三角函數(shù)符號（數(shù)學(xué)公式符號）

三角函數(shù)符號（數(shù)學(xué)公式符號）

三角函數(shù)符號 （數(shù)學(xué)公式符號） 次瀏覽 | 2022.09.01 12:08:25 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 三角函數(shù)符號數(shù)學(xué)公式符號

數(shù)學(xué)三角函數(shù)符號。毛羅利科早於１５５８年已採用三角函數(shù)符號（Signs for trigonometric functions），但當(dāng)時并無函數(shù)概念，於是只稱作三角缐（ trigonometric lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示馀弦。正弦是最重要也是最古老的一種三角函數(shù)。它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角學(xué)中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進的，他們還創(chuàng)造出了比托勒密更精準的正弦表。

中文名

三角函數(shù)符號

英文名

Signs for trigonometric functions

開始采用

1558年

發(fā)明人

毛羅利科

包 括

正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

三角函數(shù)公式

誘導(dǎo)公式

三角函數(shù)弦表

“弦表”就是正弦表的前身，因此可以說正弦是最重要也是最古老的一種三角函數(shù)。早期的三角學(xué)，是伴隨著天文學(xué)而產(chǎn)生的。古希臘天文學(xué)派希帕霍斯為了天文觀測的需要，制作了一個“弦表”，即在圓內(nèi)不同圓心角所對弦長的表。相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦表的兩倍。這就是正弦表的前身，可惜沒有保存下來。

希臘的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入印度，阿耶波多作了重大的改革。一方面他定半徑為3438，含有弧度制的思想。另一方面他計算半弦（相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線）而不是希臘人的全弦。他稱半弦為jiva，是獵人弓弦的意思。后來印度的書籍被譯成阿拉伯文,jiva被音譯成jiba，但此字在阿拉伯文中沒有意義，輾轉(zhuǎn)傳抄，又被誤寫成jaib，意思是胸膛或海灣。12世紀，歐洲人從阿拉伯的文獻中尋求知識。1150年左右，意大利翻譯家杰拉德將jaib意譯為拉丁文sinus，這就是現(xiàn)存sine一詞的來源。英文保留了sinus這個詞，意義也不曾變。

sinus并沒有很快地被采用。同時并存的正弦符號還有Perpendiculum（垂直線），表示正弦的符號并不統(tǒng)一。計算尺的設(shè)計者岡特在他手畫的圖上用sin表示正弦，后來，英國的奧特雷德也使用了sin這一縮寫，同時又簡寫成S。與此同時，法國的埃里岡在《數(shù)學(xué)教程》中引入了一整套數(shù)學(xué)符號，包括sin，但仍然沒有受到同時代人的注意。直到18世紀中葉，逐漸趨于統(tǒng)一sin。余弦符號ces，也在18世紀變成現(xiàn)在cos。

函數(shù)符號

毛羅利科早于1558年已采用三角函數(shù)符號（Signs?for?trigonometric?functions），但當(dāng)時并無函數(shù)概念，于是只稱作三角線（?trigonometric?lines）。他以sinus?1m?arcus表示正弦，以sinus?2m?arcus表示余弦。而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他于1583年，創(chuàng)立以“tangent”（正切）及“cant”（正割）表示相應(yīng)之概念，其后他分別以符號“sin.”，“tan.”，“c.”，“sin”，“tan”，“c”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三個符號與現(xiàn)代之符號相同。后來的?符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發(fā)展變化。

使用者?年代?正弦?余弦?正切?余切?正割?余割?備注

羅格蒙格努斯?1622?S.R.?T.?(Tang)?T.?cpl?Sec?Sec.?Compl

吉拉爾?1626?tan?c.

杰克?1696?s.?cos.?t.?cot.?c.?coc.

歐拉?1753?sin.?cos.?tag(tg).?cot.?c.?coc

謝格內(nèi)?1767?sin.?cos.?tan.?cot.?Ⅰ

巴洛?1814?sin?cos.?tan.?cot.?c?coc?Ⅰ

施泰納?1827?tg?Ⅱ

皮爾斯?1861?sin?cos.?tan.?cotall?c?coc

奧萊沃爾?1881?sin?cos?tan?cot?c?csc?Ⅰ

申弗利斯?1886?tg?ctg?Ⅱ

萬特沃斯?1897?sin?cos?tan?cot?c?csc?Ⅰ

舍費爾斯?1921?sin?cos?tg?ctg?c?csc?

注：

Ⅰ－現(xiàn)代（歐洲）大陸派三角函數(shù)符號。

Ⅱ－現(xiàn)代英美派三角函數(shù)符號

我國現(xiàn)正采用Ⅱ類三角函數(shù)符號。

1729年，丹尼爾．伯努利是先以符號表示反三角函數(shù)，如以AS表示反正弦。1736年歐拉以At表示反正切，一年後又以Asinb/c表示于單位圓上正弦值相等于b/c的弧。

1772年，C．申費爾以arc.tang.表示反正切；同年，拉格朗日采以arc.sin1/1+α表示反正弦函數(shù)。1776年，蘭伯特則以arc.sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數(shù)。其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小點，便成現(xiàn)今通用之符號，如arcsinx，arccosx等。于三角函數(shù)前加arc表示反三角函數(shù)，而有時則改以于三角函數(shù)前加大寫字母開頭Arc，以表示反三角函數(shù)之主值。

另一較常用之反三角函數(shù)符號如sin-1x，tan-1x等，是赫謝爾于1813年開始采用的，把反三角函數(shù)符號與反函數(shù)符號統(tǒng)一起來，至今亦有應(yīng)用。〔若對各三角函數(shù)的符號演變史感興趣，可參梁宗巨（1995），《數(shù)學(xué)歷史典故》，頁100－108，臺北：九章出版社。〕

函數(shù)公式表

誘導(dǎo)公式[1]

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

兩角和與差的三角函數(shù)

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

三角函數(shù)和差化積公式

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

積化和差公式[2]

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

半角公式

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

萬能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]

a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

其他非重點三角函數(shù)

csc(a)=1/sin(a)

c(a)=1/cos(a)

雙曲函數(shù)

sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

參考資料