關(guān)于廣延性博弈

2024年3月11日發(fā)(作者：關(guān)于人的作文)

中微補(bǔ)充講義（9）

關(guān)于廣延性博弈的幾個(gè)問題

一、 完美信息的廣延性博弈轉(zhuǎn)化為策略性博弈應(yīng)注意的幾個(gè)問題

1. 策略與行動(dòng)計(jì)劃

在廣延性博弈里，如果參與人的信息集不止一個(gè)，則其策略就會成為一整套計(jì)劃，參與

人必須考慮到當(dāng)自己處于什么“站”應(yīng)當(dāng)用什么應(yīng)對計(jì)劃的問題。這樣，“策略”與“計(jì)劃”

就有了區(qū)別：“計(jì)劃”是指參與人在某個(gè)信息集上選取的行動(dòng)；而“策略”是在每個(gè)信息集

上只選取一個(gè)計(jì)劃的前提下，由各個(gè)信息集下所選取的一個(gè)一個(gè)行動(dòng)計(jì)劃構(gòu)成的。

2. 一個(gè)策略所含的計(jì)劃個(gè)數(shù)與策略集所含的策略個(gè)數(shù)

為什么當(dāng)完美信息的廣延型博弈轉(zhuǎn)化為策略性博弈時(shí)，有時(shí)策略所包含的計(jì)劃個(gè)數(shù)不止

一個(gè)？原因就在于參與人在廣延型博弈里的信息集不止一個(gè)。參與人i的一個(gè)策略

s

ij

（

j?1,2,...J

,其中

J

為i各用的策略個(gè)數(shù)）所含的行計(jì)劃的個(gè)數(shù)等于參與人i擁有的信息

集個(gè)數(shù)。i擁有n個(gè)信息集，其每一個(gè)策略便有n元。請看下例：

在圖11.1里，參與人“1”便有兩個(gè)信息集：一個(gè)數(shù)在博弈的初始點(diǎn)，用空心表示；另

一個(gè)信息集是在“1”走了C，參與人“2”走了E之后，又輪到“1”決策的那個(gè)信息集。

這里，由于信息是完美的，從而參與人“1”的每個(gè)信息集都只含有一個(gè)決策點(diǎn)。因此，在

該博弈里，參與人1有兩個(gè)信息集，而參與人2則只有1個(gè)信息集。

１

C

2

（2，0）

E

1

G H

（0，0）

F

（3，1）

Ｄ

（1，2）

圖11.1 參與人1擁有兩個(gè)信息集的廣延型博弈

這樣，參與人2的每一個(gè)“策略”就只包含一元。即只含有一個(gè)行動(dòng)計(jì)劃，當(dāng)“2”決

策時(shí)，

s

2

或者是“E”，或者是“F”。但參與人1的每個(gè)策略都必須只含有二元：即必須表

示參與人1在博弈開始點(diǎn)的行動(dòng)計(jì)劃與當(dāng)參與人2行動(dòng)之后再由參與人1所做出的反應(yīng)計(jì)

劃。這樣，參與人1的策略就會是（C,G），（C,H)，（D,G），（D,H）這樣的構(gòu)成方式，其每

個(gè)策略都是一套計(jì)劃，而不是只含有一個(gè)計(jì)劃。

那么，參與人i在信息完美的廣延型博弈里的策略個(gè)數(shù)是怎么決定的呢？設(shè)具有K個(gè)信

K

息集，在第k個(gè)信息集參與人i擁有

n

k

個(gè)行動(dòng)計(jì)劃，則i策略集中策略個(gè)數(shù)為

?

n

k

，這里，

k?1

K

?

k?1

是連乘號。在上例中，參與人1有兩個(gè)信息集，且其在每個(gè)信息集都擁有兩個(gè)行動(dòng)計(jì)

