2024年3月31日發(fā)(作者：月光啟蒙)
江蘇省連云港市灌南縣、灌云縣2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期
期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．已知直線(xiàn)l過(guò)
A
?
?1,3
?
、
B
?
1,1
?
兩點(diǎn)，則直線(xiàn)l的傾斜角的大小為（
A．
）
?
4
B．
?
3
C．
2
?
3
D．
2．在等比數(shù)列
{
a
n
}
中，
a
3
,a
7
是函數(shù)
則
a
5
＝（
A
．
?2
或
2
）
B
．
?2
1
3
f
(
x
)
?x?
4
x
2
?
4
x?
1
的極值點(diǎn)，
3
C
．
2
D
．
22
）
3
?
4
3．若拋物線(xiàn)
y
2
?8x
上的點(diǎn)
M
到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)
M
到
y
軸的距離是（
A．4B．6C．8
）
D．10
?
(
x
?
1)
2
?
(
y
?
1)
2
?
9
4．方程組
?
2
的解的個(gè)數(shù)是（
2
x
?
y
?
8
x
?
6
y
?
9
?
0
?
A．2B．1C．0D．不確定
）
D．16
5．若
?
a
n
?
為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為
S
n
，S
4
?
2
，S
8
?
6
，則
S
12
?
（
A．10B．12C．14
6
．寧啟鐵路線(xiàn)新開(kāi)行
“
綠巨人
”
動(dòng)力集中復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組，最高時(shí)速為
160km/h
．假設(shè)
“
綠
巨人
”
開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度
v(m/s)
與行駛時(shí)間
t(s)
的關(guān)系為
v?6.6t?0.6t
2
，則出站后
“
綠巨人
”
速度首次達(dá)到
48m/s
時(shí)加速度為（
A
．
12.6m/s
2
B
．
14.6m/s
2
）
C
．
14.8m/s
2
D
．
16.8m/s
2
x
2
y
2
7．已知橢圓方程為
2
?
2
?
1
?
a
?
b
?
0
?
，點(diǎn)
?
0,1
?
在橢圓上，右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直
ab
線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若
AF?BF?4
，則橢圓的方程為（）
x
2
A．
?y
2
?
1
4
x
2
y
2
C．
??
1
32
x
2
B．
?y
2
?
1
2
x
2
y
2
D．
??
1
43
?
2
x
?
4,
x
?
0
8．已知函數(shù)
f
?
x
?
?
?
，關(guān)于
x
的方程
f
?
x
?
?a
恰有兩個(gè)不等實(shí)根
?
ln
x
,
x
?
0
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?
，則
x
1
?x
2
的最小值為（）
試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)
e
A．
?
3
e
2
B．
?
2
C．
?2e
e
3
D．
?
2
二、多選題
9
．定義在
R
上的函數(shù)
y?f(x)
的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）
A
．函數(shù)
y?f(x)
在
(3,5)
上單調(diào)遞減
B
．
f(0)?f(3)
C
．函數(shù)
y?f(x)
在
x
＝
5
處取得極小值
D
．函數(shù)
y?f(x)
存在最小值
10．已知直線(xiàn)
l:
?
m?2
?
x?y?m?1?0
，圓
C:x
2
?y
2
?4x?5?0
，則（
A．圓
C
的圓心為
(2,0)
C
．圓心到直線(xiàn)
l
的最大距離為
2
B．直線(xiàn)
l
過(guò)定點(diǎn)
?
?1,1
?
D
．無(wú)論
m
取何值，直線(xiàn)
l
與圓
C
相交
）
x
2
y
2
11．已知雙曲線(xiàn)
C
:
2
?
2
?
1(
a
?
0,
b
?
0)
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
M(3,2)
，并且它的一條漸近線(xiàn)被圓
ab
(x?2)
2
?y
2
?4
所截得的弦長(zhǎng)為
23
，則下列結(jié)論正確的是（）
A．雙曲線(xiàn)
C
的離心率為
23
3
B．雙曲線(xiàn)
C
的漸近線(xiàn)為
y??3x
C．若雙曲線(xiàn)
C
的頂點(diǎn)為
A,B
，則
k
AM
?k
BM
?
