第二章 方程(組)與不等式(組)數學文化拓展素材

2024年2月21日發(作者：寫事物的作文400字)

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《九章算術》(涉及方程)

《九章算術》是我國古代第一部數學專著,全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就.《九章算術》在數學上還有其獨到的成就,不僅最早提到分數問題,也首先記錄了盈不足等問題,“方程”章還在世界數學史上首次正式引入負數及其加減法運算法則.《九章算術》的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系.

1.我國古代數學名著《九章算術》記載了利用算籌表示方程組和解方程組的問題.算籌圖表示的是方程組( )

A.C. B. D.

則算籌圖表示的方程組的解是

2.我國古代數學著作《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題,譯文為:“現有幾個人共同購買一個物品,每人出8元,則多3元;每人出7元,則差4元,問這個物品的價格是多少元.”該物品的價格是 元.

3.《九章算術》中的方程問題:

今有甲、乙二人持錢不知其數.甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何?

大意為:今有甲、乙二人,不知其錢包里有多少錢.若乙把其一半的錢給甲,則甲的錢數為50;而甲把其的錢給乙,則乙的錢數也能為50.則甲的錢數是 ,乙的錢數是 .

《算法統宗》(涉及方程)

在中國古代數學的整個發展過程中,《算法統宗》是一部十分重要的著作.其作者程大位(1533—1606),字汝思,號賓渠,安徽休寧人.從二十多歲起他便在長江中下游一帶經商,對數學產生了濃厚的興趣.四十歲時,倦于外游,便棄商歸故里,認真鉆研古籍,擷取名家之長,歷經二十年,于明萬歷壬辰年(1592)寫就巨著《算法統宗》十七卷.

在《算法統宗》這部著作中,許多數學問題都是以歌訣形式呈現的:

(1)浮屠增級

遠看巍巍塔七層, 紅光點點倍加倍.

共燈三百八十一, 請問尖頭幾盞燈.

這首歌訣的大意:遠處有一座雄偉的佛塔,塔上掛了許多紅燈,下一層燈數是上一層燈數的2倍,全塔共有381盞,試問頂層有幾盞燈.

(2)以碗知僧

巍巍古寺在山中,不知寺內幾多僧.

三百六十四只碗,恰合用盡不差爭.

三人共食一碗飯,四人共嘗一碗羹.

請問先生能算者,都來寺內幾多僧.

這首歌訣的大意:山上有一座古寺叫都來寺,在這座寺廟里,3個和尚合吃一碗飯,4個和尚合分一碗湯,一共用了364只碗.請問都來寺里有多少個和尚.

(3)和尚分饅頭

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一百饅頭一百僧,

大僧三個更無爭,

小僧三人分一個,

大小和尚各幾丁?

這首歌訣的大意:有100個和尚分100個饅頭,正好分完.如果大和尚一人分3個,小和尚3人分一個,試問大、小和尚各有幾人.

1.我國明代數學讀本《算法統宗》一書中有這樣一道題:一支竿子一條索,索比竿子長一托,對折索子來量竿,卻比竿子短一托.如果1托為5尺,那么索長為 尺,竿子長為

尺.

2.某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》里這樣一首詩:

吾問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.

詩中后兩句的意思:如果每間客房住7人,那么有7人無房可住;如果每間客房住9人,那么就空出一間房.則該店有客房 間,房客 人.

3.《算法統宗》這部書里有這樣一題,大意:

甲牽一只肥羊走過來問牧羊人:“你趕的這群羊大概有100只吧?”牧羊人答:“如果這群羊加上一倍,再加上原來這群羊的一半,又加上原來這群羊的,連你牽著的這只肥羊也算進去,才剛好湊滿一百只.”

則這位牧羊人趕的這群羊共有 只.

《孫子算經》(涉及方程)

《孫子算經》是我國古代重要的數學著作.傳本的《孫子算經》共三卷,卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法,卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法,

卷下對后世的影響最為深遠.卷下的第31題,可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖,后來傳到日本,變成“鶴龜算”.書中是這樣敘述的:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?下卷第26題“物不知數”為后來的“大衍求一術”的起源,被看作是中國數學史上最有創造性的成就之一,稱為中國余數定理:今有物,不知其數.三三數之,剩二;五五數之,剩三;七七數之,剩二.問物幾何?顯然,這相當于求不定方程組n,《孫子算經》所給答案是n=23.

