學(xué)而思 小升初專項(xiàng)訓(xùn)練__數(shù)論篇(1) 教師版

2023年12月9日發(fā)(作者：荒誕無稽)

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名校真題 測試卷10 （數(shù)論篇一）

時(shí)間：15分鐘 滿分5分 姓名_________ 測試成績_________

1 （05年人大附中考題）

有____個(gè)四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同；它的每個(gè)數(shù)字都能整除它本身。

2 （05年101中學(xué)考題）

如果在一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之間添寫一個(gè)零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問這個(gè)兩位數(shù)

是＿＿。

3 （05年首師附中考題）

1++?=＿＿。

4 （04年人大附中考題）

甲、乙、丙代表互不相同的3個(gè)正整數(shù)，并且滿足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

5 (02年人大附中考題)

下列數(shù)不是八進(jìn)制數(shù)的是( )

A、125 B、126 C、127 D、128

【附答案】

1 【解】：6

2 【解】：設(shè)原來數(shù)為ab，這樣后來的數(shù)為a0b,把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9×(10a+b),所以我們可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數(shù)為45。

3 【解】：周期性數(shù)字，每個(gè)數(shù)約分后為21+++=1

4 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數(shù)，而且是個(gè)偶數(shù)（乙+乙），這樣我們分解135=5×3×3×3，所以丙最小應(yīng)該是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 【解】：八進(jìn)制數(shù)是由除以8的余數(shù)得來的，不可能出現(xiàn)8，所以答案是D。

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第十講 小升初專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)論篇（一）

希望考入重點(diǎn)中學(xué)？

奧數(shù)網(wǎng)是我們成就夢想的地方！

一、小升初考試熱點(diǎn)及命題方向

數(shù)論是歷年小升初的考試難點(diǎn)，各學(xué)校都把數(shù)論當(dāng)壓軸題處理。由于行程題的類型較多，題型多樣，變化眾多，所以對學(xué)生來說處理起來很頭疼。數(shù)論內(nèi)容包括：整數(shù)的整除性，同余,奇數(shù)與偶數(shù),質(zhì)數(shù)與合數(shù),約數(shù)與倍數(shù),整數(shù)的分解與分拆等。作為一個(gè)理論性比較強(qiáng)的專題，數(shù)論在各種杯賽中都會(huì)占不小的比重，而且數(shù)論還和數(shù)字謎,不定方程等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系,其重要性是不言而喻的。

二、2007年考點(diǎn)預(yù)測

2007年的小升初考試將繼續(xù)以填空和大題形式考查數(shù)論，命題的方向可能偏向小題考察單方面的知識點(diǎn)，大題則需綜合運(yùn)用數(shù)的整除，質(zhì)數(shù)與合數(shù)，約數(shù)倍數(shù)以及整數(shù)的分拆等方法，希望同學(xué)們?nèi)嬲莆諗?shù)論的幾大知識點(diǎn)，能否在考試中取得高分解出數(shù)論的壓軸大題是關(guān)鍵。

三、基本公式

1）已知b|c,a|c,則[a,b]|c,特別地，若(a,b)=1,則有ab|c。

[講解練習(xí)]：若3a75b能被72整除，問a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯試題）

2）已知c|ab，(b,c)=1,則c|a。

3）唯一分解定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即

n= p1a1× p2a2×...×pkak（#)

其中p1

該式稱為n的質(zhì)因子分解式。

[講解練習(xí)]：連續(xù)3的自然樹的積為210，求這三個(gè)數(shù)為＿＿.

4）約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如（#）

那么n的約數(shù)個(gè)數(shù)為d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

所有約數(shù)和：（1+P1+P1+?p12a1）（1+P2+P2+?p22a2）?（1+Pk+Pk+?pk2ak）

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[講解練習(xí)]：1996不同的質(zhì)因數(shù)有＿＿個(gè)，它們的和是＿＿。（1996年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽）

5) 用[a,b]表示a和b的最小公倍數(shù)，(a,b)表示a和b的最大公約數(shù)，那么有ab=[a,b]×(a,b)。

[講解練習(xí)]：兩個(gè)數(shù)的積為2646，最小公倍數(shù)為126，問這兩個(gè)數(shù)的和為＿＿。（迎春杯刊賽第10題）

6）自然數(shù)是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等數(shù)整除的判別方法。

[講解練習(xí)]：3aa1能被9整除，問a=＿＿.（美國長島數(shù)學(xué)競賽第三試第3題）

7）平方數(shù)的總結(jié)：

小生初四個(gè)考點(diǎn)：1：平方差 A2-B2=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。

