不動點定理（拓撲學定理）

不動點定理（拓撲學定理）

不動點定理 （拓撲學定理） 次瀏覽 | 2022.08.07 15:29:08 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 不動點定理拓撲學定理

Banach不動點定理(亦稱Banach壓縮映照原理)是泛函分析中最重要又經(jīng)典的定理之一。布勞威爾不動點定理說明：對于一個拓撲空間中滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f，存在一個點x0，使得f(x0)=x0。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤D射到它自身的函數(shù)f。而更為廣義的定理則對于所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數(shù)都成立。

中文名

不動點定理

外文名

fixed-point theorem

提出者

伊茲·布勞威爾

應用學科

拓撲學

適用領(lǐng)域

數(shù)學方程求解

提出時間

定理定義

可用于嚴格證明某方程式系統(tǒng)的解的存在性的定理。現(xiàn)代數(shù)學——拓撲學、集合論中的一個定理,由荷蘭數(shù)學家布勞威爾(Brouwer,Luitzen?Egbertus?Jan,?1881—1966)、日本數(shù)學家角谷(生卒年不詳)分別于1912年和1941年提出。含義大致可描述為:在一定條件下,如果一個映射f把集合X中的每一個點x變換到集合f(x),那么存在著不動點x*,該不動點是包含于其映象f(x)中的點x*∈f(x*)。[2]

設(A，d)為完備的度量空間，f為從A到其自身中的李普希茨映射。如果李普希茨比的級數(shù)λ(fn)收斂，則存在A的唯一的點a，在f下該點不動。其次，對A的任一元素x0，由遞推關(guān)系：

定義的級數(shù)(xn)必收斂于a。

這一定理尤其適用于f為壓縮映射的情況。利用所謂逐次逼近法，不動點定理是證明隱式方程、常微分方程和積分方程解的存在唯一性定理的基礎(chǔ)。

定理表述

對應于一個定義于集合到其自身上的映射而言，所謂不動點，是指經(jīng)過該映射保持“不變的”點。不動點定理是用于判斷一個函數(shù)是否存在不動點的定理。常用的不動點定理有：

(1)布勞威爾不動點定理(1910年)：若A?R(N維實數(shù)集合)且A為非空、緊凸集，f：A→A是一個從A到A的連續(xù)函數(shù)，則該函數(shù)f(·)有一個不動點，即存在x∈A，x=f(x)。

該定理常被用于證明競爭性均衡的存在性。

(2)角谷(kakutani)不動點定理(1941年)：若A?R且A為非空、緊凸集，f：A→A是從A到A的一個上半連續(xù)對應，且f(x)?A對于任意x∈A是一個非空的凸集，則f(·)存在一個不動點。

不動點定理一般只給出解的存在性判斷，至于如何求解，則需要用到20世紀60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不動點算法。因此，不動點定理常被用于解決經(jīng)濟模型中出現(xiàn)的存在性問題，例如多人非合作對策中均衡點的存在性等。

定理啟示

建立布勞威爾不動點定理是他的突出貢獻．這個定理表明：在二維球面上，任意映到自身的一一連續(xù)映射，必定至少有一個點是不變的．他把這一定理推廣到高維球面．尤其是，在n維球內(nèi)映到自身的任意連續(xù)映射至少有一個不動點．在定理證明的過程中，他引進了從一個復形到另一個復形的映射類，以及一個映射的映射度等概念．有了這些概念，他就能第一次處理一個流形上的向量場的奇點。

