第2章 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)題解

2023年12月18日發(fā)(作者：巨蟹座男生的性格)

習(xí) 題

2-1已知系統(tǒng)的彈簧剛度k =800 N/m，作自由振動(dòng)時(shí)的阻尼振動(dòng)周期為1.8s，相鄰兩振幅的比值A(chǔ)i4.2?，若質(zhì)量塊受激振力F(t)?360cos3tN的作用，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

Ai?11解：由題意，可求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

2???pn??xx?2nx360cos3t

m得到穩(wěn)態(tài)解

其中

x?Bcos(3t??)

B?B0(1??2)2?4?2?2tg??B0?360?0.45m

k

2n?2???

2pn??21??2Ai?4.2?enTd

Ai?1

2πpd??3.489Td2pn?n2

由

??ln??nTd

Td?1.8ln?n??0.797Td又

有

pd?22pn?pd?n2pn?3.579

????

?pn?3?0.8383.579n0.797??0.223pn3.5790.45(1?0.838)2?4?0.2232?0.83822?0.223?0.8380.374??1.25520.2981?0.838?0.45?1.103

0.408B?tg????51.45?所以

x＝1.103 cos(3t－51?27?)

AAAAAA

2-2一個(gè)無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受簡諧激振力作用，當(dāng)激振頻率?1

=6rad/s時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振；給質(zhì)量塊增加1 kg的質(zhì)量后重新試驗(yàn)，測得共振頻率?2

=5.86rad/s，試求系統(tǒng)原來的質(zhì)量及彈簧剛度。

解：設(shè)原系統(tǒng)的質(zhì)量為m，彈簧常數(shù)為k

由

pn?k，共振時(shí)pn??1?mk 所以

6?mk

m ①

又由 當(dāng)

pn??2?k?5.86 ②

m?1①與②聯(lián)立解出 m＝20.69 kg，k＝744.84 N/m

2-3總質(zhì)量為W的電機(jī)裝在彈性梁上，使梁產(chǎn)生靜撓度?st，轉(zhuǎn)子重Q，重心偏離軸線e，梁重及阻尼可以不計(jì)，求轉(zhuǎn)速為?時(shí)電機(jī)在垂直方向上穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅。

解：列出平衡方程可得：

W?k(?st?x)?Q2Wwesinwt?xgg

WQx?kx?w2esin(wt??)ggkgQx?x?w2esin(wt??)WWPn?kgWW所以：， 又因?yàn)閃?k?st即k?

?stQh?w2eW將結(jié)果代入B?Qw2e?stB=W(g?w2?st)即為所求的振幅

h?Pn2?W2?2得：

2-4如題2-4圖所示，作用在質(zhì)量塊上的激振力F(t)?F0sin?t，彈簧支承端有運(yùn)動(dòng)xs?acos?t，寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

AAAAAA

題2-4圖

解：選xs?0時(shí)物塊平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，如右圖，

則

mx?k(x?xs)?p(t) 即

mx?kx?kxs?p(t)

即

mx?kx?kacoswt?p0sinwt （*）p0改成F0，下面也都一樣

利用復(fù)數(shù)求解 ， 用

ejwt代換sinwt 并設(shè)方程（*）的特解為

x(t)?Bejwt 代入方程（*）得B?p0?jka?Bej?

2k?mw其中B為振幅，?為響應(yīng)與激勵(lì)之間的相位差，有

22p02?k2a2?p0??ka??=B?B????22?2?222?k?mw??k?mw?m?pn?w?p02?pn4a22m?422pn?1???p02?a242pnm?1???22

1?1??2p022。

?a2kka2kaka?k?mw

tg?

???arctg

?p0p0p0k?mw21

?x(t)?Bsin?wt????1??2其中

?p02ka?2?asinwt?arctg??

