翻譯——拋物問(wèn)題混合有限元逼近的后驗(yàn)誤差估計(jì)

2023年12月28日發(fā)(作者：關(guān)于元宵節(jié)的古詩(shī))

拋物問(wèn)題混合有限元逼近的后驗(yàn)誤差估計(jì)

摘要

對(duì)于拋物問(wèn)題的混合形式，我們?cè)诳臻g上利用Raviart-Thomas-Nedelec元，在時(shí)間上采用向后歐拉法，得到了一個(gè)基于后驗(yàn)誤差估計(jì)的殘差量。這個(gè)誤差范數(shù)是通過(guò)通量的能量范數(shù)在整個(gè)時(shí)間上的積分所定義的。為了得到一個(gè)最優(yōu)上界，我們利用了逐單元后處理方法。對(duì)于橢圓問(wèn)題來(lái)說(shuō)這是一個(gè)很常用的技巧。最后的誤差上界包含了空間離散化誤差和時(shí)間離散化誤差等幾項(xiàng)。

1.引言

具有通量高精度的守恒方法通常利用的就是RTN元來(lái)減少計(jì)算量。在多孔介質(zhì)流中，即一個(gè)典型的拋物壓力方程再加上一個(gè)波動(dòng)方程，用到的就是這個(gè)方法。這個(gè)通量來(lái)自于壓力方程，然后在波動(dòng)方程中變成了一個(gè)對(duì)流場(chǎng)。因此通量的誤差需要在全局范數(shù)上來(lái)控制。

準(zhǔn)備工作 對(duì)于橢圓問(wèn)題的混合方法，其后驗(yàn)誤差估計(jì)已經(jīng)得到了[4,6,7]。在文獻(xiàn)[6]中，得到了一個(gè)關(guān)于通量的H?div,??范數(shù)。這個(gè)H?div,??范數(shù)可以通過(guò)分部積分直接計(jì)算得到。當(dāng)要估計(jì)通量的L2范數(shù)時(shí)，通量σ所在的空間要比位移量u所用的空間要大，例如RTN元空間，這是總所周知的困難所在。這個(gè)原因就是如果通量空間比位移量的空間要大，那么通過(guò)通量和位移量的梯度相關(guān)的方程a?1σ??u?0而產(chǎn)生的自然殘差量會(huì)變大。

在文獻(xiàn)[15]中，Lovadina和Stenberg得到了一個(gè)關(guān)于通量的L2范數(shù)的后驗(yàn)誤差估計(jì)，這是基于RTN元的方法，其中利用了一個(gè)典型的對(duì)于u的近似解的后處理。這個(gè)證明基于一個(gè)用到后處理近似了的等效法的后驗(yàn)誤差估計(jì)。在最近的文獻(xiàn)[13]中，得到了關(guān)于一簇元的后驗(yàn)誤差估計(jì)。這里的估計(jì)和[15]中Lovadina和Stenberg得到的估計(jì)很接近，

但是這個(gè)證明更一般化，且表明了一個(gè)事實(shí)，即在殘量計(jì)算的時(shí)候可以利用任何分片多項(xiàng)式來(lái)對(duì)于位移量逼近。

關(guān)于拋物問(wèn)題混合有限元法的文獻(xiàn)并不是太多。有關(guān)參考文獻(xiàn)包括了書(shū)[21]和隨后的工作[9]，其中得到了關(guān)于熱傳導(dǎo)方程的先驗(yàn)誤差估計(jì)。在最近的文獻(xiàn)[8]中，得到了一個(gè)通量的散度在弱形式下的后驗(yàn)誤差估計(jì)。這個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)的技巧揭示了一個(gè)固定問(wèn)題如在文獻(xiàn)[13,15]中我們沒(méi)有把知識(shí)拓展到拋物問(wèn)題上來(lái)。另外一方面，對(duì)于熱傳導(dǎo)的標(biāo)準(zhǔn)形式的后驗(yàn)誤差估計(jì)，有廣泛的文獻(xiàn)如[10,22]。隨后橢圓重構(gòu)的方法的被運(yùn)用到來(lái)得到拋物問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)上，見(jiàn)文獻(xiàn)[2,11,12,16]。在這一類(lèi)工作中，對(duì)于拋物問(wèn)題來(lái)說(shuō)，與相應(yīng)的橢圓問(wèn)題的有關(guān)的一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)可以運(yùn)用到誤差導(dǎo)數(shù)的估計(jì)上來(lái)。這里我們也運(yùn)用了這個(gè)技巧。