康托爾揭示了不同的n與空間Rn的一一對應關(guān)系．G．皮亞諾(Peano)則實現(xiàn)了把單位線段連續(xù)映入正方形．這兩個發(fā)現(xiàn)啟示了，在拓撲映射中，維數(shù)可能是不變的。1910年，布勞威爾對于任意的n證明了這個猜想——維數(shù)的拓撲不變性．在證明過程中，布勞威爾創(chuàng)造了連續(xù)拓撲映射的單純逼近的概念，也就是一系列線性映射的逼近。他還創(chuàng)造了映射的拓撲度的概念——一個取決于拓撲映射連續(xù)變換的同倫類的數(shù)。實踐證明，這些概念在解決重要的不變性問題時非常有用．例如，布勞威爾就借助它界定了n維區(qū)域；J．W．亞歷山大(Alexander)則用它證明了貝蒂數(shù)的不變性。

發(fā)展簡史

布勞威爾不動點定理是代數(shù)拓撲的早期成就，還是更多更一般的不動點定理的基礎(chǔ)，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl證明n=3的情況（發(fā)表于《純綷及應用數(shù)學期刊》之內(nèi)）。后來在1909年，魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer）再次證明。在1910年，雅克·阿達馬提供一般情況的證明，而布勞威爾在1912年提出另一個不同的證明。這些早期的證明皆屬于非構(gòu)造性的間接證明，與數(shù)學直覺主義理想矛盾。現(xiàn)在已知如何構(gòu)造（接近）由布勞威爾不動點定理所保證的不動點，見例子(Karamadian 1977)和(Istr??escu 1981)。

示例

這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的坐標系以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那么第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。一個更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團（不撕裂），放在原來白紙所在的地方，那么只要它不超出原來白紙平鋪時的邊界，那么白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過。

這個斷言的根據(jù)就是布勞威爾不動點定理在二維歐幾里得空間（歐幾里得平面）的情況，因為把紙揉皺是一個連續(xù)的變換過程。

另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標注足夠精確，那么這個點就是把實際地形射到地圖的連續(xù)函數(shù)的不動點。

地球繞著它的自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)軸在自轉(zhuǎn)過程中的不變的，也就是自轉(zhuǎn)運動的不動點。

理論

克納斯特-塔斯基定理（Knaster–Tarskitheorem）在數(shù)學領(lǐng)域序理論和格理論中，克納斯特-塔斯基定理，得名于克納斯特（Bronis?awKnaster）和阿爾弗雷德·塔斯基（AlfredTarski），它聲稱：設L是完全格并設f:L→L是次序保持函數(shù)。則f在L中的不動點的集合也是完全格。因為完全格不能是空的，這個定義特別保證f的至少一個不動點的存在，甚至一個“最小”（或“最大”）不動點的存在。在很多實際情況中，這是這個定理最重要的蘊涵。

λ演算（lambdacalculus）是一套用于研究函數(shù)定義、函數(shù)應用和遞歸的形式系統(tǒng)。它由丘奇（AlonzoChurch）和他的學生克萊尼（StephenColeKleene）在20世紀30年代引入。Church運用λ演算在1936年給出判定性問題（Entscheidungsproblem）的一個否定的答案。這種演算可以用來清晰地定義什么是一個可計算函數(shù)。關(guān)于兩個lambda演算表達式是否等價的命題無法通過一個“通用的算法”來解決，這是不可判定性能夠證明的頭一個問題，甚至還在停機問題之先。Lambda演算對函數(shù)式編程語言有巨大的影響，比如Lisp語言、ML語言和Haskell語言。

Lambda演算可以被稱為最小的通用程序設計語言。它包括一條變換規(guī)則（變量替換）和一條函數(shù)定義方式，Lambda演算之通用在于，任何一個可計算函數(shù)都能用這種形式來表達和求值。因而，它是等價于圖靈機的。盡管如此，Lambda演算強調(diào)的是變換規(guī)則的運用，而非實現(xiàn)它們的具體機器。可以認為這是一種更接近軟件而非硬件的方式。

