平面鑲嵌（平面密鋪的別稱）

平面鑲嵌（平面密鋪的別稱）

平面鑲嵌 （平面密鋪的別稱） 次瀏覽 | 2022.10.02 17:04:30 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 平面鑲嵌平面密鋪的別稱

用一些無間隙且不重疊擺放的若干類全等形（能夠完全重合的圖形叫做全等形）把平面的一部分完全覆蓋，叫做平面鑲嵌，又稱為“平面密鋪”。

平面鑲嵌的關鍵點是:圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角的和等于360°。

最簡單的平面鑲嵌是只用一類全等形鑲嵌平面。

中文名

平面鑲嵌

又稱

“平面密鋪”

條件

不重疊，無縫隙

關鍵點

在每個公共頂點處各角的和是360°

三種方式用一種任意多邊形鑲嵌

1．全等的任意三角形能鑲嵌平面

把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個全等的三角形．用這些全等的三角形可鑲嵌平面．這是因為三角形的內角和是180°，用6個全等的三角形即可鑲嵌出一個平面，如圖1。[1]

用全等的三角形鑲嵌平面，鑲嵌的方法不止一種，如圖2。

2．全等的任意四邊形能鑲嵌平面

仿上面的方法可剪出多個全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面．這是因為四邊形的內角和是360°，用4個全等的四邊形即可鑲嵌出一個平面，如圖3。其實四邊形的平面鑲嵌可看成是用兩類全等的三角形進行鑲嵌，如圖4。

3．全等的特殊五邊形可鑲嵌平面

圣地亞歌一位家庭婦女，五個孩子的母親瑪喬里·賴斯，對平面鑲嵌有很深的研究，尤其對五邊形的鑲嵌提出了很多前所未有的結論。1968年克什納斷言只有8類五邊形能鑲嵌平面，可是瑪喬里·賴斯后來又找到了5類五邊形能鑲嵌平面，在圖5的五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e，a+e=d。圖6是她于1977年12月找到的一種用此五邊形鑲嵌的方法。1985年，羅爾夫·施泰因（Rolf?Stein）發現了第14種，直至2015年7月，華盛頓大學的凱西·曼（Cay?Mann）、詹尼弗·麥克勞德（Jennifer?McLoud）與大衛·馮·達爾尤（David?Von?Derau）發現第15種可鑲嵌五邊形，再次將人們的目光吸引到了五邊形鑲嵌問題上，似乎這樣的五邊形還會越來越多。[3]

4．全等的特殊六邊形可鑲嵌平面

1918年，萊因哈特證明了只有3類六邊形能鑲嵌平面，圖7是其中之一。在圖7的六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d。

5．七邊形或多于七邊的凸多邊形，不能鑲嵌平面。

用同一種正多邊形鑲嵌

公式：（n-2)*180/nx=360，其中n為多邊形的邊數，x為要鋪設這個多邊形的個數，若x不為正整數,則不能進行鑲嵌。[2]

用相同的正多邊形鋪地板.對于給定的某種正多邊形，它能否拼成一個平面圖形，而不留一點空隙？顯然問題的關鍵在于分析能用于完整鋪平地面的正多邊形的內角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角360°時，就鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內角為(n-2)180，要求k個正n邊形各有一個內角拼于一點,恰好覆蓋地面，這樣360°=k(n-2)180/n，而k是正整數，所以n只可能為3、4、6。

所以只有正三角形、正方形和正六邊形可鑲嵌平面，用其它正多邊形不能鑲嵌平面。

用多種正多邊形鑲嵌

所有的方法：

用1種：（3，3，3，3，3，3）（4，4，4，4）（6，6，6）；

用2種：（4，8，8）（3，12，12）（3，3，6，6）（3，3，3，3，6）（3，3，3，4，4）（5，5，10）

用3種：（3，4，4，6）（4，6，12）（3，3，4，12）（3，10，15）（3，9，18）（3，8，24）（3，7，42）（*4，5，20）

其中的數字分別代表正多邊形的邊數。共有17種。

是枚舉出來的。

證明不能用3種以上的多邊形鑲嵌：

因為若用4種，則內角和最小為60+90+108+120=378>360，（三角形、正方形、正五邊形、正六邊形）。

另外其中帶星號的的兩個（5,10,10）（3,7,42）是只能在一個點鑲嵌，而不能在整個平面鑲嵌。不帶這兩個，則是有15種方法。

例如：用正三角形和正六形的組合進行鑲嵌。設在一個頂點周圍有m個正三角形的角，有n個正六邊形的角。由于正三角形的每個角是60°，正六邊形的每個角是120°。所以有

m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6。

這個方程的正整數解

可見用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型，一種是在一個頂點的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，另一種是在一個頂點的周圍有2個正三角形和2個正六邊形，如圖8、圖9。

參考資料