真子集（數學學科術語）

真子集（數學學科術語）

真子集 （數學學科術語） 次瀏覽 | 2022.09.17 09:00:29 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 真子集數學學科術語

如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集（proper?subt）。如果A包含于B，且A不等于B，就說集合A是集合B的真子集。

集合的子集與真子集的考試題型較多，主要分為三類：判斷集合間的關系；求一個集合的子集與真子集的個數；利用兩個集合間的關系求參數的值或取值范圍。

中文名

真子集

外文名

proper subt

適用領域

集合

別稱

真包含

表達式

A?B

應用學科

數學

定義子集

一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集（subt）。記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。

即，對于集合A與B，?x∈A有x∈B，則A?B。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。

真子集

如果集合A?B，存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A與集合B有真包含關系，集合A是集合B的真子集（propersubt）。記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。

即：對于集合A與B，?x∈A有x∈B，且?x∈B且x?A，則A?B。空集是任何非空集合的真子集。

非空真子集：如果集合A?B，且集合A≠?，集合A是集合B的非空真子集（nonvoidpropersubt）。

真子集與子集的區別；

子集就是一個集合中的全部/部分元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；

真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。

舉例

所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的集合的真子集；所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集（即N?Z）；{1，3}?{1，2，3，4}，{1，2，3}?{1，2，3，4}；??{?}。但不能說{1，2，3}?{1，2，3}。

設全集I為{1，2，3}，則它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、?；而它的真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、?。它的非空真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}。

有關命題

命題1：若集合A有n個元素，則集合A的子集個數為2n，且有2n-1個真子集，2n-2個非空真子集。

證明：設元素編號為1,2,n，每個子集對應一個長度為n的二進制數（規定數的第i位為1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。如全集U={e1,e2,e3,e4,e5}，則{e1,e2,e3,e4,e5}?11111，{e2,e3,e4}?01110，{e4}?00010）。即其子集為00，0（n個0）、11，1（n個1）。易知一共有2n個數，因此對應2n個子集。去掉11，1（即表示原來的集合A）則有2n-1個真子集，再去掉00，0（表示空集）則有2n-2個非空真子集。

命題2：空集是任意集合的子集。

證明：給定任意集合A，要證明?是A的子集。這要求給出所有?的元素是A的元素；但是?沒有元素。

對有經驗的數學家們來說，推論“?沒有元素，所以?的所有元素是A的元素”是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。換一種思維將有所幫助，為了證明?不是A的子集，必須找到一個元素，屬于?，但不屬于A。因為?沒有元素，所以這是不可能的。因此?一定是A的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關系。

命題3：若A，B，C是集合，則：

自反性:A?A，反對稱性:A?B且B?A，當且僅當A=B，傳遞性:若A?B且B?C則A?C。這個命題說明：對任意集合S，S的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題4：若A，B，C是集合S的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：??A?S（??A由命題2給出）。存在并運算:A?A∪B若A?C且B?C則A∪B?C存在交運算:A∩B?A若C?A且C?B則C?A∩B。這個命題說明：表述"A?B"和其他使用并集，交集和補集的表述是等價的，即包含關系在公理體系中是多余的。

命題5:對任意兩個集合A和B，下列表述等價：A?BA∩B=AA∪B=BA?B=B′?A′。

參考資料