新的貢獻(xiàn) 對(duì)于拋物問(wèn)題我們?cè)诳臻g上利用RTN元，在時(shí)間上采用向后歐拉法，得到了一個(gè)關(guān)于通量在能量范數(shù)下的后驗(yàn)誤差估計(jì)。在拋物方程誤差界的推導(dǎo)中，我們將橢圓重構(gòu)的思想運(yùn)用到了混合形式上，且利用了一個(gè)后驗(yàn)誤差界，對(duì)于相對(duì)應(yīng)的橢圓問(wèn)題，這是眾所周知的最優(yōu)階。

本文架構(gòu) 我們通過(guò)一個(gè)模型問(wèn)題開(kāi)始，在第二部分中介紹有限元法。在第三部分中我們給出了一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)。

2.連續(xù)問(wèn)題和有限元法

2.1 連續(xù)問(wèn)題

我們考慮具有齊次Neumann邊界條件的熱傳導(dǎo)方程的混合形式：求u和σ滿足

?. ????fin?,?u??a?1???u?0in?,

?in?,?u?u0

?n???0 on?,?t?0t?

0 (2.1)

t?0t?0?d?1,2,3，這里??Rd，是具有邊界?的多項(xiàng)式空間；f?x,t??L2???，滿足?f?x,t?dx?0；

W?x??。滿足?u0dx?0；滿足0?a0?a?x?，a?W1,????，u0?H1???，a0?R?，?1,????是由函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)幾乎處處有界的函數(shù)構(gòu)成的空間。此外，我們按如下規(guī)則令?為一個(gè)衡量問(wèn)題正則性的參數(shù)。令1/2???1，則相應(yīng)的橢圓問(wèn)題為，求v且?vdx?0, 使得下?式成立

????a?v??

??n??v?0?x??x?? (2.2)

其中??L2???，且滿足??dx?0。這個(gè)問(wèn)題有解v?H1?????，這里Hs???是具有光滑度s的Sobolev空間，見(jiàn)文獻(xiàn)[1]，且有

vH1??????C?L2??? (2.3)

這意味著，特別的，如果?是凸集，則在給定的關(guān)于a和f的假定下我們有??1。

在這些假定下，對(duì)于方程（2.1）存在一個(gè)唯一的弱形式滿足?udx?0，使得?σ?L2?[0,T],H0?div,???，這里21.?

，且H0?d,i??v??v?H?d,i??v:n?v?0o?nu?L?[0,T],H????，u?L??[0,T],H?1????，這些空間的具體定義見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

2.2 連續(xù)問(wèn)題的弱形式

為了得到方程（2.1）的弱形式我們將（2.1）的第一個(gè)方程兩端都乘以檢驗(yàn)函數(shù)w?L2???，第二個(gè)方程兩端都乘以檢驗(yàn)函數(shù)v?H0?div,??，并積分，利用分部積分得到可以拋物方程的變分方程：即求

?u,???L2????H0?div,??

滿足如下方程：

???u?2???t,w??????,w???f,w? ?w?L??? ,t?0?????1?v?H?div,??,t?0 (2.4)

??a?,v??

?u,??v??0

?x???u?x,0??u0??其中??,??指的是L2???空間的內(nèi)積。

2.3 離散空間和逼近性質(zhì)

我們將時(shí)間區(qū)間?0,T?離散0?t0?t1???tN?T，對(duì)應(yīng)的時(shí)間步長(zhǎng)?n?tn?tn?1，n?1,?N。對(duì)于每一時(shí)間層，對(duì)空間?進(jìn)行離散。我們令?h??K?是?的剖分，K是剖分單元，hK?diam?K?是單元的長(zhǎng)度，dK是單元K的內(nèi)含球的最大直徑。假設(shè)剖分單元是規(guī)則的，即存在常數(shù)C使得?K，hK/dK?C。為了計(jì)算簡(jiǎn)單，我們假設(shè)所有時(shí)間層的區(qū)域剖分是相同的。在注釋3.3中討論了怎么將網(wǎng)格拓展到變網(wǎng)格上去。

