票.

〔2〕當美元時,投資于期權的收益為：美元,

X?95

(X?95)?2000?9400

投資于股票的收益為美元 令

(X?94)?100

(X?95)?2000?9400?(X?94)?100

解得X= 100美元

給出的投資建議為：若3個月以后的股票價格：美元,應買入100

94?X?100

股股票；若3個月以后的股票價格X=100美元,則兩種投資盈利相同；若3個月

以后股票的價格：美元,應買入2000個期權,在這種價格下會使得期權

X?100

投資盈利更好.

5.35一個投資人進入遠期合約買入方,執行價格為K,到期時間為將來某一時刻.

同時此投資人又買入一個對應同一期限,執行價格也為K的看跌期權,將這兩個

交易組合會造成什么樣的結果？

假設到期標的資產的價格為S,當S>K,遠期合約盈利〔S-K〕,期權不執行,虧損期

權費p,組合凈損益為S-K-p,當S遠期合約虧損〔K-S〕,期權執行,盈利〔K-S〕,

組合凈損益為0.

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5.37一個交易員在股票價格為20美元時,以保證金形式買入200股股票,初始

保證金要求為60%,維持保證金要求為30%,交易員最初需要支付的保證金數量

為多少？股票在價格時會產生保證金催付？

〔1〕由題目條件可知,初始股票價格為20美元,購入了200股股票,那么初始股

票價值為美元,初始準備金為美元.

20?200?40004000?60%?2400

〔2〕設 當股票價格跌至X美元時產生準備金催款

當股票價格下跌至X美元時,股票價值為,則股票價值下跌了

200X

200?(20?X)2400?[200?(20?X)]

美元 此時保證金余額為 美元,又已知維持

2400?[200?(20?X)]

保證金為30%,則有： 解得美元.

?0.3

X?11.43

200X

7.1交易組合價值對于S&P500的dalta值為-2100.當前市值1000,.估計上漲

到1005時,交易組合價格為多少？

交易組合價值減少10500美元.

7.3一個DeLta中的交易組合Gamma為30,估測兩種標的資產變化對交易組合

價值的影響〔a>的資產突然漲2美元〔b>突然跌2美元

兩種情形下的增長量均為0.5*30*4=60美元

7.15一個Delta中性交易組合Gamma與Vega分別為50和25.解釋當資產價格

下跌3美元與波動率增加4%時,交易組合價格變化.

由交易組合價格的泰勒方程展開式得,交易組合的價格變化=25*4%+1/2*50*<-

3><-3>=226<美元>,即交易組合的價格增加226美元.

7.17根據表格信息可以得出組合資產的頭寸數量為-<1000+500+2000+500>=-

4000；

組合的Delta=<-1000>0.5+<-500>0.8+<-2000><-0.4>+<-500>0.7=-450;

????

同理可得組合的Gamma=-6000;組合的Vega=-4000;

〔a〕為達到Gamma中性,需要在交易組合中加入份期權,加

?(?6000/1.5)?4000

入期權后的Delta為,因此,為保證新的交易組合的

?450?4000?0.6?1950

Delta中性,需要賣出1950份英鎊.為使Gamma中性采用的交易是長頭寸,為使

Delta中性采用的交易是短頭寸.

為達到Vega中性,需要在交易組合中加入份期權,加入

?(?4000/0.8)?5000

期權后的Delta為,因此,為保證新的交易組合的Delta

?450?5000?0.6?2550

中性,需要賣出2550份英鎊.為使Vega中性采用的交易是長頭寸,為使Delta中

性采用的交易是短頭寸.

7.18

引入第二種交易所交易期權,假定期權Delta為0.1,Gamma為0.5,Vega為0.6,采用

多少數量的交易可使場外交易組合的Delta,Gamma,Vega為中性.

首先計算交易組合的Delta,Gamma,Vega

Delta=<-1000>x0.5+<-500>x0.8+<-2000>x<-0.4>+<-500>x0.7=-450

Gamma=<-1000>x2.2+<-500>x0.6+<-2000>x1.3+<-500>x1.8=-6000

Vega =<-1000>x1.8+<-500>x0.2+<-2000>x0.7+<-500>x1.4=-4000

1.5?0.5?6000?0

??

12

解得

??

12

?3200,?2400

0.8?0.6?4000?0

??

12

因此,分別加入3200份和2400份交易所交易期權可使交易組合的Gamma,Vega

都為中性.

加入這兩種期權后,交易組合的Delta=3200x0.6+2400x0.1-450=1710,因此必須

賣出1710份基礎資產以保持交易組合的Delta中性.

