4.2.2 等差數列的前n項和(精講)(解析版)

2024年1月4日發(作者：寶寶發燒手腳冰涼是怎么回事)

4.2.2等差數列的前n項和思維導圖常見考法考點一等差數列的基本量1/12

【例1】（2020·陜西省安康中學其他（理））記Sn為等差數列?an?的前n項和，2S3?S2?S4，a1?1，則S7?（A．-77【答案】A【解析】由2S3?S2?S4，得4a1?d?0，∴d??4，a4??11，S7?7a4??77.故選:A【一隅三反】1．（2020·內蒙古赤峰）若等差數列?an?的前n項和為Sn，且滿足a4?4，S4A．1【答案】A【解析】∵a4?4，S4B．?1C．2D．?2）B．-70C．-49D．-42?10，則公差d?（）?10∴a4?a1+3d=4，S4?4a1?4?3d=10，解得a1=1,d?1.故選：A.222．（2020·河南信陽·其他（文））正項等差數列?an?的前n和為Sn，已知a3?a7?a5?15?0，則S9=（A．35【答案】C【解析】?正項等差數列?an?的前n項和Sn，a3?a7?a5?15?0，?a5?2a5?15?0，22）B．36C．45D．54解得a5?5或a5??3（舍），?S9?9?a1?a9??9a5?9?5?45，故選C.2）3．（2020·湖北十堰）已知等差數列?an?的前n項和Sn滿足S3?18,Sn?3?180,Sn?270，則n?（A．12【答案】D【解析】因為S3?3a2?18，所以a2故Sn?B．13C．14D．15?6，又Sn?Sn?3?3an?1?90，所以an?1?30．n?a1?an?2?n?a2?an?1?2?270，解得n?15．故選：D.考點二前n項和Sn與等差中項2/12

【例2】(1）（2020·云南省云天化中學高一期末）等差數列?an?中，a3?a9?12，則數列?an?前11項和S11?（A．12）B．60C．66D．72（2）．（2020·吉林朝陽·長春外國語學校開學考試）設Sn是等差數列?an?的前n項和，若（A．1【答案】(1)C（2）A【解析】（1）在等差數列?an?中，a3?a9?12，所以a1?a11?a3?a9所以S11?）B．?1C．2D．a55S?,則9?S5a391211?a1?a11?2?11?a3?a9?2?11?12?66.故選：C.29?a1?a9?a55S9a952?，得9???5???1故選：A（2）在等差數列{an}中，由a39S55?a1?a5?5a3592（1）如果?an?為等差數列，若m?n＝p?q，則am?an＝ap?aq(m，n，p，q?N*)．(2)要注意等差數列前n項和公式的靈活應用，如S2n?1?(2n?1)an.【一隅三反】1．（2020·四川成都·二模（文））若數列?an?為等差數列，且滿足3?a5＝a3?a8，Sn為數列?an?的前n項和，則S11＝（A．27【答案】B【解析】因為3?a5＝a3?a8，由等差數列性質，若m?n＝p?q，則am?an＝ap?aq得，）B．33C．39D．44?a6＝3．Sn為數列?an?的前n項和，則S11＝11(a1+a11)?11a6＝33．故選：B．22．（2020·河北運河·滄州市一中月考）若兩個等差數列?an??bn?的前n項和分別為Sn，Tn，且滿足3/12

Sn3n?1a6??（，則Tn2n?2b6A．2【答案】DB．）74C．32D．4311?a1?a11?a62a6a1?a11S2????11，【解析】b62b6b1?b1111?b1?b11?T112又因為Sn3n?1a6S113?11?1324?????.故選：D，所以Tn2n?2b6T112?11?22433．（2020·河北新華·石家莊新世紀外國語學校期中）兩等差數列?an?和?bn?，前n項和分別為Sn，Tn，a2?a20Sn7n?2?且，則的值為（Tnn?3b7?b15A．）14924B．7914C．165D．5110【答案】A【解析】在{an}為等差數列中，當m?n?p?q(m，n，p，q?N?)時，am?an?ap?aq．a2?a20b7?b1512?S21?，1T2121?(b1?b21)?221?(a1?a21)?所以Sn7n?2a2?a20149??又因為，所以．故選：A．b7?b1524Tnn?34．（2020·湖南寧鄉一中）在等差數列?an?中，3(a3?a5)?2(a7?a10?a13)?24，則此數列前13項的和是（A．13【答案】B【解析】由等差數列的性質可得：a3?a5?2a4，a7?a13?2a10，代入已知可得3?2a4?2?3a10?24，即a4?a10?4，4/12）．B．26C．52D．56