D．直線(xiàn)
x?2y?1?0
與
C
有兩個(gè)公共點(diǎn)
12
．分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)
雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的
方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)
.
下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖
1
，
在長(zhǎng)度為
1
的線(xiàn)段
AB
上取兩個(gè)點(diǎn)
C
、
D
，使得
AC?DB?
1
AB
，以
CD
為邊在線(xiàn)段
AB
4
1
3
的上方做一個(gè)正方形，然后擦掉
CD
，就得到圖形
2
；對(duì)圖形
2
中的最上方的線(xiàn)段
EF
作
?
，同樣的操作，得到圖形
3
；依次類(lèi)推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖
1
，圖
2
，圖
3，
試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)
圖
n
，各圖中的線(xiàn)段長(zhǎng)度和為
a
n
，數(shù)列
?
a
n
?
的前
n
項(xiàng)和為
S
n
，則（）
A．
a
n
?
1
?
a
n
?
B．
S
5
?
89
8
1
2
n
C．
a
n
?
3
恒成立
D．存在正數(shù)
m
，數(shù)列
{3
?a
n
}
的前
n
項(xiàng)和
T
n
?m
恒成立
三、填空題
1
13．曲線(xiàn)
y?lnx?1
的一條切線(xiàn)的斜率為（
e
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），該切線(xiàn)的方程為_(kāi)___．
e
14．諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989
年……人類(lèi)都可以看到這顆彗星，即彗星每隔83年出現(xiàn)一次．從發(fā)現(xiàn)那次算起，彗星
第10次出現(xiàn)的年份是___________．
x
2
y
2
15．設(shè)
k
為實(shí)數(shù)，已知雙曲線(xiàn)
??
1
的離心率
e?(2,3)
，則
k
的取值范圍為
4
k
_____________
四、雙空題
16
．已知扇形
OAB
的半徑為
4
，圓心角為
2
?
(0?2
?
?π)
，作扇形
OAB
的內(nèi)切圓
P
，再
在扇形內(nèi)作一個(gè)與扇形兩個(gè)半徑
OA,OB
相切且與圓
P
外切的小圓
Q
，則小圓
Q
半徑的
最大值為
____________
，此時(shí)圓
P
的面積為
_____________
五、解答題
試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)
17．已知函數(shù)
f(x)?x
3
?ax
2
(1)
若
f
?
(1)?3
，求函數(shù)
f(x)
在區(qū)間
[0,2]
上的最大值；
(2)
若函數(shù)
f(x)
在區(qū)間
[1,2]
上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)
a
的取值范圍．
*
18．在數(shù)列
{
a
n
}
中，
a
1
?2
，
a
n
?
1
?
2
a
n
?
2(
n
?
N
)
(1)證明：數(shù)列
{
a
n
?
2}
是等比數(shù)列；
(2)若
b
n
?
log
2
(
a
n
?
2)
，
c
n
?
bb
，求數(shù)列
{
c
n
}
的前n項(xiàng)和Sn．
nn
?
1
19．已知圓
O:x
2
?y
2
?1
，拋物線(xiàn)
C:y
2
?2px
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
F(2,0)
(1)過(guò)圓
O
外一點(diǎn)
P
作直線(xiàn)
PQ
與圓
O
相切于點(diǎn)
Q
，且
PQ?2PF
，求點(diǎn)
P
的軌跡方程；
(2)
過(guò)點(diǎn)
F
與圓
O
相切的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)
C
于
A,B
兩點(diǎn)，求
|AB|
．
20．已知數(shù)列
?
a
n
?
的前n項(xiàng)和
S
n
?n
2
?n
，遞增等比數(shù)列
?
b
n
?
滿(mǎn)足
b
2
?a
1
，且
1
2
?
b
n
?
2
?
b
n
?
?
5
b
n
?
1
.
(1)求數(shù)列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列
?
a
n
?b
n
?