邱奇-圖靈論題（TheChurch-Turingthesis）是計算機科學中以數(shù)學家阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和阿蘭·圖靈命名的論題。該論題最基本的觀點表明，所有計算或算法都可以由一臺圖靈機來執(zhí)行。以任何常規(guī)編程語言編寫的計算機程序都可以翻譯成一臺圖靈機，反之任何一臺圖靈機也都可以翻譯成大部分編程語言程序，所以該論題和以下說法等價：常規(guī)的編程語言可以足夠有效的來表達任何算法。該論題被普遍假定為真，也被稱為邱奇論題或邱奇猜想和圖靈論題。

定理意義

不動點定理給出一個一般的標準，如果條件滿足，迭代函數(shù)的過程產(chǎn)生一個固定點。

相比之下，不動點定理是一個非建設性的結(jié)果：它表示從n維歐幾里德空間中的封閉單位球到自身的任何連續(xù)函數(shù)都必須有一個固定點，但是沒有描述如何找到固定點（參見Sperner的引理）。

例如，余弦函數(shù)在[-1,1]中是連續(xù)的，并將其映射成[-1,1]，因此必須有一個固定點。當檢查余弦函數(shù)的草繪圖時，這是很清楚的;發(fā)生固定點，其中余弦曲線y=cos（x）與線y=x相交。在數(shù)值上，固定點大約為x=0.73908513321516（因此x=cos（x））。

代數(shù)拓撲中的Lefschetz定點定理（和Nieln定點定理）是顯著的，因為它在某種意義上給出了一種計數(shù)固定點的方法。

對不動點定理進行了一些推廣;這些都適用于PDE理論。參見無限維空間中的定點定理。

分形壓縮中的拼貼定理證明，對于許多圖像，存在對迭代應用于任何起始圖像時快速收斂在所需圖像上的函數(shù)的相對較小的描述。

代數(shù)和離散數(shù)學中的應用：

Knaster-Tarski定理指出，完整格子上的任何維持秩序的函數(shù)都有一個固定點，實際上是一個最小的固定點。

定理在抽象解釋中有應用，這是靜態(tài)程序分析的一種形式。

lambda演算中的常見主題是找到給定的lambda表達式的固定點。每個lambda表達式都有一個固定點，而一個定點組合器是一個“函數(shù)”，它將lambda表達式作為輸入，并產(chǎn)生該表達式的固定點。一個重要的定點組合器是用于給出遞歸定義的Y組合器。

在編程語言的指稱語義中，使用Knaster-Tarski定理的特殊情況來建立遞歸定義的語義。雖然定點定理被應用于“相同”的功能（從邏輯的角度來看），理論的發(fā)展是完全不同的。

在可計算性理論中，可以通過應用Kleene遞歸定理給出遞歸函數(shù)的相同定義。這些結(jié)果不是等價的定理；Knaster-Tarski定理比指稱語義中使用的定理強得多。然而，鑒于Church-Turing論文，他們的直觀含義是相同的：遞歸函數(shù)可以被描述為功能的函數(shù)映射函數(shù)的最小固定點。

上述迭代函數(shù)找到固定點的技術(shù)也可以在集合理論中使用；正常功能的定點引理指出，從序數(shù)到序數(shù)的任何連續(xù)的嚴格增加的函數(shù)都有一個（甚至很多）固定點。

每個封閉操作員都有很多固定點；這些是關(guān)閉操作符的“封閉元素”，它們是閉包運算符首先定義的主要原因。

在有奇數(shù)個元素的有限集上的每個卷積都有一個固定點；更一般地，對于有限元素集合上的每個卷積，元素的數(shù)量和固定點的數(shù)量具有相同的奇偶性。唐·薩吉爾（Don?Zagier）使用這些觀察結(jié)果，給出了兩個平方和的Fermat定理的一個句子證明，通過在同一組三元組中描述兩個漸近，其中一個可以很容易地顯示出只有一個固定點，另一個對于給定素數(shù)（與1模4相等）的每個表示具有兩個正方形的和的固定點。由于第一次卷積具有奇數(shù)個固定點，因此第二次也存在所需形式的表示。

參考資料