第三章 靜電場中的電介質習題及答案

2023年12月30日發(作者：新年好的英文)

第三章 靜電場中的電介質

一、判斷題

11、當同一電容器內部充滿同一種均勻電介質后，介質電容器的電容為真空電容器的?r倍。

×

2、對有極分子組成的介質，它的介電常數將隨溫度而改變。

√

3、在均勻介質中一定沒有體分布的極化電荷。（內有自由電荷時，有體分布）

×

4、均勻介質的極化與均勻極化的介質是等效的。

×

5、在無限大電介質中一定有自由電荷存在。

√

6、如果一平行板電容器始終連在電源兩端，則充滿均勻電介質后的介質中的場強與真空中場強相等。

√

7、在均勻電介質中，如果沒有體分布的自由電荷，就一定沒有體分布的極化電荷。

√

?8、在均勻電介質中，只有P為恒矢量時，才沒有體分布的極化電荷。

???Px?Py?Pz?Px?Py?Pz?p??????0???x??y??z?y?z?

P=恒矢量

?x

×

9、電介質可以帶上自由電荷，但導體不能帶上極化電荷。

√

????

?10、電位移矢量D僅決定于自由電荷。

×

11、電位移線僅從正自由電荷發出，終止于負自由電荷。

√

???E線連續，EP線不連續。(其中，Ef為自由電12、在無自由電荷的兩種介質交界面上，f?E荷產生的電場，p為極化電荷產生的電場)

√

13、在兩種介質的交界面上，當界面上無面分布的自由電荷時，電位移矢量的法向分量是連續的。

√

14、在兩種介質的交界面上，電場強度的法向分量是連續的。

×

15、介質存在時的靜電能等于在沒有介質的情況下，把自由電荷和極化電荷從無窮遠搬到場中原有位置的過程中外力作的功。

×

16、當均勻電介質充滿電場存在的整個空間時，介質中的場強為自由電荷單獨產生的場強的?r分之一。

√

二、選擇題

1. 一平行板真空電容器，充電到一定電壓后與電源切斷，把相對介質常數為?r的均勻電介質充滿電容器。則下列說法中不正確的是：

1（A） 介質中的場強為真空中場強的?r倍。

1?r倍。 （B） 介質中的場強為自由電荷單獨產生的場強的（C） 介質中的場強為原來場強的?r倍。

（D） 介質中的場強等于真空中的場強。

1D

2. 如果電容器兩極間的電勢差保持不變，這個電容器在電介質存在時所儲存的自由電荷與沒有電介質（即真空）時所儲存的電荷相比

(A)增多 （B）減少 （C）相同 （D）不能比較

A

下列說法中不正確的是：

3. 在圖中，A是電量q0的點電荷，B是一小塊均勻的電介質，s1、s2和s3都是封閉曲面，????E?ds??D?ds?s3s1（A）

???????D?ds??D?ds??D?ds（B）（C）（D）D

s1s2s3S1S2S3?s1?????Ef?ds??Ef?ds??Ef?dss2s3

a

Aq0bBcEa?Ef，Eb?Ef，Ec?Ef

4. 在均勻極化的電介質中，挖出一半徑為r，高度為?h的圓柱形空腔，圓柱的軸平行于極???????（A）E0??rE

??DE0??0 （B）??（C）D0??0E0

??（D）D0?D

C

E和D的關系為： 化強度P底面與P垂直，當h?r時，則空腔中心E0和D0與介質中h?2rPE5. 在均勻極化的，挖出一半徑為r，高度為h的圓柱形空腔，圓柱的軸平行于極化強度??P底面與P垂直，當h?r時，則空腔中心E0和D0與介質中E和D的關系為：

??（?r?1）E （A）E0??h?D0E0??0 （B）??P（C）D0??0E0

??（D）D0??rD

B

2r?E6. 一個介質球其內半徑為R，外半徑為R+a，在球心有一電量為q0的點電荷，對于R

q0q0（?r?1）q0q022224???r4??r4??r0r0r4?r（A） (B) (C) (D)

A

7. 一內半徑為a，外半徑為b的駐體半球殼，如圖所示，被沿+Z軸方向均勻極化，設極??化強度為P?Pk,球心O處的場強是：

?P?E0??K6?0 （A）?P?E0?K6?0 （B）ba?P?E??K3?0（C）

O?（D）E0?0

D

z??R和R2的駐極體球殼被均勻極化，極化強度為P；P的方向平行于球殼直8. 內外半徑為1??PE??3?0 (B)E?0 （A）????P2PE??E?3?0 (D)3?0 (C)B

9. 半徑為R相對介電常數為?r的均勻電介質球的中心放置一點電荷q，則球內電勢?的分布規律是：

徑，殼內空腔中任一點的電場強度是：

q4??0r （A）q??4??0?rr (B)

????(C)

q11q（?）?4??0?rrR4??0R

q11（?）4??0?rrR

?? (D)C

10. 球形電容器由半徑為R1的導體球和與它同心的導體球殼所構成，球殼的內半徑為R2,其間一半充滿相對介電常數為?r的均勻電介質，另一半為空氣，如圖所示，該電容器的電容為：

4??0?rR1R2R2?R1 （A）2??0R1R2C1?R2?R1 （B）C?R2R1?r

2??0?rR1R2R2?R1 （C）2??（01??r）R1R2C?R2?R1（D）

C2?D

11. 把一相對介電常數為?r的均勻電介質球殼套在一半徑為a的金屬球外，金屬球帶有電量q，設介質球殼的內半徑為a，外半徑為b，則系統的靜電能為：

q2W?28??a0（A）

q21??1W?（?r）8??0?rab (B)

q211W?（?）8??0?rab （C）q21??r11W?（?）8??0?rab (D)B

三、填空題

1、如圖，有一均勻極化的介質球，半徑為R，極

化強度為P，則極化電荷在球心處產生的場強

是（ ）在球外Z軸上任一點產生

的場強是（ ）

2、帶電棒能吸引輕小物體的原因是（ ）。

輕小物體由于極化在靠近帶電棒一端出現與帶電棒異號的極化電荷

3、附圖給出了A、B兩種介質的分界面，設兩種介質

A、B中的極化強度都是與界面垂直，且PA?PB，當

取en由A指向B時，界面上極化電荷為（ ）號。

??P2R3P?3?0

3?0Z3

R?PzPA??當en由B指向A時，界面上極化電荷為（ ）號。

正 負

PB

4、如果電介質中各的（ ）相同，這種介質為均勻電介質。如果電介質的總體或某區域內各點的（ ）相同，這個總體或某區域內是均勻極化的。

AB?

P

5、C??rC0成立的條件是（ ）。

介質為均勻介質

6、在兩種不同的電介質交界面上，如果交界面上無自由電荷，則?E1n?E2n= ( )。

?P?0

7、介質中電場能量密度表示為?E?1???E?D?E2適用于( )介質。

1?0?rE22 只適用于（ ）介質。各向同性的均勻線性 線性

8、若先把均勻介質充滿平行板電容器，（極板面積為S，極反間距為L，板間介電常數為?r）然后使電容器充電至電壓U。在這個過程中，電場能量的增量是（ ）。

?0?rs2U2L

9、平行板電容器的極板面積為s，極板間距為d中間有兩層厚度各為d1和d2的均勻介質（d1?d2?d）,它們的相對介電常數分別為?r1和?r2。(1)當金屬板上自由電荷的面密度為??f時，兩層介質分界面上極化電荷的面密度?p= ( )。（2）兩極板間的電勢差???( )。（3）電容C= （ ）。

d1?r2?d2?r1?r1??r2?0?r1?r2s?f?f?r1?r2?0?r1?r2

d2?r1??r2d1

10、如圖所示一平行板電容器充滿三種不同的電

介質，相對介電常數分別為?r1，?r2和?r3。極

板面積為A，兩極板的間距為2d,略去邊緣效

應，此電容器的電容是（ )。

A?r1?r2dd11、無限長的圓柱形導體，半徑為R，沿軸線單位長度上帶電量λ，將此圓柱形導體放在無限大的均勻電介質?r中，則電介質表面的束縛電荷面密度是（ ）。

?0A??r1?r2?r3?????2d?2?r2??r3??