3 / 8

.

8.15假定某銀行有100億美元1年期與300億美元5年期貸款,支撐這些資產

的是分別為350億美元1年期與50億美元的5年期存款.假定銀行股本為20億

美元,而當前股本回報率為12%.請估計要使下一年股本回報率變為0,利率要如

何變化？假定銀行稅率為30%.

這時利率不匹配為250億美元,在今后的5年,假定利率變化為t,那么銀行的凈利

息收入每年變化2.5t億美元.按照原有的12%的資本收益率有,若銀行凈利息收入

為x,既有x〔1-30%〕/20=12%,解得凈利息收入為x=24/7.最后有2.5t=24/7,解得

1.3714%.即利率要上升1.3714個百分點.

8.16組合A由1年期面值2000美元的零息債券與10年期面值6000美元的零

息債券組成.組合B是由5.95年期面值5000年期的債券組成,當前債券年收益率

10%〔1〕證明兩個組合有相同的久期〔2〕證明如果收益率有0.1%上升 兩個

組合價值百分比變化相等〔3〕如果收益率上升5% 兩個組合價值百分比變化

是多少？

〔1〕對于組合A,一年期債券的現值,十年其債券的

B?2000?e?1809.67

a1

?0.1

現值組合A的久期為

B?6000?e?2207.28

a2

?0.1?10

1?1809.67?2207.28?10

?5.95

由于組合B的久期亦為5.95,因此兩個組合的久

1809.67?2207.28

期相等〔2〕因為收益率上升了0.1%,上升幅度比較小,因此A,B組合價值的變

化可以分別由以下公式表示：

?P??PD?y

AAA

?P??PD?y

BBB

所以有 ;

?P?P

AB

??D??D

AB

P?yP?y

AB

由〔1〕可知組合A與組合B的久期相等,因此兩個組合價值變化同利率變

化的百分比相同.

〔3〕因為收益率上升了5%,上升幅度較大,因此A,B組合價值的變化可分

11

別表示為：;

?P??PD?y?CP(?y)?P??PD?y?CP(?y)

AAAAABBBBB

22

22

?P?P

AB

11

??D?C?y??D?C?y

BAAB

所以有;

P?y2P?y2

AB

1809.67?1?2207.28?10

22

?55.4

可以計算得到組合A的曲率為

1809.67?2207.28

5000?5.95

2

?35.4

組合B的曲率為

5000

?P

A

1

??5.95??55.4?5%??4.565

P?y2

A

4 / 8

.

分別把數據代入公式,計算得到

因此,如果收益率上升5%,兩種組合價值變化同利率變化的百分比分別為-

4.565和-5.065.

8.17 上題中的交易組合的曲率是是多少？a久期和b曲率多大程度上解釋

了上題第三問中組合價值變化的百分比.

曲率的公式為,C=* ,有A組合,CA=〔t12*p1+t22*p2〕式

中,PA=4016.95,t1 =1,t2 =10,P1=2000*e-0.10 ,P2=6000*e-0.10*10,則有

CA=55.40 .B組合,CB=35.40 .〔1〕對于A交易組合,根據公式,

久期衡量交易組合價格對收益率曲線平行變化的敏感度有以下近似式,

B=-D*B*=-5.95*5%=-0.2975,

曲率衡量交易組合價格對收益率曲線平行變化的敏感度有以下更精確的關

系式,B=-D*B*+*B*C*<>2, 則有=-5.95*5%+*55.40*<5%>2=-0.2283而

=-0.23,與曲率實際交易組合價格對收益率變化的百分比為,

關系式結果大體一致,這個結果說明,債券收益率變化較大時,曲率公式比久期公

式更精確.〔2〕對于B交易組合,根據公式,

久期衡量交易組合價格對收益率曲線平行變化的敏感度有以下近似式,

B=-D*B*=-5.95*5%=-0.2975,

曲率衡量交易組合價格對收益率曲線平行變化的敏感度有以下更精確的關

系式,B=-D*B*+*B*C*<>2, 則有=-5.95*5%+*35.40*<5%>2=-0.2533.

=-0.2573,而實際交易組合價格對收益率變化的百分比為,

與曲率關系式結果大體一致,

這個結果說明,債券收益率變化較大時,曲率公式比久期公式更精確.

9.1

Var與預期虧損的區別？預期虧損的長處？

VaR是指在一定的知心水平下損失不能超過的數量；預期虧損是在損失超過VaR

的條件下損失的期望值,預期虧損永遠滿足次可加性〔風險分散總會帶來收益〕

條件.

