一次函數和正比例函數常識點總結[整理版]

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一次函數知識點總結:

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一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應

用性強。甚至有存在探究題目出現。主要考察內容：①會畫一次函數的圖像，并掌握其性質。②會根據已知條件，利

用待定系數法確定一次函數的解析式。③能用一次函數解決實際問題。④考察一ic函數與二元一次方程組，一元一次

不等式的關系。突破方法：①正確理解掌握一次函數的概念，圖像和性質。②運用數學結合的思想解與一次函數圖像

有關的問題。③掌握用待定系數法球一次函數解析式。④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。

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函數性質：

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增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

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1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k. 即：y=kx+b（k，b為常數，k≠0）， ∵當x

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2.當x=0時，b為函數在y軸上的點,坐標為(0，b)。

4.在兩個一次函數表達式中：

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3當b=0時(即 y=kx)，一次函數圖像變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。

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當兩一次函數表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數圖像重合；

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當兩一次函數表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數圖像平行；

b相同時，兩一次函數圖像交于y軸上的同一點（0，b）。

圖像性質

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當兩一次函數表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數圖像相交； 當兩一次函數表達式中的k不相同，

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若兩個變量x,y間的關系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數，k不等于0）則稱y是x的一次函數

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1．作法與圖形：通過如下3個步驟：

（1）列表.

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b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。

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（2）描點；[一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。 一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，

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正比例函數y=kx(k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取（0,0）和（1，k）兩點。

常找函數圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）.

2．性質：

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（3）連線，可以作出一次函數的圖象——一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，并連成直線即可。（通

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（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。

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3．函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。

4．k，b與函數圖像所在象限：

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y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：

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當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k<0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

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y=kx+b時：

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當 k>0,b>0, 這時此函數的圖象經過第一、二、三象限；

當 k>0,b<0, 這時此函數的圖象經過第一、三、四象限；

當 k<0,b>0, 這時此函數的圖象經過第一、二、四象限；

當 k<0,b<0, 這時此函數的圖象經過第二、三、四象限；

當b>0時，直線必通過第一、二象限；

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當b<0時，直線必通過第三、四象限。

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特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。

當k<0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。

4、特殊位置關系：

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當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值（即一次項系數）相等

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③點斜式 y-y1=k(x-x1)（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）

⑤截距式 （、b分別為直線在x、y軸上的截距）

⑥實用型 （由實際問題來做）

公式

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當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1） ）

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④兩點式 (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直線上（x1,y1）與（x2,y3）兩點）

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1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

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4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）

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5.求兩個一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式

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兩式任一式 得到y=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標

兩個一次函數 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2

6.求任意2點所連線段的中點坐標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

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7.求任意2點的連線的一次函數解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0) x y +，

+（正，正）在第一象限 - ，+ （負，正）在第二象限 - ，- （負，負）在第三象限 + ，- （正，負）

在第四象限

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8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

10. y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位

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復習要點：一次函數的圖象和性質

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正比例函數的圖象和性質

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考點講析

1．一次函數的意義及其圖象和性質

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⑴．一次函數：若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx＋b(k、b為常數，k ≠0）的形式，則稱y是x的一

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次函數(x是自變量,y是因變量〕特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數．

⑵．一次函數的圖象：一次函數y=kx+b的圖象是經過點(0，b),(－，0 ）的一條直線，正比例函數y=kx的圖象是

經過原點(0，0）的一條直線，如下表所示．

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⑶．一次函數的性質：y=kx＋b(k、b為常數，k ≠0）當k ＞0時，y的值隨x的值增大而增大；當k＜0時，y的值隨

x值的增大而減小．

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⑷．直線y=kx＋b(k、b為常數，k ≠0）時在坐標平面內的位置與k在的關系．

①直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）；

②直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）；

③直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限）；

④直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限）

；

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2．一次函數表達式的求法

⑴．待定系數法：先設出式子中的未知系數，再根據條件列議程或議程組求出未知系數，從而寫出這個式子的方

法，叫做待定系數法，其中的未知系數也稱為待定系數。

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⑵．用待定系數法求出函數表殼式的一般步驟：⑴寫出函數表達式的一般形式；⑵把已知條件(自變量與函數的對

應值)公共秩序 函數表達式中，得到關于待定系數的議程或議程組；⑶解方程(組)求出待定系數的值，從而寫出函數的

表達式。

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⑶．一次函數表達式的求法：確定一次函數表達式常用 待定系數法，其中確定正比例函數表達式，只需一對x與y的

值，確定一次函數表達式，需要兩對x與y的值。

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反比例函數：

(1)反比例函數

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如果

y?

k

(k是常數，k≠0)，那么y叫做x的反比例函數．

x

0

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(2)反比例函數的圖象

反比例函數的圖象是雙曲線．

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(3)反比例函數的性質

①當k＞0時，圖象的兩個分支分別在第一、三象限內，在各自的象限內，y隨x的增大而減小．

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②當k＜0時，圖象的兩個分支分別在第二、四象限內，在各自的象限內，y隨x的增大而增大．

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③反比例函數圖象關于直線y＝±x對稱，關于原點對稱．

(4)k的兩種求法

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①若點(x，y．

0000

)在雙曲線上，則k＝xy

y?

