2024年3月24日發(作者：黨生日)
2023江蘇省南通市如皋市九月診斷
數學試題
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改
動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試
卷上無效.
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一
項是符合題目要求的.
1. 已知集合
M=∣x
{
x
2
?2mx?3m
2
≤0,N=
}
∣x
{
x
2
+mx?2m
2
≤0
}
，定義
b?a
叫做集合
）
D.10
∣a≤x≤b
}{
x
的長度，若集合
M∩N
的長度為4，則
M∪N
的長度為（
A.3B.4C.5
2.
設
z=m+ni
是方程
az
4
+ibz
3
+cz
2
+idz+e=0
的一個復數根，這里
a,b,c,d,e,m,n∈R
.
則下列各數
一定是方程的根的是（
）
.
A.
m?ni
B.
?m+ni
C.
n+mi
D.
1?m+ni
3.
設
a
，
b
，
c
為正數，且
a
2
+b
2
+c
2
=1
，則
a(a+b+c)
的最大值為（
）
A.
3+1
2
B.
2+1
2
C.
3
2
D.
2
2
?
?
上單調，則
ω
的最大
?
f(x)sin(
ω
x+
φ
)
(
ω
>0)
滿足
f()=1
，
f
?
=
4.
已知
4
值為（
A.
）
B.
π
?
π
5
π
?
5
?
π
?
=
0
且
f(x)
在
?
,
?
46
?
3
?
12
7
18
17
25
91
C.
6
17
D.
30
17
10
91
5.15
個人圍坐在圓桌旁，從中任取
4
人，他們兩兩互不相鄰的概率是（ ）
A.
30
91
B.C.
15
91
D.
6.
數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線
C
：
x
2
+y
2
=1+|x|y
就是其中之一（如圖）
.
給出下
列三個結論：
①曲線
C
恰好經過
6
個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；
②曲線
C
上任意一點到原點的距離都不超過
2
；
③曲線
C
所圍成的“心形”區域的面積小于
3.
其中，所有正確結論的序號是
A.
①
B.
②
n?1
C.
①②
D.
①②③
7.
已知數列
{
a
n
}
滿足
a
1
+2a
2
+???+2a
n
=n?2
n
，記數列
{
a
n
?tn
}
的
前
n
項和為
S
n
，若
S
n
≤S
10
對任意
的
n∈N
*
恒成立，則實數
t
的取值范圍是（
）
A.
?
,
?
?
1110
?
?
1211
?
B.
?
?
1211
?
,
?
?
1110
?
C.
?
,
?
?
109
?
?
1110
?
D.
?
?
1110
?
,
?
?
109
?
e
2
8.
已知
a=22?2,b=,c=ln2
，則（
）
7
A.
a>b>c
C.
c>a>b
B.
b>a>c
D.
b>c>a
二?多項選擇題：本題共
4
小題，每小題
5
分，共
20
分
.
在每小題給出的四個選項中，有多項
符合題目要求
.
全部選對的得
5
分，部分選對的得
2
分，有選錯的得
0
分
.
9.
已知正四面體
P?ABC
的棱長為
2
，下列說法正確的是（
）
A.
正四面體
P?ABC
的外接球表面積為
6π
B.
正四面體
P?ABC
內任意一點到四個面的距離之和為定值
C.
正四面體
P?ABC
的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為
1
3
D.
正四面體
Q?MNG
在正四面體
P?ABC
的內部，且可以任意轉動，則正四面體
Q?MNG
的體積最
大值為
22
81
10.
歷史上著名的伯努利錯排問題指的是：一個人有
n
(
n≥2
)
封不同的信，投入
n
個對應的不同的信箱，他
把每封信都投錯了信箱，投錯的方法數為
a
n
.
例如兩封信都投錯有
a
2
=1
種方法，三封信都投錯有
a
3
=2
種
n
(
a
n
+a
n?1
)(
n≥3
)
.
高等數學給出了泰勒公式：
方法，通過推理可得：
a
n+1
=
x
2
x
3
x
n
e=
1
+
x
+++?++?
，則下列說法正確的是（
）
n
!2!3!
x
A
.
a
4
=9
B.
a
n+2
?
(
n+2
)
a
n+1
為等比數列
{}
a
n
(?1)
2
(?1)
3
(?1)
n
C
.