2kp0????wk

,pn?pnm2-5如題2-5圖的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，兩個(gè)彈簧的連接處有一激振力F0sin?t，求質(zhì)量塊的振幅。

解：設(shè)彈簧1，2的伸長分別為x1和x2，則有，

x?x1?x2 （A）

由圖（1）和圖（2）的受力分析，得到

AAAAAA

題2-5圖

k1x1?k2x2?P0sin?t （B）

???k2x2 （C）

m?x???x聯(lián)立解得，m?k1k2k2x?P0sin?t

k1?k2k1?k2???xk1k2k2x?P0sin?t

(k1?k2)m(k1?k2)m所以pn?k1k2，n = 0，得，

m(k1k2)B?h(p??)?(2n?)2n222?Hk1(1??)?(2??)222?P0k111?(?pn

)2

2-6在題2-6圖示的系統(tǒng)中，剛性桿AB的質(zhì)量忽略不計(jì)，B端作用有激振力F0sin?t，寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并求下列情況中質(zhì)量m作上下振動(dòng)的振幅值∶(1)系統(tǒng)發(fā)生共振；(2)??等于固有頻率pn的一半。

解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位置，以?為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，畫受力如圖（2）

題2-6圖

XA

A

YA

F0sin?t

?

mg

FC

B

FK

????2l?c?(2l???)?3l?k(??3l)?3lFsin?t

I?0???4c????k??3Fsin?t 又 I＝ml2

??0mmml則

AAAAAA

?29kpn??m???2n?4c,?m?h?3F0ml

B??h2(pn??2)2?(2n?)2B?lB??1）系統(tǒng)共振，即

pn??

hl2(pn??2)2?(2n?)2

?B?(3F0/ml)?lF0hl??2npn4c4c9k?mmm

k2）??1pn

2hl?32?2?pn??(npn)?4?2

?B??3F0?lml4c9k?27k????2mm?4m?22?4F09k11?64c81mk2

2-7寫出題2-7圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)固有頻率pn、阻尼比?及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅。

題2-7圖

解：以剛桿轉(zhuǎn)角?為廣義坐標(biāo)，由系統(tǒng)的動(dòng)量矩定理

????k(l??xs)l?cl2??

4l2m????即

?ckka?????sin?t

4m4ml令，pn?knc?cka?，2n?，??，h?，??得到

4mpn8mpnpn4m4mlAAAAAA

B??ka?2l4ml2pn(1?h(p??)?(2n?)2a2n222

B?B?2l??22)?(22pnn?2)pnpn?(1??)?(2??)222

2-8一機(jī)器質(zhì)量為450kg，支承在彈簧隔振器上，彈簧靜變形為0.5cm。機(jī)器有一偏心重，產(chǎn)生偏心激振力F0?2.254?2gN，其中?是激勵(lì)頻率，g是重力加速度。求(1)在機(jī)器轉(zhuǎn)速為1200 r/min時(shí)傳入地基的力；(2)機(jī)器的振幅。

解：設(shè)系統(tǒng)在平衡位置有位移x，

則mx?kx?F0，即x?Fmgk （1）

x?0，又有mg?k?st 則k??stmmF0?2???所以機(jī)器的振幅為B? （2） 且，??40?rad（3）

2spnk1??又有pn?2kg?（4） 將（1）（2）（4）代入（2）得機(jī)器的振幅B=0.584 mm

m?st則傳入地基的力為pT?kB?514.7N

2-9一個(gè)粘性阻尼系統(tǒng)在激振力F(t)?F0sin?t作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)力為x(t)?Bsin??t??，已??π?6?知F0=19.6N，B =5 cm ，??20πrad/s，求最初1秒及1/4秒內(nèi)，激振力作的功W1及W2。

解：由已知可得：F?t??F0sin20?t

AAAAAA

π?π?????t??B?cos??t?x?πcos20πt????6?6???W1?1?F?t?x?t?dt01?π??19.6sin20πt?πcos20πt???dt?6??0cos40πt13|0?4.9π??1?cos80πt?dt4001

??4.9??15.39J同理可得：

140W2??F?t?x?t?dt0π???19.6sin20πt?πcos20πt???dt

?6??0?0.0395J

140?(0)?0，求系統(tǒng)響應(yīng)。 2-10無阻尼系統(tǒng)受題2-10圖示的外力作用，已知x(0)?x周期函數(shù)才用頻譜分析！