②k的幾何意義：

若雙曲線

y?

k

x

0

k

11

上任一點(x，y)，B⊥x軸于B，則S

△

OB

?OB?AB?|x|?|y|

x

22

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1

|k|.?

2

(5)正比例函數和反比例函數的交點問題

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2

(k??0)

2

若正比例函數y＝k≠0)，反比例函數

11

x(k，則

y

x

?

k

當k＜0時，兩函數圖象無交點；

12

k

0

當k＞0時，兩函數圖象有兩個交點，坐標分別為由此可知，正反比例函數的

12

k

(,),(?,?).

圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱．

kk

22

kkkk

1212

kk

11

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(6)對于雙曲線上的點、B，有兩種三角形的面積(S)要會求(會表示)，如圖7－1所示．

△

OB

考點一、平面直角坐標系 （3分）

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1、平面直角坐標系

在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。

其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O

（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、

第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標的概念

點的坐標用（，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面

內點的坐標是有序實數對，當時，（，b）和（b，）是兩個不同點的坐標。

a?b

0

0

0

0

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考點二、不同位置的點的坐標的特征 （3分）

1、各象限內點的坐標的特征

點P(x,y)在第一象限

?x?0,y?0

點P(x,y)在第二象限

?x?0,y?0

點P(x,y)在第三象限

?x?0,y?0

0

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點P(x,y)在第四象限

點P(x,y)在x軸上，x為任意實數

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）

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0

?x?0,y?0

2、坐標軸上的點的特征

?y?0

0

0

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點P(x,y)在y軸上，y為任意實數

?x?0

?

3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等

?

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數

?

4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

5、關于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征

點P與點p’關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數

?

點P與點p’關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數

?

點P與點p’關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數

?

6、點到坐標軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

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0

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（1）點P(x,y)到x軸的距離等于

y

（2）點P(x,y)到y軸的距離等于

x

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（3）點P(x,y)到原點的距離等于

22

x?y

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考點三、函數及其相關概念 （3~8分）

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1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說x是

自變量，y是x的函數。

2、函數解析式

用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。

使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數的三種表示法及其優缺點

（1）解析法

兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖像法

用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。

4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

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考點四、正比例函數和一次函數 （3~10分）

1、正比例函數和一次函數的概念

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一般地，如果（k，b是常數，k0），那么y叫做x的一次函數。

y?kx?b

?

特別地，當一次函數。這時，y叫做x的正比例函數。中的b為0時，（k為常數，k0）

y?kx?by?kx

?

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2、一次函數的圖像

所有一次函數的圖像都是一條直線

3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：

一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。

y?kx?by?kx

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k的符號 b的符號 函數圖像 圖像特征

b>0 0 x

k>0

b<0 0 x

b>0 圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小

K<0

b<0 圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

y

圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。

y

圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。

y

0 x

y

0 x

注：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。

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4、正比例函數的性質

一般地，正比例函數有下列性質：

y?kx

（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數的性質

一般地，一次函數有下列性質：

y?kx?b

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0

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（1）當k>0時，y隨x的增大而增大

（2）當k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數和一次函數解析式的確定

確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次

y?kx

?

0

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函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。

y?kx?b

?

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考點五、反比例函數 （3~10分）

1、反比例函數的概念

一般地，函數的形式。自變量x

y?

0

0

k

?1

（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成

?

y?kx

x

0

0

的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。

?

2、反比例函數的圖像

反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對

稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限

??

接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

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3、反比例函數的性質

反比例函

數

k的符號 k>0 k<0

0

y?(k?0)

y y

O

x

k

x

O

x

圖像

性質 ②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別 ②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別

①x的取值范圍是x0， ①x的取值范圍是x0，

??

y的取值范圍是y0； y的取值范圍是y0；

??

在第一、三象限。在每個象限內，y 在第二、四象限。在每個象限內，y

隨x 的增大而減小。 隨x 的增大而增大。

4、反比例函數解析式的確定

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確定及誒是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數

y?

上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數中反比例系數的幾何意義

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k

中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像

x

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如下圖，過反比例函數

y

?(k?0)

S=PMPN=。

?

y?x?xy

k

圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積

x

0

。

?y?,?xy?k,S?k

k

x

0

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