定義離散的Raviart-Thomas-Nedelec有限元空間和差值函數(shù)。對(duì)于任意的k?0，K??h，有限元空間RTk?K?定義為

~d??k?K???k?K??x?k?K? (2.5)

~其中?k?K?是K上的k階多項(xiàng)式，Pk?K?是K上的k階齊次多項(xiàng)式。??k?K?上的差值函數(shù)定義如下，見(jiàn)文獻(xiàn)[3]第10頁(yè)的引理3.2：存在唯一的?Kv???k?K??v?H??T?，d使得下式成立

?如果k?1，還成立

Fi?Kv?nipkds??v?nipkds

?pk??k?Fi? (2.6)

Fi??TKv?pk-1dx??v?pk-1dx

?pk-1??k-1?T?d (2.7)

T其中Fi是單元K的邊界曲面，1/2???1，ni是曲面的外法向量。由插值函數(shù)的定義可以得到插值的最優(yōu)誤差估計(jì)式?12?：?v?H??K?，有

dv-?KvL2?K???ChKvH??K?

(2.8)

其中C?0是常數(shù)。

我們還定義了L2?K?到Pk?K?的L2?K?投影。對(duì)于?p?Hm?T?

p-PKpL(K)2m?ChKpHm(K)

(2.9)

其中C?0是常數(shù)，0?m?k?1。

我們也定義了一個(gè)相對(duì)應(yīng)的全局空間和一個(gè)全局插值。我們令

??k??v?H?di,v??:v|K???k?K?,K??h? (2.10)

和投影?:H?div,????K??hH??K????k，通過(guò)??v?|K??Kv,K??h所定義。對(duì)于標(biāo)d量我們定義

?k?p?L2???:p|K??k?K?,K?? (2.11)

和投影P:L2?????k，通過(guò)?Pu?|K?PKu,K??h所定義。最后我們給出一個(gè)很有用的等式

???v?P??v (2.12)

對(duì)于所有的v?H?div,??，見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。對(duì)于這些空間更完善的解釋?zhuān)╥nf-sup條件，我們指的是文獻(xiàn)[5]中Brezzi-Fortin提到的。但是，我們的后驗(yàn)誤差分析并沒(méi)有顯示的用到inf-sup條件。

2.4 有限元方法

我們構(gòu)造了一個(gè)在時(shí)間上用向后歐拉法和在空間上用混合元法的格式。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們令vn是定義在時(shí)間tn上的一個(gè)函數(shù)且?tvn是時(shí)間上向后歐拉差分算子

?tv?n??vn-vn-1?n，

n?1,?,N

(2.13)

nn用這些記號(hào)我們有如下的數(shù)值格式：求uh??k和?h?RTk，對(duì)于任意的n?1,?,N，滿足

??u,w??????,w???fnth?1nhn,w? ?w?Pk

(2.14)

?a和初始條件

n?tσh,v????hn,??v??fn,??v? ?v?RTk

(2.15)

??0??u,w???u,w?　　　　　　?w??

(2.16)0hk?a?1?0,v????u0,v?=0 ?v?RTk (2.17)

hnn?，我們利用線性差值將其拓展到,uh通過(guò)離散格式可以求得在tn時(shí)刻的近似解?σh

?tn?1,tn?中的任意時(shí)間上

uh?t?tn?1?nnuh?tn?t?nn?1，?h?uht?tn?1?nn?h?tn?t?nn?1 (2.18)

?h?t??tn?1,tn?，n?0,1,?N。

3.后驗(yàn)誤差估計(jì)

基于橢圓重構(gòu)我們得到了對(duì)于誤差?a0T?1/2????h?L???的時(shí)空能量范數(shù)。這里引入一個(gè)22中間函數(shù)w，這個(gè)總誤差???h被分為兩部分???h????w???w??h?，這個(gè)w選取為橢圓重構(gòu)在時(shí)間上的離散解。橢圓重構(gòu)w按照很接近?h的w的Galerkin投影來(lái)構(gòu)造。誤差的第二部分w??h可以利用橢圓問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)來(lái)估計(jì)。近些年已經(jīng)得出了這些估計(jì)，見(jiàn)文獻(xiàn)[13,15,20]。為了估計(jì)誤差的第一部分??w，我們注意到它滿足一個(gè)具有右端項(xiàng)的拋物方程，則可以再一次的利用橢圓問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)。對(duì)于拋物問(wèn)題，運(yùn)用這個(gè)穩(wěn)定估計(jì)我們得到了一個(gè)關(guān)于??w的后驗(yàn)誤差。

