四年級精品課程講義-基本原理部分學生版

2024年3月23日發(作者：哀郢)

四年級精品課程講義 基本原理部分

加乘原理

抽屜原理

容斥原理

2填空

2012 2011

2填空

1填空

2010

1填空

1填空

2009

1大題

1填空

2008

1填空

板塊一、加法原理和乘法原理

知識點：1、加法分類，類類獨立；乘法分步，步步相關

2、染色問題解決方法：先解決最麻煩的部分，依次類推，是否需要分類，是當你考慮問題到了最

后發現某塊區域的染色方式不是固定的，而是有不同的染色導致不同的結果，那么這時才考慮分

類。

例題精講

例1． 某條鐵路線上，包括起點和終點在內原來共有7個車站，現在新增了3個車站，相同兩個

車站往返車票不同，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？若相同的兩個車站的票價是相同的，

不同的兩個車站之間票價不同，那么現在鐵路局共需要制定多少種票價？

例2． 12個人圍成一圈，從中選出三個人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？

例3． 如右圖，有一個4×8的棋盤，現將一枚棋子放在棋盤左下角格子A 處，要求每一步只能向

棋盤右上或右下走一步（如從C 走一步可走到D 或E），那么將棋子從A走到棋盤右上角B 處共

有______種不同的走法。

【鞏固】如圖，中國象棋的棋子“車”按象棋中走法規則沿著棋盤路線的最短路徑從左下角走到右

上角，一共有多少種不同的走法？（注：中國象棋中，“車”每一步可以沿直線移動任意多格）

【鞏固】一樓梯共

13

級，規定每步只能跨上一級或兩級，要登上第

13

級，且要求第

8

級樓梯不能登

上，共有多少種不同走法？

例4． 用1，1，2，3，4排在連續的四個格子里，能形成多少個不同的四位數。

例5． 用五種顏色染下面的圖形，相鄰兩塊不同色，有（ ）種方法。

例6． 五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節目。如

果貝貝和妮妮不相鄰，共有（ ）種不同的排法。

例7． 如圖1所示，一個花壇的道路由3個圓和5條線段組成.小兔要從A處走到B處。如果它在

圓上只能順時針方向走，在線段上只能從小圓走向大圓，且每條道路最多走一次。那么小兔可

以選擇的不同的路線有 條。

例8． 過年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個孩子每人一件。其中姐姐的兒

子小強想從智力拼圖和遙控汽車中選一個，朋友的女兒小玉想從學習機和遙控汽車中選一件。那么

媽媽送出這5件禮物共有________種方法。

例9． 在所有的三位數中，滿足其數字和等于12的三位數共有_______個。

例10． 如圖，正方形

ACEG

的邊上共有7個點：

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

、

G

，其中

B

、

D

、

F

分別在邊

AC

、

CE

、

EG

上，那么以這7個點中任意3點為頂點組成的三角形有（ ）

個。

練習（杯賽真題）

1、如圖，某市的街道構成正方形網格，郵遞員要從

A

經過

P

到

B

。沿著最短路線走，共有（ ）

種不同的走法。

2、灰太狼住在

A

處，它收到消息，喜洋洋現在在

B

處睡覺。圖中的橫線和豎線均表示道路，橫線

和豎線的交點表示道路的交叉處。灰太狼只能沿著道路走，若它要在最短的時間里抓到喜洋洋，則

它有（ ）種不同的走法。

3、一只兔子沿著方格的邊從

A

到

B

,規定上只能往上或往右走，但是必須經過一座獨木橋

MN

,這只

兔子有（ ）種不同的走法

4、6個人排成一排，甲當排頭，乙不當排尾，共有多少種排法？

5、染色問題，5種顏色涂4個區域共有幾種涂法？其中區域1、2、3兩兩相鄰，區域4只和3相

鄰。

6、從1到400的數中，含有1或4的數有（ ）個。

7、在如圖的9個正方形中選取2個正方形涂陰影，有（ ）種方式可以使得涂上陰影的這2個

正方形沒有公共邊。

8、有一些三位數，三個數字之和是21，這樣的三位數有（ ）個。

9、從0、0、1、2、3、4、5這七個數字中，任取3個組成三位數，共可組成______個不同的三位

數。（這里每個數字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）。