劃，從而，他有四個(gè)策略：（C,G），（C,H)，（D,G），（D,H）。

3. 納什均衡的精煉程度

把圖11.1所表示的廣延型博弈轉(zhuǎn)化為策略型博弈，便有表11.2：

E

參

與

人

1

（C,G）

（C,H）

（D,G）

（D,H）

1,2

0,0

2,0

2,0

表11.2 與圖11.1所對應(yīng)的策略型博弈

表11.2里有兩個(gè)納什均衡：一個(gè)是參與人1選D，這樣無論參與人選2選E或F，無

論參與人1在第二次做決策時(shí)是選G還是選H，都不會改變支付水平（2，0）。另一個(gè)納什

均衡是（（C，H），F(xiàn)），即參與人2用選F來結(jié)束博弈。但是，這后一個(gè)納什均衡，如果按

“反向歸納”法，是會被排除掉的。之所以要排除掉這后一個(gè)納什均衡，是由于一旦參與人

2處于自己主動(dòng)采取行動(dòng)的決策點(diǎn)，他的“理性”要求他選E，因“2”知道若我選“E”，

則“1”會選G。下一章我們會詳細(xì)講“子博弈完美性”，就是分析每個(gè)決策人在每個(gè)信息集

上都要講理性，都要找出在每個(gè)信息集上的納什均衡。而按這個(gè)原則，表11.2中的（（C，

H），F(xiàn)）就不再是納什均衡了。

因此，當(dāng)我們把完美信息的廣延型博弈轉(zhuǎn)化為策略型博弈時(shí)，所帶來的問題是，這種轉(zhuǎn)

化會導(dǎo)致經(jīng)不起仔細(xì)推敲的納什均衡，即不夠精煉的納什均衡。

參與人2

F

3,1

3,1

2,0

2,0

二、 信息完美的子博弈完美納什均衡舉例

1

C

D

2

F G H

2

I J

E

2

K

（3，0） （1，0） （1，1） （2，1） （2，2） （1，3）

圖12.3 先行者在某些子博弈中有多個(gè)最優(yōu)行動(dòng)的廣延型博弈

在圖12.3中，長度（歷史長度）為1的子博弈有3個(gè)，即由參與人2選擇行動(dòng)的3個(gè)

子博弈。長度為2的子博弈有1個(gè)，就是原博弈本身。

我們來討論該例的子博弈完美性：

由于歷史

(?,E)

之后的子博弈（最右邊的那個(gè)子博弈）中，參與人2的最優(yōu)行動(dòng)是K，

而在另外兩個(gè)子博弈里，“2”的行動(dòng)選擇不會影響其本人的支付水平，從而，按理性原則（利

己但不損人），參與人2的最優(yōu)策略應(yīng)該有4個(gè)：FHK，F(xiàn)IK，GHK，GIK。注意，參與人2

的每個(gè)策略都有3元，因他有三個(gè)信息集。

下面討論對參與人1來說，什么是他的最優(yōu)策略？

對于參與人2的最優(yōu)策略FHK與FIK來說，“C”是參與人1的最優(yōu)策略；

對于參與人2的最優(yōu)策略GHK來說，則無論是C，還是D，還是E，均是參與人1的

最優(yōu)反應(yīng)；對于參與人2的最優(yōu)策略GIK來說，參與人1的最優(yōu)策略是D。由參與人2與

參與人1之間的最優(yōu)策略組成的，滿足在每個(gè)子博弈都達(dá)到納什均衡要求的“子博弈完美的

納什均衡”便有6個(gè)：（C，（FHK）），（C，（FIK）），（C，（GHK）），（D，（GHK）），（E，（GHK））

與（D，（GIK））。

如果我們把符合子博弈完美性要求的行動(dòng)路徑用黑線標(biāo)出來，以上六個(gè)子博弈完美納什

均衡的均衡路徑為下圖：

1

C

D

E

2 2 2

F G H I J K

（（（（（（

311221

，，，，，，

001123

））））

））

圖12.4（1）

1

C

D

E

2 2 2

F G H I J K

（（（（（（

311221

，，，，，，

001123

））））

））

圖12.4（3）

1

C

D

E

2 2 2

F G H I J K

（（（（（（

311221

，，，，，，

001123

））））

））

圖12.4（5）

1

C

D

E

2 2 2

F G H I J K

（（（（（（

311221

，，，，，，

001123

））））

））

圖12.4（2）

1

C

D

E

2 2 2

F G H I J K

（（（（（（

311221

，，，，，，

001123

））））

））

圖12.4（4）

1

C

D

E

2 2 2

F G H I J K

（（（（（（

311221

，，，，，，

001123

））））

））

圖12.4（6）