?r312半徑為a的長直導線，外面套有共軸導體圓筒，筒的內半徑為b，導線與圓筒間充滿介電常數為?r的均勻介質，沿軸線單位長度上導線帶電為λ，圓筒帶電為-λ,略去邊緣效應，則沿軸線單位長度的電場能量是（ ）。

（??1）??r2??rR

?13、一圓柱形的電介質截面積為S，長為L，被沿著軸線方向極化，已知極化強度P沿X方向，且P=KX（K為比例常數）

坐標原點取在圓柱的一個端面上，如圖所示

則極化電荷的體密度（ ）

在X=L的端面上極化電荷面密度為（ ）

極化電荷的總電量為（ ）。

?2bln4??0?ra

yo?Pxz?P??K

?P?KL

QP?0

14、在如圖所示的電荷系中相對其位形中心的偶極矩為（ ）。

?q2q

d0

dd

d

四、問答題

?q2q1、電介質的極化和導體的靜電感應，兩者的微觀過程有何不同？

答：從微觀看，金屬中有大量自由電子，在電場的作用下可以在導體內位移，使導體中的電荷重新分布。結果在導體表面出感應電荷。達到靜電平衡時感應電荷所產生的電場與外加電場相抵消，導體中的合場強為零。導體中自由電子的宏觀移動停止。在介質中，電子與原子核的結合相當緊密。電子處于束縛狀態，在電場的作用下，只能作一微觀的相對位移或者它們之間連線稍微改變方向。結果出現束縛電荷。束縛電荷所產生的電場只能部分地抵消外場，達到穩定時，電介質內部的電場不為零。

2、為什么要引入電位移矢量D？E與D哪個更基本些？

答：當我們研究有電介質存在的電場時，由于介質受電場影響而極化，出現極化電荷，極化電荷的場反過來改變原來場的分布。空間任一點的場仍是自由電荷和極化電荷共同產生即：

???E?Ef?Ep

?

因此，要求介質中的E，必須同時知道自由電荷及極化電荷的分布。而極化電荷的分布取決????P???E0于介質的形狀和極化強度P，而,而E正是要求的電場強度。這樣似乎形成計算上???D?dS?q0的循環，為了克服這一困難，引入輔助量D。由?S知，只要已知自由電荷，原則?????D???E0r上即可求D，再由求E。故D更基本些。

3、把平行板電容器的一個極板置于液態電介質中，極板平面與液面平行，當電容器與電源連接時會產生什么現象？為什么？

答：當電容器與電源連接時，電容器將離開電介質。這是因為當考慮電容器邊緣效應時兩極板外表面也帶上等量異號電荷，當其中一極板平面與液面平行時，由于介質極化，該極板電荷所受到的靜電力小于另一極板電荷所受到靜電力。且二者方向相反電容器整體受一個向上的合力作用。

五、證明題

1、一個半徑為R的電介質球，球內均勻地分布著自由電荷，體密度為22?r?1?fR?3?0

2?r證明：當r?R時以球心為心，r為半徑作球面（高斯面）

?如圖虛線所示，由對稱性和D的高斯定理得

??432D?dS?D?4?r????r1f?S13?f，設介質是線性、各向同性和均勻的，相對介電常數為?r，試證明球心和無窮遠處的電勢差是：

r?r?frRD1??f3r

??由D??0?rE得

當r?R時取高斯面如圖虛線所示，同理得

?frE1???0?r3?0?r

D1取無限遠處電勢為零，則球心與無限遠處的電勢差等于球心電勢。根據電勢與場強的關系得

??423D?dS?D?4?r????R22f?S3?fR3D2?3r2?fR3E2?3?0r2

????????0??E1?dl??E2?dl ??R03?fr??fRdr??dr2R3?0?r3?0r?fR2?fR2 ??6?0?r3?0?fR2 ?3?0?1???1??2?r???

?fR2?2?r?1? ?3?02?r六、計算題

1、將一個半徑為a的均勻介質球放在電場強度為E0的均勻電場中；電場E0由兩塊帶等量異號電荷的無限大的平行板所產生，假定介質球的引入未改變平板上的電荷分布，介質的相對介電常數為εr，

（1）求介質小球的總電偶極矩

（2）若用一個同樣大小的理想導體做成的小圓球代替上述介質球（并設E0不變），求導體球上感應電荷的等效電偶極矩。

解：（1）均勻介質球放在均勻電場中將被均勻極化，故只有球面上有極化電荷，設極化電荷面密度為?'，在球心產生的電場強度為E'，則球心的場強為

????EC?E0?E?……①

?如圖1-1因

??P?Pcos?……②

???n由于余弦分布帶電球面在球內產生勻強電場，所以根據對稱性可得球內的場強為

dq?1E???cos??4??0a24??0a2P?2?sin?cos?d??0

2?0

??0???2?a2sin?cos?d?

a?'??E0?r

?

?其方向與E0方向相反

所以

P3?0……③ 圖1-1

P3?0……④

??PE根據與的關系

P?Pc??（）Ec……⑤

0?r?1Ec?E0?由④、⑤式得

P?由極化強度定義得介質球的總電偶極矩為

3（?r?1）?0E0?r?2

P0?PV??4?a33（?r?1）?04E0??a3?r?23

?（）0?r?1E0?r?2……⑥

（2）將導體球放在均勻電場中，導體球感應電荷面密度為余弦分布，如圖1-2所示設根據對稱性則球內的場強為

????0cos?

???Ecdq?1cos??4??0a24??0a2??0???2?a2sin?cos?d?

?0??02?sin?cos?d???02?0

3?0……⑦

?其方向與E0方向相反

由靜電平衡條件得

dq??0E0?Ec??Ec?0?E03?0 圖1-2

------a?+?'+++++?E0?0?3?0E0……⑧

2dq?2?asin?d?偶極子臂為l?2a，根據對稱性，元電在球面上取一電偶極子，電量為偶極矩為

dP????2?a2sin?d??2a?cos?

32??4?asin?cos?d?……⑨

0

由⑧、⑨式得感應電荷的等效電偶極矩為

P?12??0aE0?2sin?cos2?d?30?

?12??0a3E0?3?4??aE00

13

??2、一圓柱形電介質長為L，其橫截面的半徑為R，被沿著軸線方向極化，極化強度P?kxi（k為一常數），設坐標原點O在介質圓柱內左端面的中心，此外無其它電場源，試求：

（1）在介質圓柱中心一點的電場強度E和電位移D；

（2）在坐標原點O處的電場強度E和電位移D。

解：極化電荷的體密度為

?P??即介質內均勻地分布差負的體極化電荷，在x?0的端面上的極化電荷面密度為

?P??K?x

1?P?Pn??Px?0?0

在x?L的端面上的極化電荷密度為

?P?Pn?Px?L?KL

122（1）在圓柱中心體極化電荷不產生場，只有在X=L處而極化電荷產生場，根據均勻帶電圓盤軸線上的場強公式得

??P2E??（1?2?0L2R2?L42?）i

KLL?（1?）i222?04R?L

????D??E?P0由電位移矢量定義式得中心處的D為

??（2）在圓柱端部中心的場由體極化電荷和面極化電荷共同產生。在距原點x處，取一圓盤，厚度dx如圖所示，其上電量為

圓盤上電荷面密度為

?KLKL2KL?KL2?D?（???）i?i2224R2?L224R2?L2

dqP?K?R2dx

oxx該圓盤在原點O處產生的電場為

K?R2dx?P???kdx?R2

dx??x?dEeP?P(1?)i222?0R?x

Kdxx??（1?）i222?0R?x

L體極化電荷在原點O處產生的電場強度為

面極化電荷在原點O處產生的電場強度為

??kdx?xKLK?????i?E?P??1?x?0?2?22?2?0?2?0R?x???0KLKKR??（?R2?L2?）i2?02?02?0

???i??

R2?x2L0????i?

?kL?LE?P???1?22?R2?L2?

???E?E?P2?E?P

KLKL2KLK?（????2?02?0R2?L22?02?0

KRL2R2?L2??（1??）i222?0RRR?LR2?L2?KR?）i2?0

?

原點處電位移矢量為

KRR?（1?)i222?0R?L

3、一塊柱極體圓片，半徑為R，厚度為t，在平行于軸線的方向上永久極化，且極化是均勻的，極化強為P， 試計算在軸線上的場強E和電位移D（包括圓片內外）。

解： 在垂直x軸的兩個外表面均勻帶正負面極化電荷，如圖所示，其面密度為

????KRR?D??0E?P??0E?（1?2）i22R?L

對在圓片內任一點而言兩表面相當無窮大均勻帶電平面，圓片內電場強度為

???p???p?n??p

???p?n電位移矢量為

?PPP??E內??（?）i??i2?02?0?0

???P??D??0E內?P???0i?Pi

對圓片內外軸線任一點而言，兩表面相當于均勻帶電圓盤。

?0t??x?x??2?處，正負帶電圓盤產生的場強分別為 在距原點?tx???2?E????（1?）i2?0t2RR2?（x?）2

???ptx?P2???（1?）i2?0t2R2?（x?）2

tx?P2?E??（1?）i2?0t2R2?（x?）2

該處的總電場強度為

Px??pxtx?E?E??E??（t2x??t2

因為t很小，用臺勞級數將上式在t=0處展開，取前兩項

t2R2?（x?）2t2R2?（x?）2?）i

x?f（t）?t2x??t2取則有

t2R2?（x?）2t2R2?（x?）2

f（0）?0

所以

f?（0）?3（R2?x2）2

R2?P?f（0）?f?（0）t?i?E?2?0

PR2t??（0?）i32?0（R2?x2）2?PR2t2222?（0R?x）3?i

電位移矢量為

???D??0E?P?P（1?R2t（2R2?x2）23?）i

4、半導體器件的p-n結中，n型內有不受晶格束縛的自由電子、p型區內則有相當于正電荷的空穴。由于兩區交界處自由電子和空穴密度不同，電子向p區擴散，空穴向n區擴散，在結的兩邊留下雜質離子，因而產生電場，阻止電荷繼續擴散，當擴散作用與電場的作用相平衡時，電荷及電場的分布達到穩定狀態，而在結內形成了一個偶電區（如圖如示），稱為阻擋層。現設半導體材料的相對介電常數為?，結外電荷體密度??x??0，結內電荷的體分布為??x???ekx -a?x?a,線性緩慢變結式中e為電子電量，k為常數，試求p-n結內電場強度和電勢的分布，并畫出??x?、E?x?和??x?隨x變化的曲線。

解：建立坐標軸如圖4-1所示，在結內距原點x'處取寬度為dx'的無限大平面，該平面電荷密度為

該帶電平面在結內P點產生的場強為

??????x、?dx、n區P區++--?++-dE??-++-2?0?r2?0?r

--BPO?a++--OB區電荷在P點產生的場強為

-

+++--

+

+

+--??x、?dx、AaxEBO??dE??