10、農歷龍年的第一天（即大年初一）是01月23日，如果用四個數字來表示這天的日期，應該

是0123。我們會發現，這四個數字正好是四個連續數字，類似的日期還有02月13日，03月12

日等。那么2012年最后一個用四個連續數字表示的日期是農歷龍年的第_____天。

板塊二、抽屜原理

例題精講

例1． 據不完全統計，上海徐匯區在2013年將會有2013個小朋友降落到這美好的世界中，請問，

這些孩子中，生日相同的至少有

_______

人。

例2． 一個布袋中有白、黃、紅三種顏色彈珠各有20個，另外還有7個藍色的，6個彩色的彈珠，

試問一次至少取出

_______

個彈珠，才能保證取出的球中至少有9個彈珠是同一顏色的。

例3． 如下圖① ，

A

、

B

、

C

、

D

四只小盤拼成一個環形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出

1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全

能取到，四只盤中應各有（ ）粒糖果。把各只盤中糖果的粒數填在下圖②中。

圖① 圖②

【鞏固】如右圖

A

、

B

、

C

、

D

四只小盤拼成一個環形，每只小盤中放若干糖果.每次可取出1只、

或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.這樣取出的糖果數最多有幾

種？請說明理由。

例4． 某個年級有202人參加考試，滿分為100分，且得分都為整數，總得分為10101分，則至

少有多少人得分相同？

例5． 六年級有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少

有多少名學生訂閱的雜志種類相同？

例6．

8?8

的方格網中，每個格子都可以填入1～4 中的任意一個數。對每個“田”字型的四個數

求和，這些和中至少有

_________

個相同。

例7． 現有一個袋子，里面裝有8種不同顏色的玻璃球，每種顏色的玻璃球各有50個，則在這個袋

子中至少要取出

_______

個玻璃球，才能保證取出的球至少有三種顏色，且有三種顏色的球都至少

有10個。

例8． 老師在黑板上出了兩道題，規定每道題做對得

2

分，不做得

1

分，做錯得

0

分。老師說：“可

以肯定全班同學中至少有

6

名同學各題的得分都相同。”那么，這個班至少有多少名同學？

【鞏固】老師在黑板上出了兩道題，規定每道題做對得

2

分，不做得

1

分，做錯得

0

分。老師說：

“可以肯定全班同學中至少有

6

名同學的總得分是相同的。”那么，這個班至少有多少名同學？

例9． 傳說地球上有

7

顆不同的龍珠，如果找齊這

7

顆龍珠，并且按照特定順序排成一個圈就會有

神龍出現。邪惡的沙魯找到了這

7

顆龍珠，但是他不知道排列的特定順序。請問：運氣不好的沙魯

最壞要試

_______

次才能遇見神龍。

練習（杯賽真題）

1、要想保證至少有5個人相同月份出生，但不能保證有7個人相同月份出生，那么總人數的范圍

應該是（ ）人～（ ）人之間。

2、20個黑球，10個白球裝在一個布袋里，至少拿出 個才能保證有5個黑球，5個白球？

3、袋中外形完全一樣的紅、黃、藍三種顏色的小球各15個。每個小朋友從中摸出2個小球。至

少有

_____

個小朋友摸球，才能保證一定有兩個人摸的球一樣。

4、一個袋子里有紅、白、黃、綠、藍五種顏色大小相同的球若干個，那么，至少要拿出

_______

個球，才能保證其中5個球的顏色相同。

5、一只布袋里有

50

只大小形狀完全一樣的球，其中紅色的球

10

只，綠色的球

10

只，黃色的球

10

只，

藍色的球

10

只，其余的是白色的和黑色的球。如果要確保取出同樣顏色的球

7

只，至少要取

_______

只球。

6、

100

把鎖的鑰匙搞亂了，為了確保每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試

____

次。

7、一群猴子去摘桃子，它們一路走一路摘一路堆，把摘得的桃子任意分成許多堆。其中一只猴子

發現，從這幾堆桃子中任意拿出4堆，其中至少有兩堆桃子，它們的數量之差是3的倍數。你認為

它的發現對嗎？請說明理由。