解：由圖得激振力方程為

0?t?t1?P1?F(t)???P1t1?t?t2

?0t?t2?題2-10圖

當(dāng) 0 < t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)?P1，則有

x(t)??2由于pn?P1Psinpn(t??)d??12[1?cospnt]

0mpmpnntk，所以有

mx(t)?P1[1?cospnt]

kAAAAAA

當(dāng)t1 < t < t2時(shí)，F(xiàn)(?)??P1，則有

x(t)??t1t?PP11sinpn(t??)d???sinpn(t??)d?

t1mpmpnn0

?P1P[cospn(t1?t)?cospnt]?1[1?cospn(t1?t)]

kk當(dāng) t < t2時(shí)，F(xiàn)(?)?0，則有

x(t)??t1t?PP11sinpn(t??)d???sinpn(t??)d?+ 0

t1mpnmpn0

?

P1P[cospn(t1?t)?cospnt]?1[cospn(t2?t)?cospn(t1?t)]

kk?(0)?0，求質(zhì)量m的2-11如題2-11圖的系統(tǒng)，基礎(chǔ)有階躍加速度bu（t），初始條件為x(0)?x相對位移。

解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為

???c(x??x?s)?k(x?xs)

m?x?r?cx?r?kxr??mbu(t)

x令xr?(x?xs)，則有

m?得到系統(tǒng)的激振力為，F(xiàn)(?)??mbu(?)，可得響應(yīng)為

題2-11圖

xr(t)?????mb?n(t??)esinpd(t??)d?0mpdtpdb?ntnn?n?te[2esinp(t??)?ecosp(t??)]dd0

222pdn?pdn?Pd其中pd?

?bne?nt?nt?2(1?sinpt?ecospdt)d2pdn?pdkc22pn?n2，pn?，2n?。

mm2-12上題系統(tǒng)中，若基礎(chǔ)有階躍位移au(t)，求零初始條件下的絕對位移。

解：由上題可得系統(tǒng)的微分方程為

AAAAAA

mx?k?xs?x??c?xs?x?

即

mx?cx?kx?kxs?cxs

基礎(chǔ)有階躍位移為au?t? 故xs=0

xs=au?t?

?mx?cx?kx?kau?t?

得到系統(tǒng)的激振力為，F(xiàn)(?)?kau(?)，可得響應(yīng)為

tF????n?t???kau(?)?n(t??)esinpd(t??)d?

x?t???esinpd?t???dt??0mpmpdd0t?ka?ntnn?eempdn2?pd2?pdpd1????sinpt?cosptdd??

?n2entn?2n?????????pnt??pn?a?1?esinpdt?cospdt??

?p?d???其中pd?

22pn?n2，pn?kc，2n?。

mm2-13 求零初始條件的無阻尼系統(tǒng)對題2-13圖示激振力的響應(yīng)。

解：由圖得激振力方程為

t?P(1?)?0tF(t)??1?0?0?t?t1t?t1

題2-13圖

當(dāng) 0 < t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)?P0(1?t?t1)，則有

x(t)??P1?t1P0(1?)sinpn(t??)d??0[1??cospnt?sinpnt]

0mpt1kt1pnt1n當(dāng)t 》 t1時(shí)，F(xiàn)(?)?0，則有

AAAAAA

x(t)??t101?P0(1?)sinpn(t??)d??0mpnt1P1?0{?cospnt?[sinpnt?sinpn(t?t1)]}kpnt1

2-14 零初始條件的無阻尼系統(tǒng)受題2-14圖的外力作用，求系統(tǒng)響應(yīng)。

解：由圖得激振力方程為

??P0??F(t)??P0??0??運(yùn)動(dòng)微分方程為

tt1t2?tt2?t10?t?t1t1?t?t2

t?t2題2-14圖

mx?kx?F?t?