[講解練習(xí)]：82-72+62-52+42-32+22-12=＿＿。

2：約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。

約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。

[講解練習(xí)]：1～100中約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的所有數(shù)和為＿＿。

3：質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。

[講解練習(xí)]：a與45的乘積一個(gè)完全平方數(shù)，問a最小是＿＿。

4:平方和。

8）十進(jìn)制自然數(shù)表示法，十進(jìn)制和二進(jìn)制，八進(jìn)制，五進(jìn)制等的相互轉(zhuǎn)化。

9）周期性數(shù)字：abab=ab×101

[講解練習(xí)]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。

公式需牢記

做題有信心！

四、典型例題解析

1 數(shù)的整除

【例1】（★★★）將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)（4×3×2×1=24）。將這24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在3000-4000之間。請求出這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)。

【解】：不妨設(shè)這4個(gè)數(shù)字分別是a>b>c>d

那么從小到大的第5個(gè)就是dacb,它是5的倍數(shù)，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;

從大到小排列的第2個(gè)是abdc,它是不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，c＜b=5，c=4或2

從小到大的第二十個(gè)是adbc,第五個(gè)是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4；

因?yàn)閍>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍數(shù)，和條件矛盾。因此d=3,從而a=d+4=3+4=7。

這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)顯然是abcd,我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3

所以這24個(gè)四位數(shù)中最大的一個(gè)是7543。

【例2】（★★★）一個(gè)5位數(shù)，它的各個(gè)位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)？

[思路]：現(xiàn)在我們有兩個(gè)入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)學(xué)而思教育 07年寒假小升初專項(xiàng)訓(xùn)練班講義 六年級精英班 第十講 教師版 Page 97

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的運(yùn)用要具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手

【解】：5位數(shù)數(shù)字和最大的為9×5=45，這樣43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979，97999，98989符合條件。

【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？

【解】：各位數(shù)字和為1+3+4+5+7+8=28

所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14

為了使得該數(shù)最大，首位必須是8，第2位是7，14-8=6

那么第3位一定是5，第5位為1

該數(shù)最大為875413。

[拓展]：一個(gè)三位數(shù)，它由0，1，2，7，8組成，且它能被9整除，問滿足條件的總共有幾個(gè)？

【例4】（★★）一個(gè)學(xué)校參加興趣活動(dòng)的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7 ，女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的2/5 。問男女生各多少人？

【來源】：06年理工附入學(xué)測試題

【解】：男生超過總數(shù)的4/7就是說女生少個(gè)總數(shù)的3/7，這樣女生的范圍在2/5～3/7之間，同理可得男生在4/7～3/5之間，這樣把分?jǐn)?shù)擴(kuò)大，我們可得女生人數(shù)在28/70～30/70之間，所以只能是29人，這樣男生為41人。

2 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)）

【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,請問□里最小是幾?

【解】：先分析1×2×3×4××10的積的末尾共有多少個(gè)0。由于分解出2的個(gè)數(shù)比5多，這樣我們可以得出就看所有數(shù)字中能分解出多少個(gè)5這個(gè)質(zhì)因數(shù)。而能分解出5的一定是5的倍數(shù)。注意：5的倍數(shù)能分解一個(gè)5，25的倍數(shù)分解出2個(gè)5，125的倍數(shù)能分解出3個(gè)5??最終轉(zhuǎn)化成計(jì)數(shù)問題，如5的倍數(shù)有[10/5]=2個(gè)。

2005=5×401 684=2×2×171

375=3×5×5×5前三個(gè)數(shù)里有2個(gè)質(zhì)因子2，4個(gè)質(zhì)因子5，要使得乘積的最后4位都是0

應(yīng)該有4個(gè)質(zhì)因子2和4個(gè)質(zhì)因子5，還差2個(gè)質(zhì)因子。因此□里最小是4。

[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍數(shù)，問□里最小是_____

【例6】（★★★）03 年101中學(xué)招生人數(shù)是一個(gè)平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時(shí)，04年的招生人數(shù)比03年多了101人，也是一個(gè)平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？