故數列的前13項之和S13?13?a1?a13?2?13?a4?a10?2?13?4?26．故選B．2考點三前n項和Sn的性質【例3】（1）（2020·陜西省洛南中學高二月考）已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為(A．6B．5)C．4D．3)（2）．（2019·陜西武功·高三月考（理））設等差數列?an?的前n項和為Sn若S3?9,S6?27，則S9?(A．45B．54C．72D．81（3）（2020·浙江吳興·湖州中學）設Sn為等差數列?an?的前n項和，且a1??2010，則S2011?（A．0）B．2011C．2009D．2010S2011S2008??3，20112008【答案】（1）D（2）B（3）A【解析】（1）因為某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，因此數列的第一、三、五、七、九項的和，寫出數列的第二、四、六、八、十項的和，都用首項和公差表示，兩式相減，得到結果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，選B（2）因為?an?為等差數列，所以S3,S6?S3,S9?S6為等差數列，所以2?S6?S3??S3?S9?S6即36?9?S9?27，所以S9?54，故選B.（3）設等差數列?an?的公差為d，則S2011S2008?20112008?2011a1?2011?20102008?2007d2008a1?d3，則d?2，22??d?3201120082因此，S2011?2011a1?2011?2010d?2011???2010??2011?2010?0.故選：A.25/12

一般地，如果?an?為等差數列，Sn為其前n項和，則有性質：（1）若m,n,p,q?N*,m?n?p?q，則am?an?ap?aq；（2）Sn?n?ak?an?1?k?22,k?1,2,?,n且S2n?1??2n?1?an；（3）Sn?An?Bn且??Sn??為等差數列；n??（4）Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?為等差數列【一隅三反】1．（2020·山東省臨沂第一中學高二期中）一個等差數列共有3n項，若前2n項的和為100，后2n項的和為200，則中間n項的和為（A．75【答案】A【解析】設等差數列前n項的和為x，由等差數列的性質可得，中間的n項的和可設為x?d，后n項的和設為x?2d，由題意得2x?d?100，2x?3d?200，解得x?25，d?50，故中間的n項的和為75，故選：A．2．（2020·河北運河·滄州市一中月考）Sn是等差數列an}的前n項和，若A．B．100）C．50D．125SS31?，則6為（S63S12）310B．13C．18D．19【答案】A【解析】設S3?a,S6?3a，根據S3,S6?S3,S9?S6,S12?S9是一個首項為a，公差為a的等差數列，S63a3??各項分別為a,2a,3a,4a，故.故選：A.S12a?2a?3a?4a103．（2020·黑龍江龍鳳·大慶四中月考（理））在等差數列?an?中，a1??2018，其前n項和為Sn，若S15S10??5，則S2020?（1510）6/12

A．0【答案】DB．2018C．?2019D．2020【解析】設等差數列?an?的公差為d，由等差數列的性質可得Snn?1?S??a1?d為等差數列，?n?的公差n2?n?為SSdd.?15?10?5，?5??5，解得d?2.1510222020?2019?2?2020.故選：D.2的最值則S2020?2020???2018??考點四前n項和Sn【例4】（2020·陜西省洛南中學高二月考）已知數列{an}中a1?16,an?1?an??2(n?N*)，則數列{an}的前n項和Sn最大時，n的值為（A．8【答案】C【解析】?an?1?an??2，?數列?an?是等差數列，并且公差為?2，B．7或8）C．8或9D．9Sn?n?16?對稱軸是n?n?n?1?217?289?，???2???n?17n???n???2?4?2217?8.5，?n?N*，所以當n?8或9時，Sn取得最大值.故選：C2【一隅三反】1．（2021·河南淇濱·鶴壁高中高二月考）等差數列{an}的前n項和為Sn，S100＞0，S101＜0，則滿足anan+1＜0的n＝（A．50【答案】A【解析】根據題意，等差數列{an}中，S100?0，S101?0，則有S100?又由S101?(a1?a100)?100?50(a1?a100)?50(a50?a51)?0，則有a50?a51?0；2(a1?a101)?101?101a51?0，則有a51?0；則有a50?0，2）B．51C．100D．101若anan?1?0，必有n?50；故選：A7/12

2．（2020·吉林南關·長春市實驗中學）已知數列?an?是等差數列，若a9?3a11?0，a10?a11?0，且數列?an?的前n項和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值時n等于（A．1【答案】D【解析】因為等差數列的前n項和有最大值，故可得d?0因為a9?3a11?0，故可得a9?a10?a11?a12?0，整理得2?a10?a11??0，即a10?a11?0，又因為a10?a11?0，故可得a10?0,a11?0.B．20C．10）D．19又因為S19?19a10?0，S20?10?a10?a11??0，故Sn取得最小正值時n等于19.故選：D.3．（2020·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知等差數列?an?的前n項和為Sn，S13?0，S14?0，則當S取得最小值時，n的值為（A．4【答案】C【解析】因為S13?0，故13a7?0,?a7?0.因為S14?0，故7?a7?a8??0,?a7?a8?0，所以a8??a7?0，所以當n?7時，Sn取得最小值.故選：C.4．（2020·安徽金安·六安一中高一期中（理））已知等差數列?an?的前n項和為Sn，若S19?0，S20?0，B．6）C．7D．8S20S1S2則，，…，中最大的是（a20a1a2A．）S8a8B．S9a9C．S10a10D．S11a11【答案】C【解析】由S19?19(a1?a19)?19a10?0，得到a10?0；2由S20?20(a1?a20)?10(a10?a11)?0，得到a11?0，28/12