12?0?r?a0ekx、dx、dx 圖4-1

12a?x、|02?0?r2

ek

eka2?

4?0?r

所以

OP區電荷在P點產生的場強為 圖4-2

?eka2?EBO?i4?0?r

1EOP所以

ekx2?ekxdx?2?0?r?04?0?r

x、、

PA區電荷在P點產生的場強為 圖4-3

?ekx2?EOP??i4?0?r

12?0?rek4?0?rek4?0?raEPA??所以

?xekx、dx、(a2?x2)

?EPA??(a2?x2)i 圖4-4

由疊加原理得P點的總場強為

2222ekaekxekaekx????????EP內?EBO?EOP?EPA4?0?r4?0?r4?0?r4?0?r

ek?(?a?x?a)?(a2?x2)i2?0?r

場強隨x變化曲線如圖4-3所示

由高斯定理知，結外的場強為

?EP外?0 , x?a在結內任意點P的電勢為

當?a?x?a 取x?0,??0

?P內??EP內dx??x00ek2?0?rx?a2?x2dx? ?ek?213?0ekxax?x|??3a2?x2??x2?0?r?3?6?0?r

??

當x?a時,電勢為?P外1??0ek2?0?ra?a2?x2?dxek?213?0eka3 ??ax?x?|a??2?0?r?3?3?0?r當x?a時電勢為0ek?P外2??a2?x2?dx??a2??0r ?ek?213?0ekax?x|????a2?0?r?3?3?0?r

電勢隨x變化曲線如圖4-4所示，結內電荷體密度隨x變化曲線如圖4-2所示。

5、半導體器件的p-n結中，n型內有不受晶格束縛的自由電子、p型區內則有相當于正電荷的空穴。由于兩區交界處自由電子和空穴密度不同，電子向p區擴散，空穴向n區擴散，在結的兩邊留下雜質離子，因而產生電場，阻止電荷繼續擴散，當擴散作用與電場的作用相平衡時，電荷及電場的分布達到穩定狀態，而在結內形成了一個偶電區（如圖5-1所示），稱為阻擋層。現設半導體材料的相對介電常數為?，如果電荷的體分布為

n區：p區：??x??NDe

??x???NAe

NAxp?NDxN（突變結）

式中ND,NA是常數，e為電子數且，其中xp和xn各為p區和n區的厚度，試求結內電場強度和電勢的分布并畫出??x?、E?x?和??x?隨x變化的曲線。

解：建立坐標軸，如圖5-1所示，在P區內距原點x處找一個考察點P，P點的場強由三部分即BO段、OP段和PA段體分布電荷產生的。每一段即可看成是由許多無限大帶電平面組成的，其電荷面密度為???dx'

pn

pn?

xxx

B?x?oAoABpp

xnxpxpxn

圖5-1 圖5-2 圖5-3

xdE?由?dx'2?0得

?EBO?EOPNDexnNDexndx'?2?0?02?0

NexNe??A?dx???Ax2?002?0 圖5-4

xEPA?

NAexPNAe?dx?(xP?x)?x2?02?0

所以，P點的總場強為

EP?NDexnNAeNe?xP?Ax2?02?0?0

E?

NAe(xP?x)?0

x 圖5-5

取原點電勢為零，由電勢定義得

?P??EPdx?x0在n區內取一點P，如圖5-2所示

同理得各段在P點的場強為

NAex(2xP?x)2?0

EOAEOPNAexPNAexPNDexn?dx??2?0?02?02?0

Ne??Dx2?0EPB?所以，P點的總場強為

NDe(xn?x)2?0

(xn?x)EP?NDe

同理可得P點的電勢為

?0??畫出??x?、??x?和E?x?隨x變化曲線如圖5-3、5-4、5-5所示

6、平行板電容器的極板面積為S，間距為d，其間充滿線性的、各向同性的電介質。介質的相對介電常數εr在一極板處為εrl，線性地增加到另一極板處為εr2。略去邊緣效應。

（1）求這電容器的電容C；

（2）當兩極板上的電荷分別為Q和-Q時，求介質內極化電荷體密度和表面上極化電荷的面密度。

解：（1）建立坐標軸，如圖所示

設?r?kx??r1 ，

0?x?d

則

由此得

NDex(2xn?x)2?0

OSx?r2?kd??r1

k?ddx因此板間任一點的介電常數為

?r2??r1d

x

將平行板電容器的電容視為無限多個平行板電容元組成，如圖所示，取距坐標原點為x，厚度為dx一個電容元，該電容元的電容為

?r??r2??r1dx??r1

dC??0?rsdx??0(?r2??r1ddxx??r1)s

其倒數為

積分得

?r2??r1x??r1)1dxdd??????dC?0(?r2??r1)s?r2??r1r1?0s(r2x??r1)x??r1dd

d(???r11dd?ln(r2x??r1)0C?0(?r2??r1)sd

?dlnr2?r1?

?0(?r2??r1)s

所以

C??0(?r2??r1)sdln?r2?r1

(2)作一圓柱形高斯面S，如圖中虛線所示，由介質中的高斯定理量為

???D?dS?QS，得電位移矢D?QS

E???ED由與的關系和為

P?0?r?????0?rS根據電位移矢量定義式D??0E?P得，極化強度QP?D??0E?極化電荷體密度為

Q1Q?r?1Q??S?rS?rS

?Q1??r???S?r2?x

??'???P????1?QQ??1???r????x?x??r?SS?x??r ??正極板處的極化強度為

Qd??r2??r1???r2??r1?Q1?r2??r1Q????22S?r2dS??r2??r1S????x?d?????r1??r2r1d?x??r1??d?

Q1Q?r1?1Q??S?r1S?r1S

P1?D??0E1?板表面上的極化電荷面密度為

'??P?P1?n??P1??1負極板處的極化強度為

?r1?1Q?r1S

P2?D??0E2???r2?1?Q?r2S

板表面上的極化電荷面密度為

'

?P?P2?2??r2?1?Q

?r27、一半徑為a的導體球被內半徑為b的同心導體球殼所包圍，兩球間充滿各向同性的電介質，在離球心為r處介質的相對介電常數?r??A?r?r（A為常數）。如果內球帶電荷Q，外球殼接地，試求：

（1）在電介質中離球心為r處的電勢；

（2）介質表面上的極化電荷面密度和介質中任一點處極化電荷的體密度；

（3）介質中極化電荷的總量。

解：（1）根據對稱性，以球心為心，r為半徑在介質內作球面（高斯面）S，由D的高斯定理得

SS

???2D?dS?D?4?r?Q?Q4?r2DE??D?所以

0r

因球殼的電勢為零，故有

??bQ?4??0?rr24??0?A?r?r

bQbQa?r?r??E?dr??rrQdr4??0?A?r?r1??1???dr?r4??0A?rA?r?Q?bb?A? ?ln?ln??4??0A?rr?A? ?bQ4??0A(2)半徑為a球面上的極化強度為

Pa?Da??0Ea? ?Qlnb?r?A??b?A?r

QQQ??4?a24??0?A?a?a4?a2該表面上極化電荷面密度為

?Pa??P??QA4?a?A?a?

2?a?QA??1????A?a??4?a2?A?a???

半徑為b的球面上的極化強度為

Pb?Db??0Eb?該表面上極化電荷面密度為

QQQ?b?QA??1????4?b24??A?b?b4?b2?A?b?4?b2?A?b?