【解】：看見兩個(gè)平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)跟平方差相關(guān)，這樣我們大膽的設(shè)03年的為A2，04年的為B2，從中我們發(fā)現(xiàn)04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B- A=101

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此后思路要很順，因?yàn)榭匆娖椒讲钪挥幸环N方法那就是按公式展開，

所以B2- A2=（A+B）（A-B）=101，可見右邊的數(shù)也要分成2個(gè)數(shù)的積，還得考慮同奇偶性，但101是個(gè)質(zhì)數(shù)，所以101只能分成101×1，這樣A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人數(shù)為51×51=2601。

[拓展]：一個(gè)數(shù)加上10，減去10都是平方數(shù)，問這個(gè)數(shù)為多少？（清華附中測試題）

3 約數(shù)和倍數(shù)

【例7】（★★★）從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？

【解】：邊長是2002和847的最大公約數(shù)，可用輾轉(zhuǎn)相除法求得 （2002,847）=77

所以最后剪得的正方形的邊長是77毫米。

輾轉(zhuǎn)相除示例：

2002÷847=2?308 求2個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù)

847÷308=2?231 用上一個(gè)式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止

308÷231=1?77 用上一個(gè)式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止

231÷77=3 最后一個(gè)除盡的式子的除數(shù)就是兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

【例8】（★★★）一根木棍長100米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標(biāo)記線，從右往左每5米作一根標(biāo)記線，請問所有的標(biāo)記線中有多少根距離相差4米？

【解】：100能被5整除，所以每5米作標(biāo)記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作，可見轉(zhuǎn)化成討論5，6的最小公倍數(shù)中的情況，畫圖可得有2根距離為4米，所以30，60，90里各有2條，但發(fā)現(xiàn)最后96和100也是距離4米，所以總共2×3+1=7。

[拓展]：在一根長木棍上，有三種刻度線.第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？

【例9】（★★★）1、2、3、4?2008這2008個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個(gè)2與一個(gè)奇數(shù)的積？

【解】：最小公倍數(shù)就是分解質(zhì)因數(shù)中共有的最多因數(shù)，這樣我們發(fā)現(xiàn)除2以外都是奇數(shù)質(zhì)因數(shù)，可見我們只要找需要多少個(gè)2，所以只要看1～2008中2ˇn誰最大，可見2ˇ10=1024，所以為10 個(gè)2。

【例10】（★★★★）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號說“這個(gè)數(shù)能被3整除”，??，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗(yàn)證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)。（寫出解題過程）

【解】：1）首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個(gè)數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除。

其次利用整除性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。

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2）這個(gè)數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)

由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60060

因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是60060。

4 數(shù)論的綜合題型

【例11】（★★★★）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1，2，…,12.他們的電話號碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？

【解】：

設(shè)第一戶電話號是x+1,第二戶x+2,….第12戶電話號x+12

根據(jù)條件得x+i是i的倍數(shù)(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍數(shù)

[1,2,…..12]=27720

所以x=27720m

27720m+9是13的倍數(shù)，27720除以13余數(shù)為4

所以4m+9是13的倍數(shù)m=1,14,27….

第一家電話號碼是27720m+1 m取14合適；

因此第一家電話號碼是27720*14+1=388081

[拓展]：寫出連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)，要求第1個(gè)是2的倍數(shù)，第二個(gè)是3的倍數(shù)?第11個(gè)是12的倍數(shù)？

【例12】（★★★★）有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號。1號同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號說“這個(gè)數(shù)能被3整除”，??，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗(yàn)證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：（1）說得不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)。（寫出解題過程）

【解】：1）首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學(xué)說的一定都對。不然，其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合。因此，這個(gè)數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除。

其次利用整除性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號為10，12，14的同學(xué)說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。

2）這個(gè)數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)

由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60060

因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是60060。

小結(jié)

