牛頓迭代法解元方程組以及誤差分析matlab實現

2024年3月18日發(作者：萬難)

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舉例，給定方程組為：

先用matlab自帶函數solve解此方程組，確定牛頓迭代時的初值范

圍，得到根為：

?

x?108.848937

?

作圖驗證：

y?0.8493476

?

此組值確為方程的根。

通過觀察我們可以發現y的取值必須大于0。這在程序中必須說明，

如果迭代過程中y小于0，則此迭代法發散。

誤差分析：因為范數等價的原因，我們選擇2范數。將兩次相鄰迭代

差

x

n?1

，x

n

與x

n

的2范數的比值，即相對誤差

的2范數作為誤差，

存儲與一個向量或矩陣中，并作出曲線圖，觀察迭代過程中誤差的變

化情況。

如選初值為(12，0.3)，得到誤差圖形為：

選初值為(12，1.2)，誤差圖為：

我們可以發現誤差在前3-5次迭代的時候迅速下降，但是中間會有上

升的過程，直至最后誤差達到我們設定的誤差值。由此猜想迭代過程

可能漏掉了一些根，利用作圖，得到曲線如下：

可以發現還有兩組根，用牛頓迭代法只能得到一組值，可能是因為所

給方程比較特殊，它的定義域中x,y均不能為0，導致函數不連續。

另外，也可能因為函數不連續，導致初值只能在根的附件變化時才能

得到收斂的結果。

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因此我們不妨將初值選的稍微小一些，如:[1,2]，得到根為

選初值為[-1,4]，得到根為

綜上所述，此方程組有三組根，不同的初值，會得到不同的解的情況，

也會有不同的誤差情況。初值選得越接近真值，誤差變化程度越小，

迭代次數也越少。

程序在另三個附件中。

同理，對于n元函數方程組，我們有：

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（0）（0）（0）（0）（0）(1)0）

?

(x

1

(1)

?x

（

)x,...,x,x(f??f)x?x(?...?f)x?x(?f)

n2111xnnn1x2221x11

?

...

?

.

?

...

?

.

（0）（0）

?

(x

(1)

?x

（0）

)f?(x

(1)

?x

（0）

)f?...?(x?x

（0）

)f??f(x

（0）

)x,...,x,

n21nnxnnnnx222nx11

?

1

x

2

求導，式中，如f

nx2

表示，第n個方程對第二個未知數

的初始值，第一個未x

1

，x

1

分別表示第一個未知數

，以此類推。知數第一次迭代后的值

若系數矩陣[f

1x1

,f

1x2

,...,f

1xn

;......;f

nx1

,...,f

nxn

]的行列式不為0，

同樣可解出x

1

,x

2

,...,x

n

的值。

.X

(n?1)

牛頓迭代序列依二元方程組，可得到

(n)

)X(F

?X

(n)

?

F'(X

(n)

)

（0）(1)

的值，X

(n)

是第n次X

(n?1)

是第n?1次迭代得到的各自變量

值.迭代得到的各自變量的

F(X

(n)

)為[f

1

(x

1

,x

2

,...,x

n

),...,fn(x

1

,...,x

n

)]是一行向量.

類似二元方程組，F'(X

(n)

)為系數矩陣.那么利用牛頓迭代法，

n有限時的解.matlab編程，依然可以得到

(n)(n)(n)(n)(n)

誤差分析類似二元函數方程組。