當(dāng)0?t?t1時(shí)，F(xiàn)?t??F0t

t1tx?t?????t0F???sinpn?t???d?mpnF0?sinpn?t???d?0mptn1F11?0(cospn(t??)?|t0?mpnt1pnpn????F0tF0t?cospn(t??)d??0kt1kt1F0tF01??sinpn(t??)|t0kt1kt1pnF0tF?0sinpntkt1kt1pnF0?tsinpnt????k?t1pnt1??cosp(t??)d?)0nt

AAAAAA

當(dāng)t1?t?t2時(shí)，F(xiàn)?t??F0tFt?02 算法同上，所以有

t1?t2t2?t1x?t?????10tF???sinpn?t???d?0mpnttF0?F0t2?1?F0?sinpn?t???d????sinpn?t???d???t1mpmpnt1t2?t1?n?t1?t2

F?0k?t2?tsinpntt2sinpn?t?t1??????

t?tptptt?tn1n1?21???21

當(dāng)t?t2時(shí)，F(xiàn)?t??0

x?t???t10t2F?F0?t2?t0sinpn?t???d??????sinpn?t???d?+0

t1mpmpnt1t?tt?tn?1221??F0k?sinpntt2sinpn?t?t1?sinpn?t?t2???????

pnt1?t2?t1?pn?t2?t1???pnt1

?系統(tǒng)響應(yīng)為

?F?tsinpt?n?0???,0?t?t1pnt1??k?t1??F?t?tsinpntt2sinpn?t?t1??

x?t???0?2???,t1?t?t2pnt1pnt1?t2?t1???k?t2?t1??F0??sinpnt?t2sinpn?t?t1??sinpn?t?t2??,t?t?2?k?pnt1ptt?tpt?t????n121n21???

2-15 零初始條件的無阻尼系統(tǒng)受題2-15圖的半正弦脈沖作用，若??π?pn，求系統(tǒng)響應(yīng)。

t1

解：由圖得激振力方程為

?P0sin?tF(t)???00?t?t1t?t2

題2-15圖

當(dāng) 0 < t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)?P0sin?t，則有

AAAAAA

x(t)??P0Psin?tsinpn(t??)d??00mpknt11?(?pn(sin?t?)2?pnsinpnt)

當(dāng) t > t1時(shí)，F(xiàn)(?)?0，則有

?x(t)??t10P0Psin?tsinpn(t??)d??0?0mpnkpn1?(?pn)2[sinpn(t1?t)?sinpnt]

1?2-16求無阻尼系統(tǒng)對題2-16圖的拋物型外力F(t)?F0????t2??的響應(yīng)，已知x(0)2?t1??(0)?0。

?x解：由圖得激振力方程為

?t2?P0?P02F(t)??t1?0?0?t?t1t?t1

當(dāng) 0 < t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)?P0?P0t?2t21，則有

題2-16圖

P0P0?22t2x(t)??[1?2]sinpn(t??)d??[(1?22)(1?cospnt)?2]

0mpkt1pnt1t1n當(dāng) t < t2時(shí)，F(xiàn)(?)?0，則有

x(t)??t10P0?2[1?2]sinpn(t??)d??0

mpnt1P022{22[cospn(t?t1)?cospnt]?sinpn(t?t1)?cospnt}

kpnt1pnt1

?

2-17無阻尼系統(tǒng)的支承運(yùn)動(dòng)加速度如題2-17圖所示，求零初始條件下系統(tǒng)的相對位移。

解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

???k(x?xs)

m?x令xr?x?xs，則

AAAAAA

題2-17圖

?r?kxr??m??s

m?xx由圖得支承運(yùn)動(dòng)加速度方程為

?t?b??s??t1x?b??s??mbx當(dāng) 0 < t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)??m?t0?t?t1t?t1

?t1，則有

xr(t)???mb??btsinpntsinpn(t??)d??2(?)

0mppnt1pnt1nt1當(dāng) t > t1時(shí)，F(xiàn)(?)?0，則有

xr(t)???

2-18 求零初始條件的無阻尼系統(tǒng)對題2-18圖所示支承運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)。

t10t?mb?mb?sinpn(t??)d???sinpn(t??)d?

t1mpnt1mpnsinpn(t?t1)?sinpnt?b[1?]

