第一講 三角形的邊及線段

2023年12月10日發(作者：黨的紀律學習心得)

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第一講 三角形的邊及線段

知識要點

1、三角形的概念

不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。

2、三角形的三邊關系

三角形的兩邊之和大于第三邊，可用字母表示為a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b

兩邊之差小于第三邊。

3. 三角形的三條重要線段

三角形的高

定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高（簡稱三角形的高）

1.畫出①、②、③三個△ABC各邊的高,并說明是哪條邊的高.

AAA

B三角形的中線

定義：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線

三角形的角平分線

定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

4． 三角形的穩定性

三角形的三邊長一旦確定，三角形的形狀就唯一確定，這個性質叫做三角形的穩定性。四邊形則不具有穩定性。

CBCBC經典例題

例1.一個三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的第三邊的長可能是（ ）

A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 例2.有下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？

(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12

例3.從長度分別為10cm、20cm、30cm、40cm的四根木條中，任取三根可組成三角形的個數是( )．

(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個

例4.若三角形的兩邊長分別為3和5，則其周長l的取值范圍是( )．

(A)6＜l＜15

(C)11＜l＜13

(B)6＜l＜16

(D)10＜l＜16

例5.(1)一個等腰三角形的周長為18，若腰長的3倍比底邊的2倍多6，求各邊長．

(2)已知等腰三角形的一邊等于8cm，一邊等于6cm，求它的周長．

(3)一個等腰三角形的周長為30cm，一邊長為6cm，求其它兩邊的長．

(4)有兩邊相等的三角形的周長為12cm，一邊與另一邊的差是3cm，求三邊的長．

例6.如圖，已知△ABC的周長為16厘米，AD是BC邊上的中線，AD=AB，AD=4厘米，△ABD的周長是12厘米，求△ABC各邊的長。

45例是△ABC的中線，DE=2AE，若△ABC的面積是18cm2，則△ABE的面積=__________

例8.如圖，在△ABC中，AE是角平分線，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度數．

例9、如圖，在ΔABC中，AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的角平分線，已知∠BAC=82，∠C=400，求∠DAE的大小。

0 例10..如圖，在△ABC中，BD是角平分線，BE是中線，若AC=24cm，則AE=

cm，若∠ABC=72°，則∠ABD=_____度．

例11、在建筑工地我們常可看見如右圖所示，用木條EF

固定矩形門框ABCD的情形.這種做法根據( )

A.兩點之間線段最短 B.兩點確定一條直線

C.三角形的穩定性 D.垂線段最短

例12、我們學校的大門是電動推拉門，這種門工作的原理

是根據四邊形的 。

同步練習

1、如果三條線段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可構成三角形的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

2、已知三角形兩邊長分別為4 cm和9 cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（）

A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm

3、為估計池塘兩岸A、B間的距離，楊陽在池塘一側選取了一點P，測得PA=16

m，PB=12 m，那么AB間的距離不可能是（）

A．5 m B．15m C．20 m D．28m

4、一個三角形的周長是偶數，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個數為（）

A．2個 B．4個 C．6個 D．8個

5、三角形的角平分線、中線和高都是（） A．直線 B．線段 C．射線 D．以上答案都不對

6、如圖，如果把△ABC沿AD折疊，使點C落在AB上的點E處，那么折痕（線段AD）是△ABC的（）

A．中線

C．高

B．角平分線

D．既是中線，又是角平分線

7、如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列說法中，錯誤的是（ ）

A．△ABC中，AC是BC邊上的高

B．△BCD中，DE是BC邊上的高

C．△ABE中，DE是BE邊上的高

D．△ACD中，AD是CD邊上的高

8、若a、b、c表示△ABC的三邊長，則|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.

9、三角形的兩邊長分別為5 cm和12 cm，第三邊與前兩邊中的一邊相等，則三角形的周長為________.

10．在△ABC中，AD是中線，則△ABD的面積______△ACD的面積．（填“>”，“<”或“=”）

11．在△ABC中，若∠A=30°， ∠B=60°，則這個三角形為 三角形；若∠A：∠B：∠C=1：3：5，這個三角形為 三角形．（按角的分類填寫）

12．一木工師傅有兩根長分別為5cm、8cm的木條，他要找第三根木條，將它們釘成一個三角形框架，現有3cm、10cm、20cm三根木條，他可以選擇長為 cm的木條．

13．若一個等腰三角形的兩邊長分別是3 cm和5 cm，則它的周長是____ _ cm．

14 、在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABD和△ADC的周長之差為4（AB＞AC），AB與AC的和為14，求AB和AC的長．

拓展提高

1、已知等腰三角形的一邊長等于4，另一邊長等于9，求這個三角形的周長。

2．(1)若三角形三條邊的長分別是7，10，x，求x的范圍．

(2)若三邊分別為2，x－1，3，求x的范圍．

(3)若三角形兩邊長為7和10，求最長邊x的范圍．

(4)等腰三角形腰長為2，求周長l的范圍．

(5)等腰三角形的腰長是整數，周長是10，求它的各邊長．

3．已知等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分為9cm和15cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊長和腰長．

4．如圖，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點O，且∠A=60°，求∠BOC的度數．

5．如圖，AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線，

（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度數；

（2）在△BED中作BD邊上的高；

（3）若△ABC的面積為60，BD=5，則點E到BC邊的距離為多少？

6．已知△ABC中，∠BAC=100°．

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，如圖1所示，試求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等分的射線）相交于O，O1，如圖2所示，試求∠BOC的大小；

（3）如此類推，若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O，O1，O2…，如圖3所示，試探求∠BOC的大小與n的關系，并判斷當∠BOC=170°時，是幾等分線的交線所成的角．

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