?Pb?P?QA4?b2?A?b?半徑為r球面上的極化強度為

QQQA1Pr?Dr??0Er???4?r24??A?r?r4??A?r?r2介質內極化電荷體密度為

??????P

'r

2?r'???2?r2Pr??Pr?sin?P????????22??rsin???rsin????r?r?4?A?rr???r?r???1?1?1??1??QA1? ?QA4?r2?A?r?22(3)介質中極化電荷總量包括介質表面上的極化電荷和介質中極化電荷，即

QP??Pa?4?a??Pb?4?b???'r?4?r2dra2bbQAQAQA222?4?a??4?b???4?rdr222?a4?r2?A?r?????4?aA?a4?aA?b

QAQAQAQA??????0????A?aA?bA?bA?a

??8、為了使金屬球的電勢升高而又不使其周圍空氣擊穿，可以在金屬球表面上均勻地涂上一6層石蠟。設球的半徑為1cm，空氣的擊穿場強為2.5?10V/m，石蠟的擊穿場強為1.0?107V/m，其相對介電常數為2.0，問為使球的電勢升到最高，石蠟的厚度應為多少？其中球的電勢之值是多少？

解：設金屬球帶電量為Q，由對稱性和介質中高斯定理得介質內外的場強為

E1?

Q

?r1?r?r2?24πε0εrr……①

r1r2E2?

Q

?r?r2?4πε0r2……②

取r?r1，r?r2代入上兩式，得介質球殼內外表面的最大場強為

E1?Q4πε0εrr12……③

QE2?4πε0r22……④

22由③式和④式聯立得

4πε0εrr12E1εrr12E1r??4πε0E2E2……⑤

Δr?r2

?r1?r1?rE1?r1E2……⑥

將已知數值代入⑥式得

由電勢與場強積分關系得

?r?22?1cm

r2??????E1?dr??E2drr1r2

?max??r2Q4??0?rr2r1dr???Q4??0r2r2dr??11?Q1????4??0?r?r1r2?4??0r2……⑦

Q

2Q?4???rE1代入⑦式得

0r1將??r12E1??1?12???rr1E1r2?r2

?11???1??1??r12E1???r??r12E1??r?r2?……⑧

?r1r2r2??r112?1????222?10?2?

?1?10??1?r1將已知數據代入⑧式得

??1?10?14?1?10?17??2?5??1??10V???4??

9、如圖所示的圓柱形電容器，內圓柱的半徑為R1，與它同軸的外圓筒的內半徑為R2，長為L、其間充滿兩層同軸的圓筒形的均勻電介質，分界面的半徑為R，它們的相對介電常數分別為?r1和?r2，設兩導體圓筒之間的電勢差?1??2?U略去邊緣效應，求：介質內的電場強度。

解：設充電后，單位長度的電量為?，由對稱性和介質中的高斯定理得

???D?dS?D?2?rL??LSD?2?r

??由D與E的關系得兩介質內的場強分別為

E1?E2??

RR1?2??0?r1r……①

L?2??0?r2r……②

RR2R1??dr?2??0?r1?Rr2??0?r21R2R2圓筒之間的電勢差為

U??E1?dl??E2?dl?R1R?R1drr

?RRlnln2?RR1?R??? ?ln?ln2??R2??0?r1R12??0?r2R2??0??r1?r2??由③式得導體圓筒電荷的線密度為

??????……③

??2??0URRlnln2R1?R?r1?r2……④

將④式分別代入①式和②式，得介質內的場強分別為

E1?U?r1r1lnR?1lnR2?RR2?ln?Rln??r1R1?r2R1R?r?r1???r2???r1????1UE2??r2r1lnR?1lnR2?r1R1?r2R

10、為了提高輸電電纜的工作電壓，在電纜中常常放幾種電介質，以減小內、外導體間電場強度變化，這叫分段絕緣。圖中所示是這種電纜的剖面圖。若相對介電常數?r1??r2??r3的三種電介質作為絕緣物時，設內部導體每單位長度上帶電量為?。試求：（1）各層內的電場強度；（2）各層電場強度極大值；（3）在什么條件下，才能使介質內的電場強度保持為常數值？

解：（1）根據對稱性和高斯定理，求得電位移矢量為

?1U???D?dS?D?2?rL??LS?r3?r2?r1?2?r

??根據D??0?rE知，介質中離軸心分別為r處的電場強度為

D?abcd?

?a?r?b?2??0?r1r??b?r?c? E2?2??0?r2r??c?r?d?E3?2??0?r3r

（2）當r分別等于a、、b、時，各層電場強度為極大值，其值為

? E1max?2??0?r1a

? E2max?2??0?r2b

?E3max?2??0?r3c

E1? （3）當E1?E2?E3時，有

111???r1r1?r2r2?r3r3

所以?r1r1??r2r2??r3r3??rr?常數時，E?常數

11、平行板電容器的兩極板相距為a，極板面積為S，兩極板之間填滿電介質，絕對介電常0數按下列規律變化，x軸的方向與平板垂直，x軸的原點在一塊極板內表面上，若已知兩極板間電勢差為U，略去邊緣效應，求電容及束縛電荷分布。

????x?a?/a解：在距原點為x處取一厚度為dx的平行板電容器，其元電容為

dC?其倒數為

?0?x?a?Sadx

oSaU??1adx?

dC?0?x?a?S

?0?x?a?a積分得

1aa2aa?ln?x?a?|0?lnC?0S?0Sa ?所以

xaln2?0S

C??0Saln2

極板上的自由電荷 為

qf?CU??0Ualn2

由如圖虛線所示作高斯面，由高斯定理得板內的電位移矢量為

D??f?qfS??0Ualn2

板內的場強為

E?D???0U?aln2??0?x?a??aln2a?0U?U?x?a?ln2

板內的極化強度為

P?D??0E??0Ualn2??x?a?ln2?0U??0U?1在x?0介質表面上，束縛電荷面密度為

1??0Ux????ln2?ax?a?ln2a?x?a?

?P0??P?0

在x?a介質表面上束縛電荷面密度為

?U?Pa?P?02ln2a

介質中束縛電荷體密度為

12、一空心的電介質球，其內半徑為R1，外半徑為R2，所帶的總電荷量為Q，這些電荷均勻分布于R1和R2之間的電介質球殼內。求空間各處的電場強度。介質的相對介電常數為?r.

解：由對稱性和高斯定理得

當r>R1時E=0

當R1?R?R2時

?0Ua?x?a??ax?0U?P?P??????2?xln2a2?x?a?2?x?a?ln2Q??2D?dS?D?4?r?

R1R2?r

?D?所以

34??R2?R13?r324???r3?R13?43??R2?R13?33Q?r3?R13?

Q?Q?r3?R13?R13?Q?r?2?E???33233??0?r4??0?r?R2?R1?r4??0?r?R2?R1??r??

D當r?R2時

D?所以

Q4?r2

QE?13、今有A、B、C三導體板互相平行地放置，AB、BC之間的距離均為之間充滿相對介電常數為?r的介質，AB之間為真空，今使B板帶+Q，試求各導體板上的電荷分布。忽略邊緣效應。

解：A、B板和B、C板各組成電容器，其電容分別為

4??0r2

C1??0Sd

C2??0?rSd

取垂直B板的圓柱形高斯面，如圖所示，根據高斯定理?S??D?dS?Q得

由D的法線連續性 D1=D2=D得

D1S?D2S?Q

D?Q2S

??再根據

D??0?rE得

E1?Q2?0SE2?Q2?0?rS

由此可得AB之間和BC之間的電勢差為

U1?E1d?A、B極板所帶電量為

QdQdU2?E2d?2?0S

2?0?rS

Q1?U1C1?B、C極板所帶電量為

?0SQdQ?d2?0S2

?0?rSdQd2?0?rS?Q2

Q2?U2C2?由電荷守恒定律知

A 、C板的內側帶-Q/2 電荷，外側帶Q/2電荷。B板兩側各帶Q/2電荷。

14、在一塊均勻的瓷質大平板表面處的空氣中，電場強度為E的大小為220V/cm，其方向?是指向瓷板且與它的表面法線成45角。設瓷板的相對介電常數?r?6.0，求：（1）瓷板中

的場強；（2）瓷板表面上極化電荷面密度。

解：均勻極介板內無極化電荷，設表面上極化電荷的面密度為??P，如圖13-1所示。

在板內，極化電荷產生的電場強度為

EP???P?n?0……①

?為表面外法線方向上的單位矢量 式中n根據場強疊加原理，板內的電場強度為

以上三者關系如圖13-2所示，由圖可知

22E?EP?E0?2EPE0cos(1800?450)……②

?n??r?E0?P?PE?EP?E0

極化電荷電密度為

??????

?P?P?n??0(?r?1)E??0(?r?1)(EP?E0)?n 圖13-1

???0(?r?1)(?p?E0cos??0??(?r?1)?p??0(?r?1)cos?整理上式得

450?P??