本講主要接觸到以下幾種典型題型：

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1）數(shù)的整除。 參見例1，2，3，4

2）質(zhì)數(shù)與合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)）。參見例5，6

3）約數(shù)和倍數(shù)。 參見例7，8，9，10

4）數(shù)論的綜合題型。 參見例11，12

【課外知識】

打開另一扇心窗

很久以前，在意大利的龐貝古城里，一個(gè)普通人家出生了一個(gè)叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小雙目失明，但她并不怨天怨地，也沒有垂頭喪氣，反而熱愛生活，對生活充滿信心和希望。稍稍長大后，她像常人一樣勞動(dòng)，靠賣花自食其力。不久，維蘇威火山爆發(fā)，龐貝城面臨一次大的災(zāi)難，整座城市被籠罩在濃煙塵埃之中。濃密的火山灰，遮掩了太陽、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，驚慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人們好像生活在人間的地獄中。莉蒂雅雖然看不見，但這些年來，她走街串巷在城里賣花，對城市的各條道路了如指掌。她就靠自己的觸覺和聽覺找到了生路，不但救了自己的家人，還救了許多市民。

后來，莉蒂雅的事跡一直被后人所傳頌，并出現(xiàn)在很多的文學(xué)作品中。

啟迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的殘疾反而成了她的財(cái)富。不要總以為自己是最倒霉的。其實(shí)，上蒼很公平。有時(shí)候，命運(yùn)向你關(guān)閉這一心窗的同時(shí)，又為你開啟了另一心窗，同樣可以享受人生的快樂

作業(yè)題

（注：作業(yè)題--例題類型對照表，供參考）

題1，4—類型1；題2，6—類型3；題3，5，8—類型2；題7—類型2

1．（★★）在1～100這100個(gè)自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？

解：1+2+??+100=5050

9+18+27+??+99=9×(1+2+??+11)=495

隨意1-100中所有不能被9整除的數(shù)的和是5050-495=4555

2．（★★）某班學(xué)生不超過60人，在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占數(shù)占1217

，得80～89分的人，得70～79分得人數(shù)占1713，那么得70分以下的有________人。

解：有、12、13，說明總?cè)藬?shù)一定為7的倍數(shù)、2的倍數(shù)、3的倍數(shù)，故為[7、2、3]＝42的倍數(shù)；

又由于人數(shù)不超過60人，故這班的人數(shù)只能為42人。

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從而70分以下的有：42×?1???17?12?1??＝1人。

3?

3．（★★）自然數(shù)N是一個(gè)兩位數(shù)，它是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而且N的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有_______個(gè)。

解：枚舉法：23，37，53，73，，有4個(gè)

4. （★★★）三個(gè)自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都不能被另外兩個(gè)數(shù)整除，而其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積卻能被第三個(gè)數(shù)整除，那么這樣的三個(gè)自然數(shù)的和的最小值是多少？

解：這三個(gè)自然數(shù)最小是6，10，15（分別是2×3,2×5,3×5）

和的最小值為31。

5、（★★★）五個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和是完全平方數(shù)，中間三個(gè)偶數(shù)之和是立方數(shù)（即一個(gè)整數(shù)的三次方），這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是多少？

解：設(shè)中間一個(gè)數(shù)為2x

那么5個(gè)數(shù)的和為10x=m^2

中間3個(gè)數(shù)的和為6x=n^3

設(shè)x=2^p × 3^q × 5^r

再根據(jù)一個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)等價(jià)于它的各個(gè)質(zhì)因子的冪都是偶數(shù)，一個(gè)數(shù)是立方數(shù)等價(jià)于他的各個(gè)質(zhì)因子的冪都是3的倍數(shù)可以求得p=5,q=2,r=3

X=36000

因此所求為2x+4=72004

6、（★★）一個(gè)數(shù)減去100是一個(gè)平方數(shù)，減去63也是一個(gè)平方數(shù)，問這個(gè)是多少？

解：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×1，考慮同奇偶性，可知A=19，B=18，這樣這個(gè)數(shù)為461。

7、（★★★）從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行．從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至1l報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列．那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號是______．

【來源】北京市第七屆“迎春杯”決賽第二題第4題

【解】第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號都是11的倍數(shù)；第二次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號都是112=121的倍數(shù)；第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號都是113=1331的倍數(shù)．因此，第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號是1331．

8、（★★★）有1997個(gè)奇數(shù)，它們的和等于它們的乘積．其中只有三個(gè)數(shù)不是l，而是三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)．那么，這樣的三個(gè)質(zhì)數(shù)可以是 、 、 ．

【解】設(shè)a、b、c為三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，根據(jù)題意

1994+a+b+C=a·b·c．

取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是質(zhì)數(shù)；

取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=501不是整數(shù)；

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取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．

故5、7、59是滿足題意的三個(gè)質(zhì)數(shù)．

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