平面幾何中的外心和內心

2024年3月23日發(作者：困難的成語)

平面幾何中的外心和內心

在平面幾何中，外心和內心是兩個十分重要的點。它們的經典

定義是：外心是一個點，它到三角形三個頂點的距離相等；內心

是一個點，它到三角形三邊的距離相等。這兩個點不僅在理論上

有著重要的意義，而且在實際應用中也具有很高的價值。在本文

中，我們將詳細介紹外心和內心的相關概念以及它們的一些基本

性質。

一、外心

1、外心的定義

外心是一個點，它到三角形三個頂點的距離相等。如下圖所示，

點O就是這個點：

2、外心的性質

（1）外心是三角形外接圓的圓心。

所謂外接圓，就是與三角形的三個頂點都在同一圓上的圓。顯

然，外心到三角形的三個頂點的距離相等，因此它是三角形外接

圓的圓心。

（2）外心到三條邊的距離相等。

設外心為O，過A、B、C三點作OA、OB、OC的垂線，垂足

分別為D、E、F。易知，OA=OB=OC，故OD=OE=OF，也就是

說，外心到三邊的距離相等。

（3）外心是能夠使三角形的內接圓與外接圓的切線長度相等

的唯一點。

該結論的證明需要較多幾何知識，這里就不詳細展開了。不過

我們可以簡單說一下，即外心到三邊的距離相等，且此距離等于

三角形內接圓半徑的兩倍，這就導致了外心是使內接圓與外接圓

的切線長度相等的唯一點。