將已知數據代入③式得

?0(?r?1)E0cos??r ……③

E0EP8.85?10?12(6?1)E?P??200?200?102V?cos450m6 圖13-2

?1.04?10?7C2m

1.04?10?721.04?10?7222E?()?(200?10)?2??200?2

8.85?10?128.85?10?12E?138.1?106?200?106?332.3?106?1.83?104Vm

15、在相對介電常數為?r的煤油中，離煤油表面深度h處，有一帶正電的點電荷q，如將煤油看作為無限大均勻介質，：求（1）在煤油表面上，該電荷的正上方A點處的極化電B；荷面密度??A；（2）在煤油表面與點電荷相距r處的B點的極化電荷面密度??（3）煤油表面極化電荷的總量Q?。

解：（1）在點電荷q的周圍將出現負的極化電荷，煤油表面出現正的極化電荷。（如圖）在煤油表面A點，極化電荷面密度最大，隨著離A的距離增加，極化電荷面密度迅速減少，A點附近的液面兩邊的場強法向分量，可用疊加原理求得

E空n?在空氣中E油n在煤油中由邊界條件??Aq?4??0?rh22?0

??Aq??4??0?rh22?0

D空n?D油n，即?0E空n??0?rE油n，得

Ah?qBr

q4??0?rh2整理上式得

?????qAA??（?）r22?04??0?rh2?0

??A?2）同理，B點附近的液面兩邊場強法向分量為

?r?1q?r?12??rh2

E空n?q在空氣中E油n在煤油中?h?B?4??0?rr2r2?0

?qh?B??4??0?rr2r2?0

由邊界條件D空n?D油n，得

q4??0?rr2???B?整理上式得

??h?Bqh?B???（?）r2r2?04??0?rrr2?0

3）以A點為圓心，在液面上距A為x處選一小圓環，設小圓環邊緣離q的間距為r。顯?r?1qh??r?12??rr3

2122（x?h），小圓環面積ds?2?xdx，小圓環上極化電荷為 然r??r?1qh?2?xdx3?r?12??rr

??1qhxdx?r?3?r?1222?（rx?h）

dQ????ds?所以

Q????ds??s?0?r?1qhxdx3?r?1（x2?h2）2

?16、兩個相同的空氣電容器，電容都是900uF，分別充電到900V電壓后切斷電源，若把一個電容器浸入煤油中，（煤油的介電常數?r=2.0），再將兩電容并聯。

（1）求一電容器浸入煤油過程中能量的損失；

（2）求兩電容器并聯后的電壓；

（3）求并聯過程中能量的損失。

（4）問上述損失的能量到那里去了？

解：（1）電容器極板上的電量為

?6?2Q?CU?900?10?900?81?10C

0

?r?1q?（??1）rr

電容器在空氣中的儲蓄的能量為

1Q21812?10?4W0???182.3J?62C22?900?100

能量損失為

?

?W?W?W0??182.2J

（2）并聯后總電容為

并聯后總電量為

C?C0??rC0?（1??r）C0

所以并聯后電壓為

Q總?2Q

2Q2?81?10?2U????600V?6C（??1）C（2?1）?900?10r0

Q總 （3）并聯前的能量：

并聯后的能量：

1Q21Q2W前???364.5?182.3?546.8J2C02?rC0

11CU2?（1??r）C0U222

1?（1?2）?900?10?6?6002?486J2

W后?并聯過程中的能量損矢為

?W?W后?W前?486?546.8??60.8J

4）損失的能量轉化為介質的動能，最后通過磨擦轉化為熱能（內能）。

17、一平行板電容器的極板面積為S，間距為d（d2<

∞過程中，從介質內釋放的總焦耳熱。

解：（1）t?0時刻，極板上的電量仍然為Q，由高斯定理知，此時板內電位移矢量為

Q和-Q，然后撤去電源。試求：（1）t=0時刻介質內的電場強度；（2）t=t時刻介質內的傳導電流；（3）t=0→t=D???D電場強度為

QS

?QE??0?r

（2）由歐姆定理的微分形式知，t時刻有

?0?rS

dqII?j?dt

S，而其中所以

j??E

S?Qd?r??QIq???S?0?rS

?由初始條件t?0，q?Q，解微分方程得

dq??qdt?0?r

?q?Qe?t?0?r

所以t時刻介質內的傳導電流為

（3）由焦耳定律得

2dq???0?rtI??Qedt?0?r

?d??QdQ?IRdt???S???0?r所以介質釋放的總焦耳熱為

???e?2?2??0?rtdt

Q???0d??Q??S???0?r???0?rt?dt?e????0?rt??|0?e?22?22?

18、一個圓柱形電容器的內圓筒的半徑為R1，外圓筒的內半徑為R2，筒長L>>R2，在R1和R3???d??Q? ??0r2??S???0?rdQ2 ?2?0?rSR1R2之間的空間填滿長為L、相對介電常數為?r的圓筒形均勻電介質，其余的容積是空氣間隙，如圖18-1所示。假設電容器兩極與一電源相連而維持其電勢差為U，試求將介質圓筒抽出該電容器所需作的機械功？

解：把圓住形電容器看成兩個電容器串聯而成，如圖18-2所示

根據圓柱形電容器電容公式C?2??0?rLlnR3R1知，每個電容器電容為

C1?根據電容器串聯性質得

2??0?rL2??0L C2?

R3R2lnlnR3

R1Rln3R1RR232RR3R1R1R2lnR3111????CC1C22??0?rL2??0L 圖18-1

?r所以，總電容為

2??0?rLC2C1R3R2ln??rlnR1R3 圖18-2

當介質抽出x距離時，如圖18-3所示，把電容器看作兩個電容器并聯，如圖18-4所示

C?其中

所以

2??0?r?L?x?RRln3??rln2R1R3

2??0xC2?Rln2R1

C1?R2R3R1L?XX

C?C1?C2?2??0?r?L?x?2??0x?R3RR2ln2ln??rlnR1 圖18-3

R1R3電容器儲存的能量為

由虛功原理得

???????L?x11x?U2rW?CU2?2??0???R3R2?R222ln??rln?ln?RRR1?13?

C2x????C1L?x??W12??rF??????0U??RR3R2??x0lnln??ln??rRRR113? 圖18-4

?外力作功為

??L?r1A??Fdx????0U2???R20RRln3??rln2?lnR1R3?R1???1??r2????0UL??RRR11?ln222??R2lnR??r2lnR??111? =???L???

??????LU2??1?r1?2r??0????0LU1?R?1R?r?1??r?1??ln2?ln2?2?R1?R1

另解：介質全部抽出時，電容器的能量為

介質未抽出時，電容器的能量為

??0LU212W2?C2U?R2ln2R1

1W1?C1U2?2根據功能關系知，全部抽出介質時，外力所作的機械功為

2??0?rLU2?R3RR2ln2?1??r?ln??rlnR1R1R3

??0?rLU2A???W2?W1?????0LU2?lnR2R12?r?1??1??r????0LU2?r?1???R?ln2?r?1R1

19、一平行板電容器由兩塊平行的矩形導體平板構成，平板寬為b,面積為S，兩板間距為d，設兩極板間平行地放一塊厚度為t、大小與極板相同、相對介電常數為?r的電介質平板，兩

極板所帶的電量分別為+Q和-Q。現將介質平板沿其長度方向從電容器內往外拉，以至它只有長度為x的一段還留在兩板之間。

（1）問這時介質平板受到的電場力的方向如何？

（2）試證明，這時介質平板受到的電力為

Q2dbt'?d?t'?

2?0?S?d?t'??xbt'?其中2t'?t??r?1??r（忽略邊緣效應）

解：（1）在電場中電介質被極化，其表面上產生極化電荷。在平行板電容器的邊緣，由于邊右的分量，因此，電介質將受到一個向右的合力

（2）電容器由兩部分并聯而成，這兩部分的電容分別為

?緣效應，電場是不均勻的，場強E對電介質中正負電荷的作用力都有一個沿板面向C1??0b?a?x?d

d?t??1t??C2?0?rbx?0bx

?0?rbxC2??r?d?t??t

a?QSd?rtx???b電容器的電容為

C?C1?C2??0b?a?x?d??r?d?t??t?0?rbx?b?a?x???rbx??0???d?d?t?t??r???b?a?x?bx???0???dd?t'??

?

?0??ab?d?t'??bxt'???d?t'?dt'?其中電容器所儲蓄的靜電能為量

?r?1t?r

由虛功原理知，作用在介質片上的力為

Q2W?2C

?d?t'?dQ2?1Q2???W?F????????2?xC2?x?0?ab?d?t'??bxt'???x?QQ2?bt'?d?t'?d? ?????2?0??ab?d?t'??bxt'?2?Q2bt'?d?t'?dQ2bt'?d?t'?d ??222?0?ab(d?t')?bxt'?2?0?S(d?t')?bxt'?

