初二第7講 梯形

2023年12月25日發(作者：巴黎之夜)

第七講 梯形、多邊形、中心對稱圖形

一、知識梳理

1．梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．

2．特殊梯形的定義：

（1）等腰梯形：兩腰相等的梯形． （2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．

3．等腰梯形的性質：

（1）從角看：等腰梯形同一底上的兩個內角相等；

（2）從邊看：等腰梯形兩腰相等；

（3）從對角線看：等腰梯形兩條對角線相等．

4．等腰梯形的判定：

（1）兩條腰相等的梯形是等腰梯形．

（2）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形．

5、梯形的中位線

定理：梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半。

逆定理：經過梯形一腰的中點平行于兩底的直線平分另一腰。

6、梯形輔助線的添加方法：

7、多邊形：

(1)．多邊形的定義：在平面內，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封

閉圖形叫多邊形．

(2)．多邊形內角和定理：n邊形的內角和等于(n-2)·180°．

(3)．多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°．

8．多邊形的對角線

(1) 從n邊形的一個頂點出發，可以引(n-3)條對角線，將多邊形分成(n-2)個三角形．

(2) n邊形共有n(n?3) 條對角線.

2四、中心對稱圖形：

把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合．那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．

中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

二、精典題例巧解與點撥

（一）等腰梯形性質的運用

例1．（1）某多邊形的內角和與外角和共1080°，則多邊形的邊數是___________.

（2）．________邊形的內角和是外角和的2倍； _______邊形的內角和與外角和相等．

（3）．n邊形的每一個內角都相等，它的一個外角與一個內角的比是1∶3，n邊形的對角線有_____條．

例1：如圖，梯形ABCD中，AB//CD，?ACB?90°，且AC

平分?BAD，?D?120°，CD＝3cm，則梯形的周長為________cm；

1

變式：如圖，等腰梯形ABCD中，AB//CD，DC?AD?BC，且對角線AC垂直于腰BC，求梯形的各個內角．

（二）考查等腰梯形的判定條件

例1：在梯形ABCD中，AD//BC, E為BC中點，EF⊥A B，EG⊥CD，EF=EG.

求證：梯形ABCD為等腰梯形.

變式：在梯形ABCD中，AD//BC，∠ACB=∠DBC.求證:梯形ABCD是等腰梯形.

（三）考查等腰梯形的常見輔助線的作法

【法一：平移對角線】

例2：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，DE∥AC，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD的長.和梯形的面積

【法二：連接底邊頂點與腰中點，構造全等三角形】——【連中點】

例3：如圖，但E是梯形ABCD的腰AD的中點，且AB+CD=BC，試說明BE平分∠ABC.

變式1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，若△AEB的面積為S，則梯形ABCD的面積為（ ）

579 A.S B.2S C.S D.S

244

變式2：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中點，求證：BM⊥CM

2

【有關中位線的應用】

例4如圖△ABC中，AB=AC延長AC到D，使CD=AC，BE是AC邊中線。

求證：BE=

變式：如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是邊AD、BC的中點，連接NM并延長交BA、CD延長線于E、F。

求證：∠1=∠2

BAAE1BD

2BCED 1F 2MDNC

【綜合應用】

例4：如圖、梯形ABCD中，AB∥DC，以AD和AC為邊作□ACED，DC的延長線交EB于F。

求證：EF=FB （看誰的證法多）

E

D

C

F

A

B

例5、已知，如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，AD=BC=4，∠ADC=60°，EF是中位線，交BD于M，交AC于N。

AB求EF、MN的長及S梯形ABCD

EMNF

DC

例6、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞DC,AD=BC,AC、BD交于O，∠AOB=60°且E、F、M分別是AO、DO、BC的中點。

DCF（1）求證：△EFM是等邊三角形。

（2）、若AB=5,CD=3,求S?EMF

EOMB（3）若S?EMF∶S?AOD=7∶8，求CD∶AB的值。

3

A

（三）梯形中的動態問題

，AD?6厘米，DC?4厘米，例7、如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，?A?90°AB=12厘米，動點P從A出發以2厘米/秒的速度沿AB方向向點B運動，動點Q從點B出發以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向點D運動，兩個動點同時出發，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設動點運動的時間為t秒．

C（1）求邊BC的長； D（2）當t為何值時，PC與BQ相互平分；

Q

BAP變式：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3㎝，∠C=60°，

BD⊥CD.

（1）求BC、AD的長度；

（2）若點P從點B開始沿BC邊向點C以2㎝/秒的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1㎝/秒的速度運動，當P、Q分別分別從B、C同時出發時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出t的取值范圍（不包含P在B、C兩點的情況）.

四、創新探究（培優、競賽、中考）

1、如圖，已知梯形ABCD，上底AD＝12，下底BC＝28，

EF∥AB分別交AD、BC于點E、F，且將梯形分成面積相等的

兩部分。則BF的長.是_______.

B

F

C

ADA E D

2、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，AC=5，BD=6，則梯形ABCD的面積是________。

3、如圖，四邊形ABCD中，M、N分別是AD、BC中點，E、F分別是AC、BD中點，連結MN、EF。求證：MN與EF互相評分。

4、如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC中點，EF⊥AD于E。

求證：S梯形ABCD=AD·EF

4

BCAEBNMDFCDFACEB

家庭作業

姓名：_________

1．某多邊形的內角和為1080°，則多邊形的對角線條數是___________.

2．在平行四邊形、矩形、菱形、直角梯形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的個數是 __________

3．下列說法正確的是（ ）

A．一組對邊平行的四邊形是梯形 B．有兩個角是直角的四邊形是直角梯形

C．只有相鄰的兩個角是直角的四邊形是直角梯形

D．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形

4、順次連接平行四邊形四邊中點所得的四邊形是__________形，順次連接任意四邊形四邊中點所得四邊形是__________形，順次連接對角線互相垂直的四邊形的四邊中點所得四邊形是__________形，順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所得四邊形是__________形，

5、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=DC。

（1）、E是梯形內一點，F是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，試判斷△ECF的形狀。

（2）、在（1）的條件下，當BE∶CE=1∶2，∠BEC=135°時，

AB求BE∶BF的值。

E

FD

C

6、關于梯形拼圖問題

（1）、(山東棗莊) 如圖甲，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4個這樣的等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形.

①求四邊形ABCD四個內角的度數；

②試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關系，并說明理由；

③現有圖甲中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎?若能，請你畫出大致CD的示意圖．

AB

圖甲 圖乙

（2）、將上、下底分別為2和4，一底角為60的等DC腰梯形分成4個相同的圖形．

AB5