的前n項(xiàng)和為
T
n
.
x
2
x
2
y
2
21．已知橢圓
C
:
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
與雙曲線(xiàn)
?y
2
?
1
有相同的焦點(diǎn)，橢圓
C
上任一
2
ab
點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，直線(xiàn)
l
:
y?
(1)
求橢圓
C
的方程；
(2)橢圓
C
上是否存在定點(diǎn)
M(x
0
,y
0
)
，使得直線(xiàn)
MA
的傾斜角與直線(xiàn)
MB
的傾斜角互補(bǔ)，
若存在，求出
M
點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22
．已知函數(shù)
f(x)?alnx
．
(1)記函數(shù)
g(x)?x
(2)設(shè)
h(x)?f(x)?x
自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
2
3
x?m
與橢圓
C
相交于
A,B
兩點(diǎn)．
2
?(a?2)x?f(x)
，當(dāng)
a?2
時(shí)，討論函數(shù)
g(x)
的單調(diào)性；
2
22
，若
h(x)
存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)
x
1
,x
2
，證明：
2e?a?x
1
?x
2
（
e
為
試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式即可得到答案.
【詳解】
tan
?
?
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)題意可知：
a
3
,a
7
是方程
f
?
(x)?0
的兩根，利用韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)即
可求解
.
3
?
13
?
??
1
?
?
?
?
1
?
14
1
3
【詳解】因?yàn)?/p>
f
(
x
)
?x?
4
x
2
?
4
x?
1
，所以
f
?
(x)?x?8x?4
.
3
1
3
又因?yàn)?/p>
a,a
是函數(shù)
f
(
x
)
?x?
4
x
2
?
4
x?
1
的極值點(diǎn)，
3
2
37
即
a
3
,a
7
是方程
f
?
(x)?x
2
?8x?4?0
的兩根，則有
a
3
a
7
?4
，
2
由
{
a
n
}
為等比數(shù)列可知：
a
5
?a
3
a
7
?4
，因?yàn)?/p>
a
3
?a
7
?8?0
，且
a
3
a
7
?4
，所以
a
3
?0,a
7
?0
，
則有
a
5
?0
，所以
a
5
?2
，
故選：
C
.
3．B
【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用拋物線(xiàn)定義列出方程，求出點(diǎn)
M
到
y
軸的距離
.
【詳解】
y
2
?8x
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
?
2,0
?
，準(zhǔn)線(xiàn)方程為
x??2
，
由拋物線(xiàn)定義可知：點(diǎn)
M
到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，
即
x
M
?
2
?
8
，解得：
x
M
?
6
，
即點(diǎn)
M
到
y
軸的距離是
6.
故選：B
4．A
【分析】記
C
1
:(x?1)
2
?(y?1)
2
?9,C
2
:
?
x?4
?
?
?
y?3
?
?16
，得
r
1
?r
2
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
即可
解決
.
22
答案第
1
頁(yè)，共
13
頁(yè)
22
?
?
(
x
?
1)
?
(
y
?
1)
?
9
【詳解】由題得，
?
，
22
x
?
4
?
y
?
3
?
16
????
?
?
記
C
1
:(x?1)
2
?(y?1)
2
?9,C
2
:
?
x?4
?
?
?
y?3
?
?16
，
所以
C
1
(1,1),r
1
?3,C
2
(4,?3),r
2
?4
，
所以
C
1
C
2
?9?16?5,r
1
?r
2
?1,r
1
?r
2
?7
，
因?yàn)?/p>
r
1
?r
2
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
，
所以
C
1
與
C
2
相交，兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
22
?
(
x
?
1)
2
?
(
y
?
1)
2
?
9
所以方程組
?
2
的解的個(gè)數(shù)是2，
2
x
?
y
?
8
x
?
6
y
?
9
?
0
?
故選：A
5．B
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得
S
4
，S
8
?S
4
，S
12
?S
8
成等差數(shù)列，即可求得答案
【詳解】因?yàn)?/p>
S
4
，S
8
?S
4
，S
12
?S
8
成等差數(shù)列，
故
2
?
