向量積（在向量空間中向量的二元運算）

向量積（在向量空間中向量的二元運算）

向量積 （在向量空間中向量的二元運算） 次瀏覽 | 2022.07.02 14:16:12 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 向量積在向量空間中向量的二元運算

向量積也被稱為矢量積、叉積（即交叉乘積）、外積，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而不是一個標量，兩個向量的叉積與這兩個向量垂直，其運算結果叫叉積（即交叉乘積）、外積或向量積。向量積:在三維坐標系中，從坐標原點O沿X軸取向量OA=a，沿Y軸取向量OB=b.從原點OC垂直與OAB平面,其向量積OC=a*b，其方向由右手法則確定右手拇指指向OA，食指指向OB，中指指向OC。即c的長度在數值上等于以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

中文名

向量積

外文名

cross product

別稱

向量積、矢積、叉乘、外積

表達式

a×b

應用學科

數學，物理

適用領域范圍

解析幾何

別名

向量積、矢積、叉乘、外積

定義

向量積又稱“外積”、“叉積”。兩向量a與b的向量積是向量，用c=a×b表示。其長度等于以a、b為邊的平行四邊形的面積(圖中陰影部分)，即｜c｜=｜a×b｜=｜a｜·｜b｜sinθ(0≤θ≤π)；方向垂直于與，而且、、三向量成右手系(用右手的拇、食、中三手指分別表示)。[1]

方程式向量積的幾何意義

兩個向量a和b的叉積寫作a×b（有時也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。向量積可以被定義為：|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在這里θ表示兩向量之間的角夾角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于這兩個矢量所定義的平面上。

這個定義有一個問題，就是同時有兩個單位向量都垂直于和：若滿足垂直的條件，那么也滿足。

一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。

向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin

即c的長度在數值上等于以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

c的方向垂直于a與b所決定的平面，c的指向按右手規則從a轉向b來確定。

性質幾何意義

叉積的長度 |a×b| 可以解釋成以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積。

混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。

代數規則

反交換律：

a×b= -b×a

加法的分配律：

a× (b+c) =a×b+a×c

與標量乘法兼容：

(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

不滿足結合律，但滿足雅可比恒等式：

a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

矩陣形式

給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;

則

a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]

上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式：

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述 i，j，k 之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i + a2j + a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，并將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關于四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參見四元數與空間旋轉。

高維情形

七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質：

雙線性性：

x × (ay + bz) = ax × y + bx ×z

(ay + bz) ×x = ay × x + bz × x.

反交換律：

x × y + y ×x = 0

同時與 x 和 y 垂直：

x · (x ×y) =y · (x ×y) = 0

拉格朗日恒等式

|x × y|2 = |x|2 |y|2 - (x ·y)2.

不同于三維情形，它并不滿足雅可比恒等式：

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x ×y) ≠ 0

向量應用

在物理學光學和計算機圖形學中，叉積被用于求物體光照相關問題。

求解光照的核心在于求出物體表面法線，而叉積運算保證了只要已知物體表面的兩個非平行矢量(或者不在同一直線的三個點)，就可依靠叉積求得法線。

相關介紹

向量積:在三維坐標系中，從坐標原點O沿X軸取向量OA=a，沿Y軸取向量OB=b.從原點OC垂直與OAB平面,其向量積OC=a*b，其方向由右手法則確定右手拇指指向OA，食指指向OB，中指指向OC。因此可以斷定OC向量積是作用于OAB平面上的，而單一力距只垂直一軸作杠桿轉動。

參考資料