中線定理（歐氏幾何的定理）

中線定理（歐氏幾何的定理）

中線定理 （歐氏幾何的定理） 次瀏覽 | 2022.08.25 12:35:55 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 中線定理歐氏幾何的定理

中線定理（pappus定理），又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。中線定理即為斯臺沃特定理在中點時的結論，可由斯臺沃特定理直接得出，但是斯臺沃特定理不容易理解，昏頭昏腦。在不同三角形中，對同一個角用兩次余弦定理，比如對圖示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，從而直接得到三角形邊長的關系，進而得證。

中文名

中線定理

別名

阿波羅尼斯定理

英文

pappus定理

定理

歐氏幾何的定理

定理簡介

中線定理（pappus定理），又稱阿波羅尼斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。

定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方的和的2倍。

即，對任意三角形△ABC，設是I線段BC的中點，AI為中線，則有如下關系：

AB+AC=2BI+2AI

或作AB+AC=BC/2+2AI

概述

三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。[1]

證明

中線定理即為斯臺沃特定理在中點時的結論，可由斯臺沃特定理直接得出，但是斯臺沃特定理不容易理解，昏頭昏腦。下面有四種比較容易理解的方法。

以中點為原點，在水平和豎直方向建立坐標系，

設：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

則：AD2+CD2=m2+n2+a2

AB2+AC2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2)

∴AB2+AC2=2AD2+2CD2

證明方法

中線定理即為斯臺沃特定理在中點時的結論，可由斯臺沃特定理直接得出，但是斯臺沃特定理不容易理解，昏頭昏腦。

除圖示給出的方法外，lonelystar在此給出另外的兩種常規證明方法

第一種

以中點為原點，在水平和豎直方向建立坐標系，

設：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

則：(AD)^2+(CD)^2=m^2+n^2+a^2

(AB)^2+(AC)^2=(m+a)^2+n^2+(m-a)^2+n^2=2(m^2+a^2+n^2)

∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)

第二種

在不同三角形中，對同一個角用兩次余弦定理，比如對圖示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，從而直接得到三角形邊長的關系，進而得證。

此外，對任意三角形，設是線段的中點，為中線，則有如下關系：

或作

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入：

得出

是的中點，因此和相反，可知式中兩個標積抵消。又因，得出

第三種

或者直接采用勾股定理，過AD點作BC的垂線，垂足為H.

則AD^2=DH^2+AH^2

AB^2=（BD+DH）^2+AH^2

AC^2=（CD-DH）^2+AH^2

∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)

另一結論

在以上討論中，通過兩式相減，還可以得到|AB^2-AC^2|=2BC×IH。（H為垂足）

參考資料