S
8
?S
4
?
?S
4
?S
12
?S
8
，即
2?4?2?S
12
?6
，得
S
12
?12
.
故選：B
6．A
【分析】通過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的瞬時(shí)變化率進(jìn)行求解．
【詳解】因?yàn)?/p>
v?6.6t?0.6t
2
，所以
v
?
?6.6?1.2t
，
當(dāng)
v?48
時(shí)，得
48?6.6t?0.6t
2
，即
t
2
+11t?80?0
，
解得
t=5
或
t??16
（舍去
)
，
故當(dāng)
t=5
時(shí)，
v
?
?6.6?1.2?5=12.6
，
即速度首次達(dá)到
48m/s
時(shí)加速度為
12.6m/s
2
，
故選：A．
7．A
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得
a,b
，則橢圓方程可求
.
【詳解】由點(diǎn)
?
0,1
?
在橢圓上得
b?1
，
答案第
2
頁(yè)，共
13
頁(yè)
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得
AF?BF?2a?4
，則
a?2
，
x
2
故橢圓方程為
?y
2
?
1
.
4
故選：A.
8．D
【分析】數(shù)形結(jié)合得
2x
1
?4?lnx
2
，即
x
1
?
g
(
x
)
?
ln
x
2
?
4
x
ln
x
2
?
2
x
2
，轉(zhuǎn)化為函數(shù)
，
x
1
?x
2
?
2
22
x
ln
x
?
2
x
，求
g(x)
的最小值即可得到答案.
2
【詳解】函數(shù)
f(x)
的圖象如圖所示，
已知關(guān)于
x
的方程
f
?
x
?
?a
恰有兩個(gè)不等實(shí)根
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?
，則
2x
1
?4?lnx
2
，則
x
1
?
ln
x
2
?
4
2
ln
x
2
?
4
x
ln
x
2
?
x
2
?
2
?
2
x
2
22
x
ln
x
?
2
x
2
x
1
?
x
2
?
設(shè)函數(shù)
g
(
x
)
?
'
則
g
(
x
)
?
ln
x
?
3
，
2
x?
?
0,e
3
?
,g
'
(x)?0,g(x)
單調(diào)遞減
x?
?
e
3
,??
?
,g
'
(x)?0,g(x)
單調(diào)遞增
3e
3
e
3
3
則
g(x)
的最小值為
g
(e)
??
2e
??
.
22
3
故選：D.
9．ACD
【分析】借助導(dǎo)數(shù)圖像的正負(fù)性即可分析原函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】
f
?
(x)?0
在
(3,5)
恒成立，則
f(x)
在
(3,5)
上單調(diào)遞減，故
A
正確；
答案第
3
頁(yè)，共
13
頁(yè)
f
?
(x)?0
在
?
?1,3
?
恒成立，則
f(x)
在
?
?1,3
?
上單調(diào)遞增，
則
f(0)?f(3)
，故
B
錯(cuò)誤；
(3,5)
上
f
?
(x)?0
，
(5,??)
上
f
?
(x)?0
,
則函數(shù)
y?f(x)
在
x
＝
5
處取得極小值，故
C
正確
;
由導(dǎo)數(shù)圖可知
f(x)
在
(??,?1)
上遞減，
f(x)
在
(?1,3)
上遞增，
f(x)
在
(3,5)
上遞減，
f(x)
在
(5,??)
上遞增，
故
f(x)
min
在兩個(gè)極小值
f(5)
和
f(?1)
中產(chǎn)生，故存在最小值，故
D
正確
;
故選：ACD.
10．BCD
【分析】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為一般方程可判斷A,求出直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)可判斷B,C,D.
【詳解】由題可得
C:
?
x?2
?
?y
2
?9
，所以圓
C
的圓心為
(?2,0)
，故A錯(cuò)誤；
由
?
m?2
?
x?y?m?1?0
的
2x?y?1?m
?
x?1
?
?0
，
2
?
2
x
?
y
?
1
?
