等比數(shù)列（數(shù)學(xué)名詞）

等比數(shù)列（數(shù)學(xué)名詞）

等比數(shù)列 （數(shù)學(xué)名詞） 次瀏覽 | 2022.11.17 13:49:21 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 等比數(shù)列數(shù)學(xué)名詞

等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列。如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。等比數(shù)列a1≠0。注：q=1時，an為常數(shù)列。另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式：公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列，當(dāng)n無限增大時的極限叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和。

中文名

等比數(shù)列

外文名

geometric progression

拼音

deng bi shu lie

近義詞

幾何數(shù)列

反義詞

/

英文名

geometric progression

通項公式

an=a1*q^(n-1)

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

適用領(lǐng)域范圍

數(shù)學(xué)，金融等

釋義

等比數(shù)列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列，常用G、P表示。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠0。其中{an}中的每一項均不為0。注：q=1時，an為常數(shù)列。

出處

根據(jù)歷史傳說記載，國際象棋起源于古印度，至今見諸于文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的。據(jù)說，有位印度教宰相見國王自負(fù)虛浮，決定給他一個教訓(xùn)．他向國王推薦了一種在當(dāng)時尚無人知曉的游戲．國王當(dāng)時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情。

國王對這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宰相，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什么賞賜．宰相開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒……即每一個次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了。“好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宰相的這個謙卑的請求。

這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+22+23+24+……+263=264-1，直接寫出數(shù)字來就是18,446,744,073,709,551,615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和！如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。

國王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。

正當(dāng)國王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事，他笑著對國王說：“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會被它難倒？”國王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18,446,744,073,709,551,615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地數(shù)，數(shù)到他自己魂歸極樂，也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜。”國王恍然大悟，當(dāng)下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。

西薩·班·達依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當(dāng)然，最后宰相還是獲得了很多的賞賜。[1]

公式介紹

(1)公比q=an/an-1

(2)通項公式：an=a1*qn-1

(3)求和公式：

(q=1)

(q1)

應(yīng)用

等比數(shù)列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式——復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在計算下一期的利息，也就是人們通常說的“利滾利”。按照復(fù)利計算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

隨著房價越來越高，很多人沒辦法像這樣一次性將房款付清，總是要向銀行借錢，既可以申請公積金也可以申請銀行貸款，但是如果還款到一定時間后想了解自己還得還多少本金時，也可以利用數(shù)列來自己計算。眾所周知，按揭貸款（公積金貸款）中一般實行按月等額還本付息。下面就來尋求這一問題的解決辦法。若貸款數(shù)額a0元，貸款月利率為p，還款方式每月等額還本付息a元，設(shè)第n月還款后的本金為an，那么有a1=a0(1+p)-a；a2=a1(1+p)-a；a3=a2(1+p)-a；......an+1=an(1+p)-a,....將其變形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p。由此可見，{an-a/p}是一個以a1-a/p為首項，1+p為公比的等比數(shù)列。

其實類似的還有零存整取、整存整取等銀行儲蓄借貸，甚至還可以延伸到生物界的細胞細胞分裂[2]。

參考資料