?20、一半徑為R的電介質球，球內均勻地分布著自由電荷，體密度為f，設介質是線性、各向同性和均勻的，相對介電常數為?r，求（a）電介質球內的靜電能；（b）這一帶電系統

的總靜電能。

解：（a）根據對稱性和高斯定理得球內外的電位移矢量和電場強度分別為

D內?43?fr??r?24?r33

?f?fRr?frE內???0?r3?0?rD內?r?f43?fR3D外??R?24?r33r2

?fR3E外?3?0r2

電介質球內的靜電能為

W???內dV??0RR0?f1D內E內dV?218?0?r2?R0r24?r2dr ?52??2fR45?0?r

（b）帶電系統的總靜電能為

W???內dV???外dVo0RR

?112??D內E內4?rdr??D外E外4?r2dr02R22??2fR52??2fR5??45?0?r9?0R?

2??2fR5?1?5?r?45?0?r

21、平行板空氣電容器兩極板A、B相距為l，豎直地插在相對介電常數為?r、密度為?的均勻液態電介質中（如圖21-1所示），兩極板間保持著一定的電勢差U，則液態電介質在兩板間會上升一定高度h，若不計表面張力作用，試求作用在液體電介質表面單位面積上的平均牽引力T和液面上升的高度h。

解：帶電的平行板電容器插入液態電介質中使液體沿與平板電容器兩板的分界面產生極化電荷，在靜電吸引力作用下液體被吸上來，直至液體重力與靜電吸引力平衡為止。

如圖21-2所示，高度為h的液態電介質所受到的重力為

電容器是由兩部分并聯組成，設介質進入極板間的高度為x時，兩部分的電容分別為

Fg?mg??Vg??Shg??lahg

C1??0a?b?x?l ，

C2??0?raxl

U電容器的電容為

C?C1?C2?電容器儲能為

?0a?b???r?1?x0?l

W?由虛功原理知，靜電力作功為 圖21-1

?a?b???r?1?x?21CU2?0U22l

h根據平衡條件得

?W?0aV2Fe????r?1??x2l

UFe?Fg?0aV2l

2b

h

??r?1???lahgal整理上式介質的高度為 圖21-2

?0??r?1?V2h?2?gl2

作用在液態電介質表面單位面積上的平均牽引力為

Fe?0aV2??r?a?V2T???2?0??r?1?al2lal2l

22、當用高能電子轟擊一塊有機玻璃時，電子滲入有機玻璃并被內部玻璃所俘獲。例如，當一個0.5?A的電子束轟擊面積為25cm2、厚為12mm的有機玻璃板（相對介電常數?r?3.2）達1s，幾乎所有的電子都滲入表面之下約5~7mm的層內。設這有機玻璃板的兩面都與接地的導體板接觸，忽略邊緣效應，并設陷入的電子在有機玻璃中均勻分布，如圖22-1所示。

（1）求帶電區的極化電荷的密度；

（2）求有機玻璃表面的極化電荷密度；

（3）畫出D、E、?（電勢）作為電介質內部的位置函數的圖形；

（4）求帶電層中心的電勢；

（5）求在兩接地導體板之間的沒有電荷區域內的場強；

（6）求這有機玻璃板里貯存的靜電能。

解（1）由電流強度定義知

I?q q?Itt

?r?r帶電區電荷體密度為

qIt0.5?10?6?e????3.33?10?2c/m3?4?3VV25?10?6?10……① 圖22-1

如圖22-2所示在帶電區內作柱形高斯面，坐標原點在對稱中心，由高斯定理得層內任一點???處的D、E、P值為

S??D??dS?2D??S?2x?S?eD??ex……②

?Sxd?6mml?12mmE?D?0?r??ex?0?r……③ 圖22-2

P??0??r?1?E??0??r?1??ex??r?1??ex??0?r?r……④

取x?d2，得帶電層表面處的極化強度為

Pd?2??r?a??e?rd2???r?1??ed2?r……⑤

帶電層表面極化電荷面密度為

??Pd2'd2?r?1??ed?3.2?1??3.33?10?2?6?10?3????6.87?10?5c/m2?r2?3.2……⑥

（2）作一個包圍帶電層的柱形高斯面，如圖22-2所示，由高斯定理得

2D??S??S?ed

dD??e2……⑦

?dE?e2?0?r……⑧

P??0??r?1??ed??r?1??ed?2?0?r2?r……⑨

有機玻璃表面的極化電荷面密度為

???P???l??P?n??r?1?d??e2?r??6.87?10?5c/m2……⑩

(3)帶電層內任一點電勢為

?1??d2l2x?x?ed?ed?e?d22??d?edx??ddx???l?d????x??0?x??2?0?r4?0?r2?0?r?42?……

2?0?r??帶電層外任一點電勢為

?2??lx??D、E、?隨x變化規律曲線如圖22-3所示

?D?E2?d?ddx??2?0?r2?0?r?l??x???2?……

12?o圖22-3

（4）取x=0代入?式得，帶電層中心處的電勢為

d2l2xoxox?ed?dl??e?d2??0????????2?0?r?22?2?0?r?4?

??edd2?e????l?d???4??8??0r?

?0r?6?10?3?3.33?10?262?10?6?3.33?10?2??3?12?6??10??????12?124?8.85?10?3.28?8.85?10?3.2????1.59?104V(5)由⑧式得帶電層外的場強為

(6)有機玻璃內貯存的靜電能為

?ed6?10?3?3.33?10?26E??????3.53?10V/m?122?0?r2?8.85?10?3.2

11W??D1E1dV1??D2E2dV222

d12?2x21d2?2??dSdx??dV?22?0?r24?0?r?2S?2?0?r1?d3d3?d2?2?S??l?d?????3?88?8?0?r22?2Sd3?Sd?l?d???24?0?r8?0?r2?4?42?6?33.332?10?4?25?10?4?63?10?93.33?10?25?10?6?10??12?6??10???1224?8.85?10?3.28?8.85?10?12?3.2?352.4?10?5J??E 解：介質在與真空的分界面上出現極化電荷，軸線上一點O的場強0是介質中場強E和?極化電荷在軸線上O點的場強E'的矢量和。極化電荷面密度為

???Pcos? （P'為極化強度，n為表面法線方向）

?'?P?n23、在一無限大均勻介質內，挖出一無限長圓柱形真空區，圓柱形的橫截面半徑為R。設介質內場強E均勻，且與圓柱形軸線垂直，求圓柱形軸線上的一點的場強。

如圖所示，取一寬度為Rd?的無限長帶電線，其上電荷線密度為

???'Rd??PRcos?d?

該帶電線在軸線上產生的場強為

ydE'???PRcos?d??2??0R2??0RP2??0cos?d?d????dE'x

極化電荷在軸線上產生的場強為

'E'?Ex??dEcos???02?2?zcos2?d??P2?0

P2??00??PE'?2?0所以軸線上一點的總場強為

??????P??0??r?1?E?r?1??E0?E?E'?E??E??E?E2?02?02

24、一平行板電容器兩極板間距為d，其間放置一塊厚度為t的介質平板，板面與極板成傾角?，介質的相對介電常數為?r，若兩極分別帶上面密度為??和??的電荷，試求兩極板間的電勢差。（設傾角為?較小，邊緣效應可以忽略）

解：設兩極板的邊長為a和b的長方形，建立坐標如圖所示，上、下兩板一小面積dS?adx構成平行板電容器，該電容器看成由兩個電容器串聯而成，其中一個是空氣，另一個是介質，每個電容器中電容分別為

根據電容器串聯性質得

?0adxd?tcos?

??adxdC2?0rtcos?

dC1???d?tcos???tcos?111d?tcos?tcos??????rdCdC1dC2a?0dxa?0?rdxa?0?rdx

a?0?rdxdC??r?d?tcos???tcos?C??dC?0b?0?rab?r?d?tcos???tcos?

yb?r?0?rS?r?d?tcos???tcos?

式中S?ab為極板面積

?極板上電量為

xdx

極板間的電勢差為 圖24-1

Q??S

ox

U????d?tcos???tcos?Q??S?rC?0?rS??d?tcos???tcos???0?0?r

25、半徑為R1的半導體球，一半浸沒在相對介電常數為?r的半無限而均勻的液體介質中，另一半露在真空中，若此導體球所帶的電量為Q，（1）證明：導體球外任一點的電場強度均沿求的徑向；（2）求出導體球表面上的面電荷分布

解：（1）如果導體球外任一點的電場強度不沿徑向則上半球和下半球表面電荷分布將不均勻。它們在球心處產生的合場強不為零，這與導體球內場強為零相矛盾。故球外任一點的場必沿徑向

（2）導體球與無限遠處構成球形電容器如圖所示

根據球形電容器的電容公式有：

C?4??0R1R2

R2?R1

R2QR1當R2??時

根據上式得半球形電容器的電容為：

C?4??0R1

本題中的球形電容器可看作是兩個半球形電容器并聯而成。其中一個是空氣，別一個是介質，每個半球形電容器電容為

C?2??R1

根據電容并聯性質得，電容器的總電容，總電壓分別為

C2?2??0?rR1

C1?2??0R1

C?C1?C2?2??0R1??r?1?U?