注意到對(duì)于拋物方程來(lái)說(shuō)這個(gè)逼近和標(biāo)準(zhǔn)先驗(yàn)誤差分析很相似。在那里是把精確解到有限元空間的Ritz投影作為中間函數(shù)而不是橢圓重構(gòu)的逼近解。總結(jié)一下這個(gè)思想就是誤差的一部分可以通過(guò)Ritz投影的先驗(yàn)誤差估計(jì)來(lái)得到，第二部分可以注意到它滿足一個(gè)具有右端項(xiàng)的拋物方程，則可以再一次的利用Ritz投影的先驗(yàn)誤差，參考文獻(xiàn)[14]了解更多的細(xì)節(jié)。

3.1

uh的后處理

為了得到后驗(yàn)誤差估計(jì)的上界，我們需要對(duì)壓力進(jìn)行后處理。我們利用文獻(xiàn)[15]中n,?nLovadina和Stenberg提出的后處理方法，記uh為uh的后處理結(jié)果，n?0,...,N，我們按照如下定義方式

n,?n,?定義3.1 （后處理方法） 求uh使得uh|K??k?1?K?滿足

n,?n

PKuh?uh|K (3.1)

和

n,?n,?v???a?1?h,?v?

?v?(I-K

??uhP)?k?1(K) (3.2)

KKn,?為了計(jì)算uh我們只需在每個(gè)單元上求解一個(gè)小的問(wèn)題即可，因此總的計(jì)算量是非*常少的。我們利用線性插值定義在?0,T?上的uh

*

uh?t?tn?1?nn,*uh?tn?t?nn?1,* (3.3)

uh對(duì)?t??tn?1,tn?，n?0,1,?N。我們可以注意到對(duì)于所有的v???k，都有?u,??v???u,??v?成立。

*hh3.2 橢圓重構(gòu)

nn?的橢圓重構(gòu)?ωn,?n?定義為下面問(wèn)題的解：求?ωn,?n? 滿足,uh數(shù)值解?σh???ndx?0， 下式成立

n????ωn?????h??1nn?aω????0?n?ωn?0?in ?in ? (3.4)

on ??nn由通量的邊界條件和Green公式知????hdx??n??hds?0。利用這個(gè)事實(shí)，我們知?nn,uh道上述問(wèn)題在H?div,???L2???上是適定的。根據(jù)橢圓重構(gòu)的定義知??h?是?ωn,?n?的有限元近似解。將tn時(shí)刻的解拓展到?tn?1,tn?中的任意時(shí)間上

?h?t?tn?1?nn?h?tn?t?nn?1,

ωh??ht?tn?1?nωnh?tn?t?n?1ωnh (3.5)

?t??tn?1,t?n，n?0,1,?N。

3.3 橢圓重構(gòu)的一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)

我們通過(guò)對(duì)于橢圓重構(gòu)離散解和離散解之間的差得到一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)開(kāi)始分析。我們通過(guò)有界正數(shù)C來(lái)表示網(wǎng)格大小和時(shí)間步長(zhǎng)之間的獨(dú)立性。

nn,uh引理3.1

令??h?是方程(2.14)-(2.17)的解，?ωn,?n?是由(3.4)式定義的{?hn,uhn}的橢圓

重構(gòu)，則下面的后驗(yàn)誤差估計(jì)式成立：

a－1/2?ω－??nnh2L2???2L???2?CK?Kh????2Tnhn,?,uh? (3.6)

n,??t??n?uh?2?2nn,??C?hT?T??t?h,?tuh?

