內擺線參數方程推導

2024年2月12日發(作者：葫蘆娃歌曲歌詞)

內擺線參數方程推導

內擺線是一種數學曲線，它描述了一個圓在另一個圓內滾動時，內部圓上固定點的軌跡。這個軌跡非常有趣，因為它看起來像一條心形線。

為了推導內擺線的參數方程，我們需要做一些準備工作。首先，我們需要知道內圓的半徑R和外圓的半徑r之間的比率k = R / r。我們還需要定義一個角度t，表示內圓滾動的角度。最后，我們需要定義一個常數a，它表示內圓上的固定點到內圓的圓心的距離。

有了這些準備工作之后，我們可以開始推導內擺線的參數方程。首先，我們可以用三角函數來表示內圓的圓心在外圓上的位置。具體來說，我們可以用余弦函數來表示內圓圓心的x坐標，用正弦函數來表示內圓圓心的y坐標。這樣我們就可以得到內圓的圓心坐標為：

x = (r-kR)cos(t) + a cos((r-kR)t / R)

y = (r-kR)sin(t) - a sin((r-kR)t / R)

接下來，我們可以用向量的幾何性質來表示內圓上固定點的位置。具體來說，我們可以定義一個向量v，它指向內圓圓心和固定點之間的連線，并且它的長度等于a。此外，我們可以將這個向量旋轉一個角度t，使得它與內圓圓心之間的連線保持垂直。這樣，我們就可以得到內圓上固定點的坐標為：

x = (r-kR)cos(t) + a cos((r-kR)t / R) - a sin(t)

y = (r-kR)sin(t) - a sin((r-kR)t / R) + a cos(t)

這就是內擺線的參數方程。如果我們畫出這個曲線，就能看到它 - 1 -

非常像一個心形線。此外，這個曲線還有一個很有趣的性質，就是它在t = π時會出現一個尖峰，也就是說，這個曲線會在中心處形成一個銳角。這個性質使得內擺線成為了一個非常有趣的數學曲線，它在許多領域都有廣泛的應用。

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