0
聯(lián)立
?
解得
x??1,y?1
，所以直線(xiàn)
l
過(guò)定點(diǎn)
?
?1,1
?
，故B正確；
x
?
1
?
0
?
直線(xiàn)
l
過(guò)定點(diǎn)為
P
?
?1,1
?
，當(dāng)
CP?l
時(shí)，
圓心到直線(xiàn)
l
的距離最大為
CP?1?1?2
，故
C
正確；
因?yàn)?/p>
CP?1?1?2?3
，所以直線(xiàn)
l
過(guò)定點(diǎn)
?
?1,1
?
在圓內(nèi)，
所以無(wú)論
m
取何值，直線(xiàn)
l
與圓
C
相交，故
D
正確；
故選:BCD.
11．AC
?
x
?
2
y
?
1
?
0
?
x
2
【分析】根據(jù)題意解得雙曲線(xiàn)方程為
C
:
?y
2
?
1
，即可判斷ABC，聯(lián)立方程
?
x
2
，
2
3
?
y
?
1
?
?
3
消去
x
得
y
2
?22y?2?0
，由
Δ?0
即可判斷D.
x
2
y
2
【詳解】由題知，雙曲線(xiàn)
C
:
2
?
2
?
1(
a
?
0,
b
?
0)
，焦點(diǎn)在
x
軸上，
ab
所以漸近線(xiàn)方程為
y
??
b
x
，即
bx?ay?0
，
a
因?yàn)閳A
(x?2)
2
?y
2
?4
，
答案第
4
頁(yè)，共
13
頁(yè)
所以圓心為
?
2,0
?
，半徑為
r?2
，
x
2
y
2
因?yàn)殡p曲線(xiàn)
C
:
2
?
2
?
1(
a
?
0,
b
?
0)
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
M(3,2)
，
ab
并且它的一條漸近線(xiàn)記為
bx?ay?0
被圓
(x?2)
2
?y
2
?4
所截得的弦長(zhǎng)為
23
，
所以圓心到
bx?ay?0
的距離為
d
?
所以
23?24?d
2
，解得
d
?
所以
a?c
2
?b
2
?
所以
2b
b
2
?
a
2
?
2b
，
c
2
b
?
1
，即
c?2b
，
c
4b
2
?b
2
?3b
，
92
??
1
，解得
b?1
，
3
b
2
b
2
x
2
所以
a?3,c?2
，即雙曲線(xiàn)方程為
C
:
?y
2
?
1
，
3
所以雙曲線(xiàn)
C
的離心率為
故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)殡p曲線(xiàn)
C
的頂點(diǎn)為
A(?3,0),B(3,0)
，
b
3
c
23
，雙曲線(xiàn)
C
的漸近線(xiàn)為
y
??
x
??
?
x
，
a
3
a
3
所以
k
AM
?
k
BM
?
2
3
?
33
?
3
?
2
?
21
?
，故C正確；
9
?
33
?
x
?
2
y
?
1
?
0
?
x
得
y
2
?22y?2?0
，
聯(lián)立方程
?
x
2
，消去
2
?
?
y
?
1
?
3
因?yàn)?/p>
??22?4?1?2?0
，
所以直線(xiàn)
x?2y?1?0
與
C
有1個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
12．BCD
【分析】根據(jù)題意分析可得
a
n
?
1
?
a
n
?
1
1
a
?
3
?
n
?
2
，即可判斷A、C，
n
?
1
，利用累加法可得
n
2
2
??
2
在利用分組求和求數(shù)列
?
a
n
?
的前
n
項(xiàng)和為
S
n
，即可判斷B，再利用等比數(shù)列求和求數(shù)列
{3
?a
n
}
的前
n
項(xiàng)和
T
n
，即可判斷D.
【詳解】由題意可得：圖
n?1
最上方的線(xiàn)段長(zhǎng)度是圖
n
最上方的線(xiàn)段長(zhǎng)度的
2
，則圖
n
最上
1
答案第
5
頁(yè)，共
13
頁(yè)
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