(3.7)

T?Th?n?1,,?N，其中

2

?T?v,w??a－1v－?w2L2?T?－1?w?L2??T? (3.8)

?hK2n,*1/2???1是根據(jù)方程(2.3)而來(lái)的相應(yīng)的橢圓重構(gòu)的正則性參數(shù)。這里uh是按照定義3.1所定義的。

nn證明： 由于?h是wn,?n的Galerkin投影，我們可以利用文獻(xiàn)[13]中對(duì)于橢圓問(wèn)題,uh????的混合有限元逼近的技巧來(lái)證明所期望的估計(jì)。

n首先證明(3.6)式，由???ωn??h??0和n??ωn??hn??0我們有

??　　　　　　　????,???ω????　　　　　　　???u,???ω????nnnhn,*hnnh　???n,ωn??hn????n,???ωn??hn???n,n??ωn??hn???? (3.9)

利用等式a?1ωn???n和(3.9)，我們可以得到

?ω?????＝　?a?ω???,ω???＝???,ω?????a?,ω???＝??u,???ω??????a?,ω???＝???u,ω?????aσ,ω?????ua－1/2nnhL2?－1nnhnnhnnnh－1nhnnhn,*hnnh－1nhnnhn,*hnK?KhnhK－1nhnnhKK?KhKK?Kh2

n,*hn,n??ωn??h???Knn,*n＝???a?1?h-?uh,ωn??h???uhn,*,n??ωn??hn????Knωn??h?K?Kh?nn,?a?1?h??uhL?K?2nωn??hL?K?2?K?Kh?h?1/2Tn,???uh??L??K?2L2?K?由于a是有界的，所以

v?1/2?CavL???2L2??? (3.10)

從而

a－1/2?ω－??nnh2L2????C?a?－?u－1nhK?Khn,?2hL2?K??h－1T??u??n,?h2L2??K? (3.11)

(3.6)式得證。

下面我們來(lái)證明(3.7)式。我們引入對(duì)偶問(wèn)題：求??,??滿足

x???????????1

?a?????0x?? (3.12)

?n???0x???其中??H1?????，???H?????，??L2???，滿足??dx?0。根據(jù)對(duì)偶問(wèn)題的定義，下d?面的等式成立

　??tm?n,??????　?a??tm?n,a?1????a?tm?n,????????tmωn,????　　　　　　　????tm??ωn,??????tm??σn,?????tmσn,?a?1??

(3.13)

　　　　　　　???a?1?tmσn,??n,*將(3.12)的第一個(gè)方程與?t?n?uh做L2???內(nèi)積，并且利用等式(3.13)得：

???????u?,??＝?????u?,?????ntn,*hntn,*hnn,*＝??a?1?t?h,?????tuh,????nn,*＝??a?1?t?h,???T?????tuh，???????T???nn,*　　??a?1?t?h,?T?????tuh,????T???

(3.14)

利用等式(2.14)知

?a?1nn?t?h,?K????fn,???K???????h,???K?? (3.15)

n,*再根據(jù)uh的定義和等式(2.14)，我們可以得到

nn,*??a?1?t?h,?K?????tuh,????K????0 (3.16)

由Green公式得

????tK?Khnn,*?uh?,??KK?KK?Knn,*n,*＝???a?1?t?h,???K??????tuh,???K?????tuh,n?????K???nn,*n,*＝???a?1?t?h???tuh,???K??????tuh,n?????T???K?KhK?Khnn,*?C??t?a?1?h??tuh?K?Kh

(3.17)

L2?K????T?KL2?K??CK?Khh?n,*hT?1/2???tuh??L2??K????????hK?HL2?K??hK??(???K?)L2?K??利用差值誤差估計(jì)式(2.8)和穩(wěn)定性估計(jì)式(2.3)得到

???K?L?K?2??K???ChK?L2?K? (3.18)

通過(guò)誤差估計(jì)式(2.12)我們可以得到下面的結(jié)論

??

hK??????KL?K?2?Ch?K?L2?K? (3.19)

?這里我們利用了hK?ChK，對(duì)于所有的0?hK?h0都成立，這里h0是最大的網(wǎng)格剖分參n,*數(shù)。最后我們令???t?n?uh，得到

???t???unn,*h?2L???2nn,*?C??t?a?1?h??tuh?K?KhL?K?2?hK?L2?K?　　　　　　　?C??由Holder不等式，有

n,??t??n-uh?2L2???K?Kh?h?1/2K???u??n,*thL2??K?hK?? (3.20)

L2?K?2???1nn,??C?hK??t?a?h??uh??K?Kh2?1n,????h?uKth??L2?K?2? (3.21)

?L2?K??從而引理4.1得證。 □

現(xiàn)在我們準(zhǔn)備給出主要定理。

?定理3.1

令??,u?是方程(2.1)的解，??h,uh?是有限元格式(2.14)-(2.17)的解，uh?是uhn按照定義3.1所定義的后處理，則

?Tt0a?1/2????h?2L2???0,?dt?u0?uhN2L2???2?C?hT2??T??h0,uh0,??T?Th2L2?T?n,?n ?C???hhT2?tuh????h?fnn?1T?ThN2 ?C???h?T??hn,uhn,??

n?1T?ThN2 ?C???hhT2??T??t?hn,?tuhn,??n?1T?ThN2L2???2L2???