板塊三、容斥原理

例題精講

例1． 新學期到了，四（1）班的每位學生都訂了《數學報》、《閱讀報》、《英語報》中的兩種，其

中訂《數學報》的有22人，訂《閱讀報》的有21人，訂《英語報》的有25人，問四（1）班同時

訂《閱讀報》、《英語報》的有多少人？

例2． 一個書架上有數學、語文、英語、歷史4種書共35本，且每種書的數量互不相同。其中數

學書和英語書共有l6本，語文書和英語書共有17本：有一種書恰好有9本，這種書是 書。

例3． 四年級一班的學員報名參加興趣小組，參加語文興趣小組的有

20

人，參加數學興趣小組的

有

25

人，參加體育興趣小組的有

22

人，有

23

人報名只參加了兩個興趣小組，有

3

人報了三個興趣

小組，沒有人不參加興趣小組，則四年級一班有多少個人？

例4． 如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等于60平方厘米。陰影部分的

面積總和是40平方厘米，3張板蓋住的總面積是100平方厘米，3張紙板重疊部分的面積是多少平

方厘米？

例5． 將1～13這13個數字分別填入如圖所示的由四個大小相同的圓分割成的13個區域中，然

后把每個圓內的7個數相加，最后把四個圓的和相加，問：和最大是多少？和最小是多少？

。

例6． 50名同學面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按

1

、

2

、

3

學還有多少名？

49

、50依次報數；再

讓報數是4的倍數的同學向后轉，接著又讓報數是6的倍數的同學向后轉。問：現在面向老師的同

例7． 在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍等分成4份；第二種刻度線將木棍

等分成6份；第三種刻度線將木棍等分成8份；如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，則木棍總共被鋸成

幾段？

例8． 在不大于

2010

的自然數中，能被

7

整除或能被

11

整除或能被

13

整除的數有多少個？

例9． 甲、乙、丙三人澆花，甲澆了

68

盆，乙澆了

62

盆，丙澆了

56

盆。已知共有花

90

盆，則三

人都澆了的花至少有多少盆？

【鞏固】某次聯合國每年都會舉行一次大會。拒不完全統計，今年與會人員共有202人，其中會英

語的181人，會漢語的157人，會日語的136人，會法語的147人，并且與會人員至少會這四種語

言中的一種，問本次參加會議的人員，以上四種語言都會的至少有多少人？

練習

1、某次考試，通過語文考試的有53人，通過數學考試的有41人，通過語文考試但沒有通過數學

考試的有34人，那么通過數學考試但沒有通過語文考試的有（ ）人。

2、希望小學四年級有50名學生，有26人參加乒乓比賽，21人參加籃球比賽，兩項比賽都不參加

的有17人。兩項比賽都參加的有（ ）人。

3、四年級同學參加學校舉行的運動會，參加百米跑、跳高、跳遠這三項。參加百米跑的有

24

人，

參加跳高的有

28

人，參加跳遠的有

26

人；既參加百米跑又參加跳高的有

12

人，既參加跳高又參加

跳遠的有

9

人，既參加百米跑又參加跳遠的有

14

人；三項都參加的有

5

人。四年級同學參加運動會

比賽的共有

_______

人。

4、四年級三個班為敬老院的老爺爺、老奶奶做了許多好事，其中28件不是一班做的，29件不是

二班做的，31件不是三班做的。那么一班為敬老院的老爺爺、老奶奶做了（ ）件好事。

5、某個班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學生在這三個項目上都沒

有達到優秀，其余每人至少有一個項目達到優秀，這部分學生達到優秀的項目、人數如下表：

短跑 游泳 籃球 短跑、游泳 游泳、籃球 籃球、短跑 短跑、籃球、游泳

17 18 15 6 6 5 2

求這個班的學生數。

6、在一根木棍上標記上十等分點后再標記上十五等分點，然后在標記點上將木棍截開，那么木棍

將被截為（ ）段。

7、將1~8分別寫在正方體的8個頂點處，使得每個面上4個頂點的數的和相同，這個相同的和等

于（ ）。

8、有一根長2010厘米的繩子，從左端開始，每隔3厘米做一個記號，每隔4厘米也做一個記號，

然后將標有記號的地方剪斷，則繩子共被剪成（1005）段。