兩個半球形電容器所帶電量分別為

QQ?C2??0R1??r?1?Q1?C1U2??0R1QQ?2??0R1??r?1???r?1?Q2?C2U?2??0?rR1??QQ?r2??0R1??r?1??r?1兩個半球表面上的電荷面密度分別為

?1??2?Q1Q?2?R122?R12(?r?1)Q2?rQ?2?R122?R12(?r?1)

26、兩導體球，半徑均為R，球心間距為d，有一均勻電場E0，其方向垂直于兩球心的聯線，

假設R??d，球兩球之間的相互作用力。

?解：

E0

R?x

d

R?x

圖26-1 圖26-2

p1rp2設導體球表面的感應電荷為余弦分布???0cos?，如圖26-1所示，在球內產生的附加電?'???E內??0i,令0?E03?03?0場為，則附加電場與外電場抵消（不考慮另一導體球感應電荷影響），使球內場強為零滿足靜電平衡條件。由此得

在球外可將余弦分布的帶電球殼等視為偶極子，如圖26-2所示，其電偶極矩為

?0?3?0E0

??3?0E0cos?

4P?P??R3?0?4?R3?0E0123

??1在P2處產生場強 電偶極子P????3P???rr?PP11E1?1??34??0r4??0r3

????P在EP1中具有的電勢能（1?P2之間的相互作用能）為 電偶極子2??PPW21??P2?E1?1234??0r

??兩球間的相互作用力為

?3r2P??P1P21P2?Fr????3?6??r?4??0r?4??0r34?R3?0E0 ?4??0d4??227、一半徑為R的導體球浮在某種介質溶液中，導體球的質量密度為?1，介質溶液的相對介電常數為?r，質量密度為?2，且?2?2?1，試用計算必須在此導體球上放置多少電量的電荷，才能使它正好有一半浸沒在介質溶液中。

解：設導體球放置電量為Q的電荷時，它正好一半浸沒在介質溶液中。導體球在介質溶液中受到三個力的作用即導體球自身的重力、導體球受到的浮力和極化電荷對它的吸力，如圖27-1所示，處于平衡狀態時，有

12??0R6E02??0為斥力4d

F浮?F吸?G……①

導體球所受浮力為

F浮??24?R3g2?3……②

導體球所受到的重力為

4G??1?R3g3 圖27-1

F?為了球極化電荷對導體球的吸力為吸，先求極化電荷密度p，導體球表面各介質表面電荷分布如圖27-2所示，作球面為高斯面，根據高斯定理得

???????D?dS??D1?dS??D2?dS?QS1S2

D1?2?r?D2?2?r?QD1?D2?D1t?D2t22Q2?R2……④ 圖27-2

在介質交界面上有

?0?0?r

D2t?D2

D1t?D1由④、⑤式得

D1?r?D2……⑤

D2?E2??rQ1??r2?R2D2?0?r?Q?0(1??r)?2?R2P2?D2??0E2?極化電荷密度為

?r?1Q?r?12?R2

?p?Pn??r?1Q?r?12?R2……⑥

極化電荷為半球面分布，在球心處產生的場為

E??P?r?1Q?4?0?r?18??0R2……⑦

極化電荷對導體球的吸力為

?r?1Q2F吸?QE??r?18??0R2……⑧

將②、③、⑧式代入①式得

整理得

?r?1Q24433?2?Rg??1?Rg?2?33?r?18??0R2

43?2?r?1Q2?Rg（??1）?32?r?18??0R2

?r?1322???0gR5(2??1)?r1132

28、有一半徑為a,相對介電常數為?r的均勻介質小球，與另一半徑為b，電勢為?0的導體Q2?小球相距為r(r>>a、b)。求介質小球受力的近似表達式。

解：設導體球帶電量為Q0，由高斯定理得

??Q02E?dS?E?4?r?0??0E0?Q04??0r2??

?

導體球的電勢為

?a????r??P?Q0b?r?0??E0?dl??Eb?dr?b?由此得導體球所帶電量為

Q0?1???4??0?b?

導體球在介質球處產生的場可視為勻強場，即在介質球心處產生的場強為

Q0?4??0b?0

E0?Q04??0r2??介質球在均勻外場作用下發生極化，設極化強度為P，極化電荷為余弦分布，即

極化電荷在介質球內產生的場強為

bQ0r2

??n?Pcos?

?'?P?eE'?P3?0

介質球內總場強為

Ec?E0?介質極化強度為

P3?0

所以

?P?P??0??r?1?Ec??0??r?1??E??03???0?

?P?3??r?1??03??r?1??0b?0E0??r?2?r?2r2

介質球的等效電偶極矩為

p?PV?介質球的等效電偶極矩與外場之間的相互作用能為

24???r?1??0a3b2?01W??p?E0??pE0???r?2r4

3??r?1??0b?043?a?r?2r23

介質球外場中所受的力為

24???r?1??0a3b2?0?W4r3Fr?????r?r?2r8216??0??r?1?a3b2?0 ????r?2?r5

29、兩均勻帶有等量異號電荷的無限大平面導體板之間放一均勻的介質球，球的半徑為R極化率為

?，求球內的場強，假定介質球離兩平板都相當遠，球處在場中時，帶電板上的

電荷仍然均勻分布，因此，自由電荷單獨產生的場解法1：分步極化法

Ef仍是均勻場。

設想介質球的極化是分若干階段進行的，最終達到靜電平衡。在介質球剛放在電場中瞬時，極化電荷尚未形成，因而介質球內的場強就是外場

Ef，它使球均勻極化，極化強度為

P0??0?Ef由P0引起的極化電荷在球內所產生的附加場強為

1?

0附加電場EP1引起的附加極化，附加的極化強度為

?P???E???Ef

10p10Ep1??3?P0??3Ef附加的極化強度EP1產生的附加場強為

1?2

E??P?(?)Efp21

3?3附加場強EP2又引起新的附加極化，這樣的過程一步一步繼續下去，在第n步，附加極化強度為

?n

E?(?)Efpn

033于是介質球內的場強等于自由電荷的場強Ef和附加場強EPn之總和，即

?n?1E?Ef?Ep1?Ep2????Ef??EPn

?????n?

??????Ef

?1 得

?

0

?

3?

n?

x

n

???根據

x

n

?

2

?

????

?

?

?1?x?x

1?xn?0

13E?E?E

?f2??rf

1?3?應比較小，同以上能求得正確結果是因為均勻球內部的場是均勻的，而且介質的極化率時極化不影響自由電荷的分布。

解法2：均勻的介質球在均勻電場中的極化是均勻的，而均勻極化的介質球表面的極化面電荷在球內單獨產生的場強為

1

Ep??P

3?0

??即EP是與極化強度P的方向相反的均勻電場，若介質中的場強為E，則

11

?E?P?E??0?EE?E?Efffp

3?03?0于是

???

E?1???Ef

3??

所以

E?30、半徑為a金屬球，帶有電量q0，球外緊貼一層厚度為b，相對介電常數為?r1的均勻固體電介質，固體電介質外充滿相對介電常數為?r2的均勻氣體電介質，假定?r1??r2，討論下列各問題：電位移矢量，電場強度，極化強度，電荷分布，電勢。

解：（1）空間各點的電位移矢量D

由球對稱，作高斯面，用介質中的高斯定理可求出空間各點的電位移矢量

在金屬球內，

D0?0

在固體介質r1內，

D?dS?D?4?r2?q0

1q0

D1?,(a?r?b)2

4?r33Ef?Ef3??2??r??在氣體介質r2內，

1q0D?,(r?b)2

4?r2（2）空間各點的電場強度E

在金屬球內，

E0?0

在固體介質r1內，

11q0

E1?D1??0?r14??0?r1r2

在氣體介質r2內，

1q0

E2?4??0?r2r2

（3）空間各點的極化強度P

在金屬球內，

P0?0

在固體介質??r1DEab?r2D1D2?E1E2P1P???f?P1?P2?P2?r1內，

q04??0?rr2

1P1??0?1E1??0(?r?1)在氣體介質r2內

??1q0

P2??0?2E?r24??r2r2

（4）電荷分布

?

在金屬球表面上自由電荷分布

q?f?02

4?a在固體介質與金屬球的交界面上極化電荷分布

?P1?P0?P1??P1?????r1?1q04??r1a2

?r1?1?f?r1在兩種介質的交界面上極化電荷分布

??r1?1?r2?1?q0

??P?P????p2122

??4?b?r1r2?

?11?a2???

?2?f??r1?r2?b

（5）空間各點的電勢?

金屬球的電勢為

?0??E?dl??E1?dl??E2?dlaab?b?

q?11?11??

?0??????

4??0??r1ab??r1?r2??

固體介質中任一點的電勢為

?b?

?1?E?dl?E1?dl?E2?dlrrb

q0?11?1???