9.2

一個風險度量可以被理解為損失分布的分位數的某種加權平均.VaR對于第x個

5 / 8

.

分位數設定了100%的權重,而對于其它分位數設定了0權重,預期虧損對于高于

x%的分位數的所有分位數設定了相同比重,而對于低于x%的分位數的分位數設

定了0比重.我們可以對分布中的其它分位數設定不同的比重,并以此定義出所

謂的光譜型風險度量.當光譜型風險度量對于第q個分位數的權重為q的非遞減

函數時,這一光譜型風險度量一定滿足一致性條件.

9.3公告闡明,其管理基金一個月展望期的95%VaR=資產組合價值的6%.你在基

金中有10w美元,如何理解公告

有5%的機會你會在今后一個月損失6000美元或更多.

9.4公告闡明,其管理基金一個月展望期的95%預期虧損=資產組合價值的6%,在

你基金中有10w美元,如何理解公告

在一個不好的月份你的預期虧損為60000美元,不好的月份食指最壞的5%的月

份

9.5 某兩項投資任何一項都有0.9%觸發1000w美元損失,而有99.1%觸發

100w美元損失,并有正收益概率為0,兩投資相互獨立.〔a>對于99%置信水平,

任一項投資VaR多少〔b〕選定99%置信水平,預期虧損多少 〔c〕疊加,99%置

信水平VaR多少疊加,預期虧損〔e>說明VaR不滿足次可加性條件但預期虧

損滿足條件

<1>由于99.1%的可能觸發損失為100萬美元,故在99%的置信水平下,任意一項

損失的VaR為100萬美元.

〔2〕選定99%的置信水平時,在1%的尾部分布中,有0.9%的概率損失1000

萬美元,0.1%的概率損失100萬美元,因此,任一項投資的預期虧損是

0.1%0.9%

?100??1000?910萬美元

〔3〕將兩項投資迭加在一起所產生的投資組合中有

1%1%

0.0090.009=0.000081的概率損失為2000萬美元,有0.9910.991=0.982081

??

的概率損失為200萬美元,有20.0090.991=0.017838的概率損失為1100萬

??

美元,由于99%=98.2081%+0.7919%,因此將兩項投資迭加在一起所產生的投資組

合對應于99%的置信水平的VaR是1100萬美元.

〔4〕選定99%的置信水平時,在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率損失

2000萬美元,有0.9919%的概率損失1100萬美元,因此兩項投資迭加在一起所產

生的投資組合對應于99%的置信水平的預期虧損是

〔5〕由于11001002=200,因此VaR不滿足次可加性條件,

?

?

11079102=1820,因此預期虧損滿足次可加性條件.

?

?

9．6

6假定某交易組合變化服從正態分布,分布的期望值為0.標準差為200w美元.〔a>一

天展望期的97.5% VaR為多少5天為多少〔c>5天展望期99%VaR為多少？

〔1〕1天展望期的97.5% VaR為200<0.975>=200*1.96=392

N

?1

〔2〕5天展望期的97.5% VaR為*392=876.54

5

N(0.99)

?1

2.33

〔3〕1天展望期的99% VaR 為392*=392*=466

?1

1.96

N(0.975)

6 / 8

.

因此,5天展望期的99% VaR 為*466=1042

5

9.12

假定兩投資任意一項都有4%概率觸發損失1000w美元,2%觸發損失100w美元,94%盈

利100w美元.〔a>95%置信水平,VaR多少〔b>95%水平的預期虧損多少 〔c〕疊加,99%置信

水平VaR多少疊加,預期虧損〔e>說明VaR不滿足次可加性條件但預期虧損滿足條件

〔1〕對應于95%的置信水平,任意一項投資的VaR為100萬美元.

〔2〕選定95%的置信水平時,在5%的尾部分布中,有4%的概率損失1000萬

美元,1%的概率損失100萬美元,因此,任一項投資的預期虧損是

〔3〕將兩項投資迭加在一起所產生的投資組合中有0.040.04=0.0016的

?

概率損失2000萬美元,有0.020.02=0.0004的概率損失200萬美元,有

?

0.940.94=0.8836的概盈利200萬美元,有20.040.02=0.0016的概率損失

???

1100萬美元,有20.040.94=0.0752的概率損失900萬美元,有

??

20.940.02=0.0376的概率不虧損也不盈利,由

??

0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此將兩項投資迭加在一起所產生的投

資組合對應于95%的置信水平的VaR是900萬美元.