(3.22)

3n ?C??h?t?hn?1Ntn ?C?n?1tn?1?f?fndt其中1/2???1是根據(jù)方程(2.3)而來(lái)的相應(yīng)的橢圓重構(gòu)的正則性參數(shù)，2?T(v,w)?a－1v－?w2L2(T)－1?hK[w]L2(?T)。

2注釋3.1 定理3.1中的給出的誤差上界包含了7項(xiàng)。第一項(xiàng)和第二項(xiàng)衡量的是初始條件和它的逼近間的誤差的影響。接下來(lái)的三項(xiàng)衡量的是空間離散化的影響，第六項(xiàng)衡量的是時(shí)間離散化的影響，最后一項(xiàng)衡量的是右端項(xiàng)f和它在離散點(diǎn)間的差在時(shí)間上的影響。這個(gè)上界的形式和文獻(xiàn)[12]中的上界類(lèi)似，在[12]中，對(duì)于熱傳導(dǎo)方程用到了相同的時(shí)間離散和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的空間離散。

證明：我們首先將誤差分成兩部分

**

e?u?uh??u??????uh?e1?e2

(3.23)

??

?????h????ω???ω??h???1??2 (3.24)

由三角不等式知

2

a?1/?L???2/2?a?1?1L???2?a??21/22?I?II

(3.25)

L???接下來(lái)我們將分別估計(jì)這兩項(xiàng)。

I.

e1和ε1滿足下面的方程?t??tn?1,tn?，n?1,,?N

?,,v??????,v??e?,v?????ω,v???f,v????n,*nn,*n??u?h?h??fn,v???u,v??????h,v???f?fn,v????,v?????ω??h?,v

(3.26)

??令v?e1，我們對(duì)(3.26)左端兩項(xiàng)關(guān)于時(shí)間從0到Tt積分再利用Green公式得到

?1,e1?dt????0?e?0TtTt1d21122e1dtdx?e1?Tt?L2????e1?0?L2??? (3.27)

2dt22??

?????,e?dt?????,?e?dt????,a??dt???1011011011TtTtTtTt0a?1/2?12L2???dt

(3.28)

由(3.26)-(3.28)式我們可以得到

Tt221?1/2e1?T?t2??a?12dtL???L???02Ntn21n,*n?h?e1?0?L2?????u????h?fn,e1?dt??t2n?1n?1

(3.29)

Ntntn?1???n?1Ntntn?1?f?f,e1?dt???nn?1Ntntn?1?,e1?dt???????un,*hn?1????????,e?dtnh1?I.I????I.V

下面我們開(kāi)始估計(jì)I.I?I.V各項(xiàng).

0,*再利用三角不等式得

I.I.

對(duì)該項(xiàng)加一項(xiàng)減一項(xiàng)uh12u0??0L2???22110,*0,*2?u0?uh?u??

(3.30)

h0L2?L2?????2210,*22?200,?　　?u0?uh?C?hK??,uh??2KhL???2T?ThI.I?其中最后一步用到了引理3.1中m?0時(shí)的結(jié)論。

warz不等式和差值估計(jì)式(3-2-8)得

.

由于e1?L2???，知PTe1?PT。利用Cauchy-SchII　????n?1NNtntn?1tn??u??un,*hn????h?fn,e1?dtn????h?fn,e1?PTe1?dt

　????n?1Ntn?1tnn,*h

(3.31)

?C??n?1tn?1K?Kh?hKn,*n?tuh????h?fnL2?K??e1L2?K?L2?K?dt這里我們用到了插值估計(jì)式e1?Pke1L2?K??ChK?e1。由于?e1?a?1?1，我們得到

?Ntnn,*nII　?C????hT?tuh????h?fnt?n?1n?1T?Th

?L2?T???Tt0a?1/2ε12L2?T????e1L2?T?dt??