?4??0??r1rb??r1

氣體介質中任一點的電勢為

???1??????r1???2??E?dl?r?q014??0?r2r

各物理量分布情況如圖所示。

31、設有一駐極體（具有永久極化的特殊介質）制成的球，半徑為 R，其永久極化強度為P0為恒量，若取P的方面為z軸，試求z軸上的電位移矢量，設原點在球心上。

解：均勻極化的介質球在Z軸上所產生的場強，在球內和球外分別為

1E??P0

13?0

2RP02P0

RE2?

3?0z3在球內由

E2D??0E?P關系得

P0

D1E1D2

21

D1??0E1?P?P0?P0??P0033

在球外由

D??0?rE（球外為真空）關系得

2R3

D2??0?rE2??0E2?3P0

3z計算結果表明：即使沒有自由電荷，D也不為零，說明D與極化電荷并不是無關系的。D(z)、E(z)與z的關系如圖所示。

設空間為兩種不同的均勻電介質所充滿，兩種介質的交界面是一個平面，在交界面上有一個電量量q的點電荷，試求空間各點的電場強度和電移矢量。

解：由于點電荷位于界面上，在兩介質的交界面上，電場強度只有切向分量，即因而En?0，Pn?0，除點電荷所在處外，分界面上無極化電荷分布，在點電荷與介質的“交界面”q?qp的點電荷激發的電場具有球對稱性，其場強為

上，將出現極化電荷，這個極化電荷是與點電荷重合在一起的點電荷，設極化電荷的電量為qp，由于電量為

1q?qp?r

E?e2?neS4??r0

q?r2由物態方程，得

?r1q?qp?r1?rD???E?e

10r124?r

?r2q?qp?rD2??0?r2E?e

24?r

由介質中的高斯定理，得

D?dS?D?dS?D?dS?qS下半球面1上半球面2

由此得

?r1(q?qp)??r2(q?qp)?2q

即

2q

q?qp?

?r1??r2于是

q?rE?e

2??0(?r1??r2)

?r1q

?rD?e1

2?(?r1??r2)

?r2q

?rD2?e

2?(?r1??r2)32、研究介質的介電性與導電性，電阻和電容的關系。設想在兩導體之間充滿某種各向同性???的均勻電介質，其相對介電常數為

?r，使兩導體帶等量異號的電荷，如圖（a）所示，試

求這導體組的電容。另一是作為電阻使用，設想在導體之間充滿某種各向同性的，均勻的歐姆導電介質，其電導率為v使兩導體之間維持一恒定的電勢差，其值與這兩導體作電容器時的電勢差相等，如圖（b）如示，試求這導體組的電阻。

解：在第一種情況中，兩導體構成兩個等勢面，其間存在靜電場，兩導體間的電勢差為

SS

?Q

?r???

EE?Q

(b)導體組用作電阻(a)導體組用作電容器

?

??????E?dl?

導體上的電量為

Q??dS?D?dS??0?rE?dS

SSS導體組的電容為

?0?rE?dSQ

S?C??

?????E?dl

?在第二種情況中，兩導體也構成兩個等勢面，其間存在穩恒電場，兩導體間的電勢差為

?

??????E?dl?而電流

I?j?dS?vE?dS?vE?dSSSS

由歐姆定律，導體組的電阻為

?

E?dl??????

R??I

vE?dSS比較兩個結果得

?0?rRC?

v

一切實際的電介質總有一定的電導率，任何導體也都具有介電常數。其實際介質中的電容與相應電阻之間滿足上式關系。

????????????33、兩塊大金屬板相距（a+b)，其間充滿兩種均勻導電介質，介質的介電常數和導電率分別為?r1、?1和?r2、?2，厚度分別為a和b，如圖（a）。在t=0時刻，突然將一恒定的電壓U加于兩電極間，求兩介質中的電場，電流密度及交界面上的電荷分布隨時間的變化。

解：當兩極板間加上電壓后，就在其間形成電場，假定介質的極化過程十分迅速，在介質中立刻建立起靜電場，但在兩種介質的交界面上，尚無面分布的自由電荷，因此在交界面上，靜電場滿足電位移矢量法向邊界條件，即

D10?D20?D0

或

?r1?0E10??r2?0E20

aE10?bE20?U

但

由上兩式解得

Ka?r1b?r2E10??r2Ua?r2?b?r1?1?2

圖（a）

?r1UE?20

a?r2?b?r1

???U

D0?r1r20a?r2?b?r1

由于介質有導電性，在電場作用下會形成電流。在t=0時刻，兩種介質中的電流密度各為

?1?r2Uj??E?

10110a?r2?b?r1

?2?r1Uj20??2E20?

a?r2?b?r1

由于

j10?j20，于是在兩種介質的交界面上會積累起電荷，積累起來的電荷所造成的附加電場必定削弱電流密度較大一方的電場，增強電流密度較小一方的電場。隨著電荷積累的增多，電流密度大的一方電流逐漸減弱，小的一方電流逐漸增強，直到電流密度相等后，才達到穩定。設想在界面附近作一圓柱形的封閉曲面，使底面與交界面平行，如圖（b）所示。把電流連續性方程應用于這一封閉曲面，并注意到高斯定理，得

dq

j?dS???S(j2?j1)?S??dtdqdt?r1?1?r2

?SD?dS?q

?2(D2?D1)?S?q

圖（b）

dj?j??(D2?D1)21

dt或

d?E??E???0(?r2E2??r1E1)

2211dt

但

aE1?bE2?U

消去

令

E2得

dE1a?2?b?1?2U?E1?dt?0(a?r2?b?r1)?0(a?r2?b?r1)?0(a?r2?b?r1)?2Utr?c?a?1?b?2?0(a?r2?b?r1)

上式變為

dE1

dt解此方程得

?1E1?ctr

其中A為積分常數，可由初始條件求得。

當t?0時E1?E10，得

E10?tr(c?A)

于是

E10A?c?

tr

得

?2U?r1U?ttrE1?1?e?e?ttr

a?2?b?1a?r2?b?r1

同理

?1U?r1U

E2?1?e?ttr?e?ttr

a?2?b?1a?r2?b?r1

K電流密度為

baj1??1E1

?r2?r1

j2??2E2

?2?1界面上的電荷密度為

D?f?D2?D1

??0?r2E2??0?r1E1E

?????

j?f??01r22r1U1?e?ttr

a?2?b?1

E1?tr?c?Ae?ttr?????t?0t?0??t?0t??當t??時：?2UE1?a?2?b?1

DE1

E2?a?2?b?1

達到穩定值。此時有

??U

j1??1E1?12

a?2?b?1?Uj圖（C）

t??t??

j2??2E2??1?2Ua?2?b?1

j1?j2，電流密度法向連續。

t?0和t??時，D、E、j的空間分布如圖(c)所示。

34、計算把均勻的電介質插入帶電平行電容器前后電容器的電容，極板上的電量，兩極間的電勢差，電容器的能量以及插入過程外力所作的功。假定介質片正好充滿電容器．介質的相對介電常數為?r。

解：當介質片剛從電容器邊緣插入電容器時，電容器邊緣的電場分布發生的畸變，介質被極化，如圖所示。如果沒有外力作用于介質片使之徐徐移入電容器，則介質片在電場力的作用下將獲得加速度。當介質片正好全部進入電容器時，場的畸變消失，但介質片具有動能，介質片將在電容器中振蕩，直到它的全部機械能消耗完為止。

（1）保持電壓恒定（電容器接在電池兩端），設電容器極板的面積為S，兩極之間的距離為L。

電介質插入前有關物理量分別為

U1?U0

?S

C1?0

d

?0SU0Q?CU?

111d

?Q1?0U0F

?f1??Sd

2?SU11200

W1?C1U1??QU10

22d2電介質插入后有關物理量分別為

?UDf

E1?0?1?1U2d?U0?0?0

?0SC??C??

2r1rd

?0S21W?CU??U0??rW1

222r2d

?0SQ2?C2U2??rU0??rQ1

d

U2U0

E2???E1電介質插入前后電容器極板上的電量和電容器的儲能變化為

dd

?Q?Q2?Q1?(?r?1)Q1??Q1

?W?W2?W1?(?r?1)W1??W1

在介質片插入電容器的過程中，電池作的功為

AB??QU0??QU

10?2?W1?2?W即電池作的功為電容器所增加能量的兩倍，其中一半用于增加電場能，一半為電場對于電介質板所作的機械功AM

AM?AB??W

??W1

（2）保持電量恒定（充電后與電池切斷）

電介質插入前有關物理量分別為

Q1?Q0

?S

C1?0

d

Q1Q0dU??

1C?0S1

11Q12d22W1?CU??Q

11022C12?0S

QUDE1?1?1?0

d?0?0S

電介質插入后有關物理量分別為

Q2?Q1?Q0

?S

C2??r0??rC1

d

Q21

U2??U1C?r

2

21Q21

W??W12

2C2?r

U1E2?2?E1

d?r

電介質插入前后電容器的儲能變化為

?1???W?W?W??1W????1

21電場對于電介質板所作的機械功M為

?

AM???W?W1

?r

??rA??rW1