〔4〕選定95%的置信水平時,在5%的尾部分布中,有0.16%的概率損失2000

萬美元,有0.16%的概率損失1100萬美元,有4.68%的概率損失900萬美元,因此,

兩項投資迭加在一起所產生的投資組合對應于95%的置信水平的預期虧損是

4.68%0.16%0.16%

因此VaR〔5〕由于900100, 2=200,不滿足次可加性條件

?900??1100??2000?941.6萬美元

?

?

5%5%5%

941.68202=1640,因此預期虧損滿足次可加性條件.

?

?

10.9某一資產的波動率的最新估計值為1.5% 昨天價格30美元 EWMA中λ

為0.94 假定今天價格為30.50 EWMA模型將如何對波動率進行更新

在這種情形下,,,由式<9-8>我們可得

?

n?1

?0.015

?

n

?(30.50?30)/30?0.01667

222

?0.94?0.015?0.06?0.01667?0.0002281

出

?

n

因此在第n天波動率的估計值為,即1.5103%.

0.000281?0.015103

10.14 w=0.000004 α=0.05 β=0.92 長期平均波動率為多少 描述波動率會收斂到

長期平均值的方程是什么 如果當前波動率是20% 20天后波動率的期望值是多

少

長期平均方差為ω/〔1-α-β〕,即0.000004/0.03=0.0001333,長期平均波動

率為=1.155%,描述方差回歸長期平均的方程式為E[σ2 n+k]=VL+<

0.0001333

α+β>k<σ2 n- VL>這時E[σ2 n+k]=0.0001330+0.97k〔σ2 n-0.0001330〕

如果當前波動率為每年20%,σ n=0.2/=0.0126,在20天后預期方差為

252

0.0001330+0.9720〔0.01262-0.0001330〕=0.0001471因此20天后預期波動率

為=0.0121,即每天1.21%.

0.0001471

10.17 w=0.000002 α=0.04 β=0.94 波動率近似為1.3% 估計20天后的每天波

動率

7 / 8

.

把=0.0001,=0.0202,=20以與=0.000169帶入公式

V

L

?

?

V(0)

?252{?[V(0)?]}

VV

LL

1?e

得到波動率為19.88%.

?

?

10.18 股票價格為30.2 32 31.1 30.1 30.2 30.3 30.6 33.9 30.5 31.1 33.3 30.8 30.3

29.9 29.8 用兩種方法估計股票價格波動率

每天回報 價格比

u?ln(S?S)

iii?1

周數 股票價格

S/S

ii?1

?

(?)

2

??

?

0 30.2

1 32 1.059603 0.057894

2 31.1 0.971875 -0.02853

3 30.1 0.967846 -0.03268

4 30.2 1.003322 0.003317

5 30.3 1.003311 0.003306

6 30.6 1.009901 0.009852

7 33 1.078431 0.075508

8 32.9 0.99697 -0.00303

9 33 1.00304 0.003035

10 33.5 1.015152 0.015038

11 33.5 1 0

12 33.7 1.00597 0.005952

13 33.5 0.994065 -0.00595

14 33.2 0.991045 -0.009

此時,,

?

u?0.094708

i

?

u?0.01145

i

2

0.011450.094708

2

??0.02884

周收益率標準差的估計值為

1314?(14?1)

即周波動率為2.884%

0.02884

?0.00545

或每周0.545% 每周波動率的標準差為

2?14

10.19昨天收盤價300美元 波動率1.3% 今天收盤價298 〔1〕采用ewma 其

中λ=0.94〔2〕garch模型 w=0.000002 α=0.04 β=0.94

在這種情形下,,,由式<9-8>我

?

n?1n

?0.013?(298?300)/300?-0.0066667

?

222

?0.94?0.013?0.06?0.0066667?0.000161527

們可得出

?

n

因此在第n天波動率的估計值為,即1.2709%.

0.000161527?0.012709

222

這里GARCH<1,1>模型為

???

nn?1n?1

?0.000002?0.04?0.94

22

22

由知,,,因此

?

n?1

?0.013?0.000169

?

n-1

?(-0.0066667)?0.000044447

2

對于波動率的最新估計為,即每天1.2604%.

?

n

?0.00015886=0.012604

10.23 <1> =1000/1.6448727 =607.94978

VaR?N(X)

?

?1

?

VaR?N(99%)

?

?1

=607.94978*2.326=1414.0912〔萬美元〕

〔2〕

Prob?x?Kx

??

?

?

?

K?0.05/1000

?3

?50000000

0.01?Kx

-3

所以

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