(3.32)

1/21/. 因?yàn)?e1dx?0，利用Poincare-Friedrich不等式和a的有界性，得到

?

e1L(?)2?C?e1L???2?Ca?1?12?Ca?1/2?12

(3.33)

L???L???利用Cauchy-Schwarz不等式得

NIII???tnn,e1?dtn?1tn?1?f?fN

???tnf?fne1n?1tn?1L2???L2???dt

?21/21/2??N?C?tnf?fndt???Nt2??n?1tn?1L2????????nen?1?tn?11L2???dt???.

利用Cauchy-Schwarz不等式我們可以得到

????tnt???u?n,*n?1?h,e1?dt

n?1N

???tn??

n,*h?

n?1tn?1t??uL2???e1L2???dt利用引理3.1的第二個(gè)不等式和不等式(3.33)，則有

1/2/2

?C?N????2?2??n?1ε/22?hhT?T?t?,hun?,?t??h2n?1K?K???dth???Tt0a1L?1

I.V.

利用橢圓重構(gòu)的定義(3.4)得到

I.V???Ntn??nh?,e1n?1?tn?1??????dt??N?tn???nh????h,e1?dt

n?1tn?1?Nt??

????n?nh??dtn?1tn?1h,?e11/2?C?NtT?t?1/2???n?n2h??hn?1tn?L2???dt?1????0aε21L2???dt?1/2我們注意到?t??tn?1,tn?

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

n

?h??h?tn?t?n??nh???n1h???t?nt???t

n

h

(3.38)

所以

??n?1Ntntn?1???hnh2L2???3ndt?C??n?t?hn?1N2L2???

(3.39)

得到第I.V項(xiàng)的估計(jì)式

?N3n

I.V?C???n?t?h?n?12?dt?L2????1/2??Tt0a?1/2ε12L2???dt?1/2

(3.40)

利用I.I?I.V的估計(jì)式(3.30)、(3.32)、(3.34)、(3.36)和(3.40)，還有選取適當(dāng)?shù)?的Young不等式ab??a2/2?b2/?2??我們得到

0?,　I?u0?uhN2L????C?hK?2?K?2?h,u0h??0,K?Kh ?C?

?C?NNn?1K?Kh????2hKh?u?????f2h?K??t?hn,?tuhn,??2L2???2L2???n,?thnhn2L2?K?2?hK

(3.41)

n?1K?Kh3n ?C??h?t?hn?1Ntn ?C?n?1tn?1?f?fndtII.

由(3.3)和(3.5)的第二個(gè)等式知

?2?ω??h?t?tn?1?n?ωn??hn??tn?t?n?ωn?1n?1??h? (3.42)

利用引理4.1的第一個(gè)不等式得，?t??tn?1,tn?，n?1,,?N

a?1/2?2

L???2n?a?1/2?ωn??h?L2???n?1?a?1/2(ωn?1??h)1/2L2???1/2??2nn,??C???T?,u?hh???K?Kh???2n?1n?1,??C???T?,u?hh???K?Kh?

(3.43)

因此第II項(xiàng)的上界是

II?C?Nn?1K?Kh??2nn?,??,u??

(3.44)

nThh

則通過(guò)不等式(3.25)、(3.41)和(3.44)我們得到了定理的證明。

□

注釋3.2 在方程(2.17)中如果將a替換成與時(shí)間有關(guān)的a?tn?。誤差分析將會(huì)改變，第二項(xiàng)在最終的估計(jì)上的數(shù)值震蕩將會(huì)增加，那是因?yàn)閍和a?tn?在每個(gè)時(shí)間區(qū)間上的差是成比例的。

注釋3.3 在本文中我們考慮的是一個(gè)靜態(tài)網(wǎng)格，在時(shí)間上沒(méi)有變化。很自然的拓展便是允許在不同的時(shí)間層有不同的網(wǎng)格剖分。特別的，為了提高逼近解得質(zhì)量而構(gòu)造自適應(yīng)算法時(shí)這是非常有用的。混合元方法可以很容易的拓展到變網(wǎng)格上來(lái)，即將上一個(gè)時(shí)間層的網(wǎng)格上的解作為當(dāng)前時(shí)間層的新網(wǎng)格的投影。在誤差分析中會(huì)引入一個(gè)新的項(xiàng)來(lái)衡量這個(gè)插值的誤差。這部分的分析在文獻(xiàn)[12]中的第3.7節(jié)可以看到。