=++?+
(
n≥2
)
n!2!3!n!
D.
信封均被投錯的概率大于
11.
下述正確的是（
）
A.
若
x∈R
，則
x
(
10?x
)
的最大值是
25
1
e
?x
2
+x?4
B.
若
x>0
，則的最大值是
?3
x
C.
若
x∈
?
0,
4
?
π
?
sinx+
，則的最小值是
4
?
sinx
?
2
?
?
?
D.
若
x∈
?
0,
π
?
2
?
?
，則
924
+?
的最小值是
12
sin
2
xcos
2
xcosx
12.
平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是
1675
年卡西尼在研究土星及其衛
星的運行規律時發現的，已知在平面直角坐標系
xOy
中，
M(?2,0)
，
N(2,0)
，動點
P
滿足
|PM|?|PN|=5
，則下列結論正確的是（
）
A.
點
P
的橫坐標的取值范圍是
?
?5,5
?
??
B.
OP
的取值范圍是
[
1,3
]
C.
?PMN
面積的最大值為
5
2
D.
PM+PN
的取值范圍是
?
25,5
?
??
三?填空題：本題共
4
小題，每小題
5
分，共
20
分
.
13.
設等比數列
{
a
n
}
滿足
a
1
+a
3
=10
，
a
2
+a
4
=5
，則
a
1
a
2
…a
n
的最大值為
___________
．
14.
已知
(
x+y
)
的展開式的二項式系數和為
128
，若
(
2x+3
)
=a
0
+a
1
(
x+2
)
+a
2
(
x+2
)
+???+
________
．
a
n
(
x+2
)
，則
a
1
+a
2
=
n
nn2
?
15.
已知平面直角坐標系
xOy
中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量
x=
(
a,b
)
，對應復數
z=a+bi
，
acos
θ
?
向量
x
逆時針旋轉一個角度
θ
，得到復數
z
′
=
(
a+bi
)(
cos
θ
+isin
θ
)
=
??
bsin
θ
+i
(
asin
θ
+bcos
θ
)
，于是對應向量
x
′
=
(
acos
θ
?bsin
θ
,asin
θ
+bcos
θ
)
．這就是向量的旋轉公
式．已知正三角形
ABC
的兩個頂點坐標是
A
(
1,4
)
,B
(
3,2
)
，根據此公式，求得點
C
的坐標是
_______
．（任寫一個即可）
?
′
(
x
1
)
=
16.
定義：如果函數
f(x)
在
[a,b]
上存在
x
1
,x
2
(
a 1 2 ) ，滿足 f ′ ( x 2 ) f= f(a)?f(b) ， a?b 則稱數 x 1 ， x 2 為 [a,b] 上的 “ 對望數 ” ，函數 f(x) 為 [a,b] 上的 “ 對望函數 ” ，給出下列四個命題： （ 1 ）二次函數 f(x)=x 2 +mx+n 在任意區間 [a,b] 上都不可能是 “ 對望函數 ” ； （ 2 ）函數 f(x)= 1 3 x?x 2 +2 是 [0,2] 上的 “ 對望函數 ” ； 3 ? π 11 π ? , 上 的 “ 對望函數 ” ； ? ? 66 ? （ 3 ）函數 f(x)=x+sinx 是 ? （ 4 ） f(x) 為 [a,b] 上的 “ 對望函數 ” ，則 f(x) 在 [a,b] 上不單調； 其中正確命題的序號為 __________( 填上所有正確命題的序號 ) 四?解答題：本題共 6 小題，共 70 分 . 請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明? 證明過程或演算步驟 . 17. 在 ?ABC 中，角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c . 已知 a3,b2,== （ 1 ）求角 A ； （ 2 ）求 cos ( 3B+C ) 的值 . 18. 已知數列 { a n } 的前 n 項和為 S n ， a 1 =1 ，且 na n+1 =2S n ，數列 { b n } 滿足 b 1 = 都有 b n+1 =b n b n+2 ． （ 1 ）求數列 { a n } 、 { b n } 的通項公式； （ 2 ）設 T n = 2 2b?ccosC . = cosAa 1 1 ， b 2 = ， ?n∈N ? ， 4 2 ∑ ab ， ?n∈N ii i=1 n ? ， λ nT n +2b n S n >2 ( λ n+3b n ) 恒成立，求實數 λ 的取值范圍． 
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