2ptpnn1解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

???k(x?xs)

m?x??kx?kxs

m?x由圖得支承運(yùn)動(dòng)方程為

t?a?(a?a)?112t1xs???0?0?t?t1t?t1

題2-18圖

當(dāng) 0 < t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)?kxs?ka1?k(a1?a2)t?t1，則有

x(t)??sinpntka1?k(a1?a2)?a?a2sinpn(t??)d??a1(1?cospnt)?1(t?)

0mpnt1t1pn當(dāng) t < t1時(shí)，F(xiàn)(?)?0，則有

AAAAAA

x(t)??t10ka1?k(a1?a2)?sinpn(t??)d??0mpnt1a?a2??a1cospnt?1[sinpnt?sinpn(t?t1)]?a2cospn(t?t1)pnt

2-19 題2-19圖為一車輛的力學(xué)模型，已知車的質(zhì)量m、懸掛彈簧的彈簧常數(shù)k及車的水平行駛速度v，道路前方有一隆起的曲形地面∶ys?a?1?cos(1) 求車通過曲形地面時(shí)的振動(dòng)；

(2) 求車通過曲形地面后的振動(dòng)。

題2-19圖

??2π?x?。

l????k(y?ys)

y解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為，m?由曲形地面∶ys?a?1?cos??2????ky?kys

yx?，得到

m?l?x?vt

2??F(?)?ka(1?cosvt)l得到系統(tǒng)的激振力為，F(xiàn)(?)?ka(1?cos2?x)。

l（1）車通過曲形地面時(shí)0?t?t1的振動(dòng)為

y(t)??t0F(?)sinpn(t??)d??mpntkat[?sinpn(t??)d???cos??sinpn(t??)d?]0mpn0?a(1?cospnt)?

AAAAAA

apn{sinpnt[sin(pn??)tsin(pn??)tcos(pn??)tcos(pn??)tp?]?cospnt[??2n2]2(pn??)2(pn??)2(pn??)2(pn??)pn??pncos?tpncospnta22?]?a?(?cospt?pcos?t)

nn222222(pn??)(pn??)pn???a(1?cospnt)?apn[（2）車通過曲形地面后的振動(dòng)

?(t1)作自由振動(dòng)，即 車通過曲形地面后t?t1以初位移y(t1)和初速度yy(t1)?a?aa2222?(?cospt?pcos?t)y(t)?(??psinpt??psin?t1) ，n1n11nn1n2222pn??pn???(t1)ysinpn(t?t1)，得到車通過曲形地面后的振動(dòng)響應(yīng)為

pn由公式y(tǒng)(t)?y(t1)cospn(t?t1)??2ay(t)?2[cospnt?cospn(t?t1)

2pn??2其中pn?k2?，??v。或積分為

mlt1F(?)kat1sinpn(t??)d??[?sinpn(t??)d???cos??sinpn(t??)d?]

0mpnmpn0y(t)??t10?2a?2[cospnt?cospn(t?t1)2

pn??蘭亭序

永和九年，歲在癸丑，暮春之初，會(huì)于會(huì)稽山陰之蘭亭，修禊事也。群賢畢至，少長咸集。此地有崇山峻嶺，茂林修竹；又有清流激湍，映帶左右，引以為流觴曲水，列坐其次。雖無絲竹管弦之盛，一觴一詠，亦足以暢敘幽情。是日也，天朗氣清，惠風(fēng)和AAAAAA

暢，仰觀宇宙之大，俯察品類之盛，所以游目騁懷，足以極視聽之娛，信可樂也。

夫人之相與，俯仰一世，或取諸懷抱，晤言一室之內(nèi)；或因寄所托，放浪形骸之外。雖取舍萬殊，靜躁不同，當(dāng)其欣于所遇，暫得于己，快然自足，不知老之將至。及其所之既倦，情隨事遷，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之間，已為陳跡，猶不能不以之興懷。況修短隨化，終期于盡。古人云：“死生亦大矣。”豈不痛哉！

每覽昔人興感之由，若合一契，未嘗不臨文嗟悼，不能喻之于懷。固知一死生為虛誕，齊彭殤為妄作。后之視今，亦猶今之視昔。悲夫！故列敘時(shí)人，錄其所述，雖世殊事異，所以興懷，其致一也。后之覽者，亦將有感于斯文。

AAAAAA