三角形邊的三等分線分割面積問(wèn)題證明探究

2023年12月10日發(fā)(作者：紅燒鴨腿)

三角形邊的三等分線分割面積問(wèn)題證明探究

在幾何學(xué)里，三角形是一個(gè)有趣的主題。它象征著鼓勵(lì)我們?nèi)ヌ剿骱吞魬?zhàn)自己，也可以喚起讀者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的好奇心和興趣。那么，如何在三角形中尋找三條等分線，用它們以半分的形式將三角形的面積分割？今天，我們就來(lái)探究一下如何證明這一特定問(wèn)題。

一、 問(wèn)題背景

1.三角形面積分割問(wèn)題

1.三角形面積分割問(wèn)題：

給定一個(gè)三角形ABC，假設(shè)將它的邊AB的一個(gè)點(diǎn)D等分成兩等分（即DB：BD=1：1），將CD以D分割成兩等分（即DC：CD=1：1），求三角形ABC面積的分割比例。

此問(wèn)題一般稱為三角形面積分割問(wèn)題，可以通過(guò)以下步驟來(lái)求解：

（1） 連結(jié)CD，于AB上作AE，與CD平行，得到三角形ADE。

（2） 將三角形ADE分割成兩個(gè)子三角形ABC，ADC，設(shè)這兩個(gè)三角形的面積分別為S1，S2。

（3） 由三角形三條邊的分割比計(jì)算出兩個(gè)三角形的面積比為r：r＝（AD：AE）＊（DC：CD）＝2：3

（4） 可知S1：S2＝r：（1－r）＝2：1，也就是說(shuō)三角形ABC的面積比為2：1。

2.三角形邊的三等分線

三角形邊的三等分線是指，在三角形中，從某邊的一點(diǎn)引出一條直線，將該邊分割成三等份，其中每?jī)蓚€(gè)等份之間的點(diǎn)稱為三角形邊的三等分點(diǎn)。 由此可見，它是一條連接三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的虛線。因此，三角形中的三等分線可以將三角形分成四個(gè)小三角形，小三角形的各邊與原大三角形的邊成比例。

另外，三角形的三等分線經(jīng)常被用來(lái)構(gòu)建一系列的三角形，如等腰三角形、直角三角形等。比如，用三角形的三等分線將一個(gè)正三角形分成三個(gè)等腰三角形；將一個(gè)等腰三角形分割成一個(gè)鈍角三角形和兩個(gè)直角三角形等。

二、最優(yōu)解決方案

1.三角形邊的三等分線能給面積分割帶來(lái)最優(yōu)解決方案

三角形邊的三等分線可以把整個(gè)三角形分割成三個(gè)小三角形，而每一個(gè)小三角形的面積比原來(lái)的大三角形的面積都小。這樣，在分割三角形的面積時(shí)，利用三等分線分割可以得到更優(yōu)的解決方案。

以普通三角形AB，AC，BC為例，假設(shè)其面積為S，其中AB的中點(diǎn)為D，AC的中點(diǎn)為E，BC的中點(diǎn)為F，則三等分線DF，AE，BF可以把三角形分割成三個(gè)小三角形ADF，AEF，BDF，它們的面積分別為S1，S2，S3，且有S = S1 + S2 + S3，即原三角形面積等于三個(gè)小三角形面積之和，這樣，S1，S2，S3的和比S小，因此三等分線可以給三角形的面積分割提供最優(yōu)解決方案。