的正整數解

1.《孫子算經》中有首歌謠,大意為:如圖,有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時立一根一尺五寸的小標桿,它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為( )

A.五丈 B.四丈五尺

C.一丈 D.五尺

2.《孫子算經》中有一道題,原文是“今有木,不知長短.引繩度之,余繩四尺五寸;屈繩量之,不足一尺.問木長幾何?”意思是“用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺;將繩子對最新資料，歡迎下載！

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折再量長木,長木還剩余1尺.問木長多少尺.”設木長為x尺,繩子長為y尺,則下列符合題意的方程組是( )

A. B.

C. D.

3.我國古代數學名著《孫子算經》中有“雞兔同籠”數學名題,小敏將該題改編為:今有雞兔同籠,上有33頭,下有88足,問雞兔各幾何?此時的答案是 .

4.《孫子算經》中有這樣一道題,原文如下:

今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡.問:城中家幾何?

大意為:

今有100頭鹿進城,每家取一頭鹿,沒有取完,剩下的鹿每3家共取一頭,恰好取完.

則城中有 戶人家.

一元二次方程的幾何解法

你知道嗎,對于一元二次方程,我國及其他一些國家的古代數學家還研究過其幾何解法呢!

下面我們以方程x+2x-35=0為例加以說明.(方程可轉化為x+2x=35,x(x+2)=35兩種形式)

22

圖(1)

三國時期的數學家趙爽(約公元3世紀)在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是:2如圖(1),構造邊長為(x+x+2)的正方形,則大正方形的面積(x+x+2),另一方面,大正方形是由四個長和寬分別為x+2,x的矩形和一個邊長為2的小正方形組成的,所以大正方形的面積2等于四個矩形加上中間小正方形的面積,即大正方形的面積為4×35+2,故2(x+x+2)=144,x>0,解得x=5.

2說明:趙爽的解法是把x+2x=x(x+2)看作矩形的面積,然后用四個這樣的矩形及一個邊長為2的小正方形組成一個邊長為(x+x+2)的正方形,再由面積公式求出x.

圖(2)

公元9世紀,阿拉伯數學家阿爾·花拉子密采用的方法是:構造圖(2),阿爾·花拉子密22的方法直接從“形”上反映了配方法,一方面,正方形的面積為(x+1),即(x+2x)+1;另一方面,它又等于36,即35+1,據此同樣可得x=5.其實趙爽的方法和阿爾·花拉子密的方法本質上是一致的.

利用幾何法解一元二次方程,巧妙之處在于不用過多的語言和運算即可解決求方程的解的問題.賦予代數式的幾何意義是解決這類問題的關鍵.

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需要指出的是,一元二次方程的幾何解法,反映了古代數學家在探索一元二次方程的求解過程中留下的足跡,如果遇到負根,就無法求解,這也說明了這種方法的局限性.后來人們發現的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=

參考答案

《九章算術》(涉及方程)

2,克服了這種局限性.

1.C 由題意知,算籌圖表示的方程組是解得故選C.

2.53 設有x個人共同購買這個物品,根據題意得8x-3=7x+4,解得x=7.則8x-3=8×7-3=53(元),故該物品的價格是53元.

3.37.5 25 設甲持錢為x,乙持錢為y,依題意列方程組為數為37.5,乙的錢數為25.

《算法統宗》(涉及方程)

解得故甲的錢1.20 15 設索長為x尺,竿子長為y尺,根據題意,得解得

2.8 63 設該店有客房x間,根據題意得,7x+7=9(x-1),解得x=8,7×8+7=63.故該店有客房8間,房客63人.

3.36 設這位牧羊人趕的這群羊共有x只,依題意,得x+x+x+x+1=100,解得x=36,故這位牧羊人趕的這群羊共有36只.

《孫子算經》(涉及方程)

1.B 設竹竿的長為x尺,根據題意得,竹竿的影長為一丈五尺,即15尺,標桿的長為一尺五寸,即1.5尺,標桿的影長為五寸,即0.5尺,則=,解得x=45.故選B.

2.B 根據“用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺”可列方程y=x+4.5;根據“將繩子對折再量長木,長木還剩余1尺”可列方程y=x-1.故選B.

3.雞22只,兔11只 設雞有x只,兔有y只.依題意得方程組22只,兔有11只.

4.75 設城中有x戶人家,根據題意,得x+=100,解得x=75.故城中有75戶人家.

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