∴等差數列?an?為遞減數列，且a1?a2?a3???a10?0?a11?a12??，0?S1?S2???S10,S10?S11?S12???S19?0?S20?S21??,當n?10時，Sn?0,an?0，且S10最大，a10最小，所以S10最大；a10Sn?0；當11?n?19時，Sn?0,an?0，此時an當n?20時，S20?0,a20?0，且0?S20?S10，a20?a10?0，所以S20S20S10??，a20a20a10S20S10S1S2綜上所述，，，…，中最大的是.a10a20a1a2故選：C．考點五含有絕對值的求和【例5】（2021·河南淇濱·鶴壁高中高二月考）已知兩個等差數列?an?、?bn?，其中a1?1，b1?6，b3?0，2nn記?an?前n項和為Tn，Tn??．22（1）求數列?an?與?bn?的通項公式；（2）記cn?an?bn，設Sn?c1?c2?c3???cn，求Sn．?8n?n2,1?n?4【答案】（1）an?n，bn?9?3n；（2）Sn??2.n?8n?32,n?5?2n2?nn?n?n?1???n?1?【解析】（1）?Tn?，當n?2時，a?T?T???n，nnn?12222a1?1滿足an?n，?an?n?n?N??.設等差數列?bn?的公差為d，則d?b3?b10?6???3，3?12?bn?b1??n?1?d?9?3n；9/12

（2）由（1）知，cn?an?bn?9?2n，cn?9?2n???9?2n,1?n?4．2n?9,n?5?當1?n?4時，Sn??7?9?2n?n2?8n?n2；當n?5時，Sn??7?5?3?1???1?2n?9??n?4?2?n2?8n?32．?8n?n2,1?n?4綜上所述，Sn??2.n?8n?32,n?5?【一隅三反】1．（2019·浙江吳興·湖州中學高一月考）已知等差數列{an}中，a2??57，a17??12，記bn?an，記{an}的前n項和為Sn，{bn}的前n項和為Tn.（1）求首項a1和公差d；（2）求Sn和Tn的表達式?32123?n+n(n?21)??22Tn??32123n，【答案】（1）a1??60，d?3；（2）Sn=n??3n2?123n?1260(n?21).22?2?2?a2=a1?d??57【解析】（1）由題可得?，解得a1??60a?a?16d??121?17（2）由（1）可知an??60??n?1??3?3n?63，，d=3；n??60?3n?63?32123?Sn==n?n，bn=an=3n-63，222當3n-63<0，即n<21時，Tn=-a1+a2+?+an=-Sn=-當n?21時，Tn=-a1+a2+?+a20+a21+aa22+?+an()32123n+n,22()()3123=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=n2-n+1260，2210/12

?32123?n+n(n?21)??22?Tn???3n2?123n?1260(n?21).?2?22．（2020·安徽月考）已知數列?an?的前n項和為Sn，且Sn?n2?19n(n?N*).（1）求Sn的最小值；（2）求數列?an?的前20項和.【答案】（1）?90.（2）2002【解析】（1）S?n?n2?19n??19?361?n?2???4，又n?N*，所以當n?9或n?10時，Sn取得最小值，且最小值為?90.（2）當n?2時，S2n?1??n?1??19?n?1?，所以an?Sn?Sn?1??n2?19n????n?1?2??19?n?1????2n?20.當n?1時，a1?S1?1?19??18滿足上式，所以an?2n?20.由an?0，解得n?10，于是數列?an?前9項為負，第10項為0，第11到20項為正.所以數列?an?的前20項和為a1?a2???a20???a1?a2???a10??a11?a12???a20?a1?a2???a20?2?a1?a2???a10??S20?2S10?202?19?20?2?102?19?10??200.3．（2020·商丘市第一高級中學期末）已知數列?an?的前n項和Sn?n2?7n．（1）求?an?的通項公式；（2）求數列?an?的前n項和Tn．【答案】（1）a??n2?7n,1?n?4n?2n?8；（2）Tn???n2?7n?24,n?5.11/12

【解析】（1）因為Sn?n?7n，22所以當n?2時，an?Sn?Sn2?1??n?7n?????n?1??7?n?1????2n?8，又因為n?1時，a1?S1??6適合上式，所以an?2n?8；（2）因為an?2n?8???8?2n,1?n?4?2n?8,n?5.①當1?n?4時，an?0，所以Tn?a1?a2?????an??a1?a2?????an??Sn??n2?7n；②當n?5時，an?0，所以Tn?a1?a2?a3?a5????an??a1?a2?a3?a4?a5?????an?Sn?2S4?n2?7n?24.所以T??n2?7n,1?n?4n???n2?7n?24,n?5.12/12