柯西積分定理（復變函數論核心定理）

柯西積分定理（復變函數論核心定理）

柯西積分定理 （復變函數論核心定理） 次瀏覽 | 2022.09.04 09:25:00 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 柯西積分定理復變函數論核心定理

柯西積分定理（或稱柯西－古薩定理），是一個關于復平面上全純函數的路徑積分的重要定理。柯西積分定理說明，如果從一點到另一點有兩個不同的路徑，而函數在兩個路徑之間處處是全純的，則函數的兩個路徑積分是相等的。

另一個等價的說法是，單連通閉合區域上的全純函數沿著任何可求長閉合曲線的積分是0。

中文名

柯西積分定理

外文名

CaCauchy?integral?theorem

提出者

柯西

適用領域

高等數學

定理定義

復變函數論的核心定理?。?它討論一個區域D上的復函數在什么條件下在D上積分與路徑無關?，?最簡單的柯西積分定理的形式為:當D是單連通區域，而f(z)是D上的解析函數時，以下3個互相等價的結論成立?:?①?f(z)?在D內沿任意可求長曲線積分與路徑無關。②f(?z?)在?D內沿任意可求長閉曲線積分為零。③f(z?)在D上有原函數。?如果在連續函數類中討論，則以上定理還是可逆的。

應用例子

在上述條件下?，若?L=L0+…+L即D由L0，，…，L所圍成，

作為柯西積分定理的應用，有同樣可作為解析函數充要條件的柯西積分公式:f(z)在上連續?，在D內解析的充要條件是。

柯西積分定理指出，如果全純函數的閉合積分路徑沒有包括奇點，那么其積分值為0;如果包含奇點，則外部閉合路徑正向積分的值等于包圍這個奇點的內環上閉合路徑的正向積分值。

柯西積分公式是證明一系列解析函數重要性質的工具，首先是證明了圓盤上的解析函數一定可展為冪級數?，從而證明了?A.-L.柯西與K.魏爾斯特拉斯關于解析函數兩個定義的等價性?，其次證明了解析函數是無限次可微的，從而其實部與虛部也是無限次可微的調和函數。柯西積?分定理?已推廣到沿同?倫曲線或沿同調鏈?積分的形式。柯西積分公式在多復變函數中也有許多不同形式.

函數

簡單的說，定義如下:

設C是一條簡單閉曲線，函數f(z)在以C為邊界的有界區域D內解析，那么有:

f(z)對曲線的閉合積分值為零。

過程

(注:f(z)為復函數)

(上述定義直接證明是比較困難的?在加上f(z)的導數在c上連續這個條件后，黎曼于1851年運用格林公式給出了簡明的證明過程

折疊正式的證明

1900年古薩給出了正式的證明)

U是單連通的條件，意味著U沒有"洞"，例如任何一個開圓盤U=?{z:?|z?z0?|?<r}都符合條件，這個條件是很重要的，考慮以下路徑

它是一個單位圓，則路徑積分不等于零;這里不能使用柯西積分定理，因為f(z)?=?1/z在z?=?0處沒有定義。

參考資料