隨機(jī)變量（數(shù)學(xué)概念）

隨機(jī)變量（數(shù)學(xué)概念）

隨機(jī)變量 （數(shù)學(xué)概念） 次瀏覽 | 2022.09.09 11:12:33 更新 來(lái)源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)概念

隨機(jī)變量（randomvariable）表示隨機(jī)現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象）中各種結(jié)果的實(shí)值函數(shù)（一切可能的樣本點(diǎn)）。例如某一時(shí)間內(nèi)公共汽車(chē)站等車(chē)乘客人數(shù)，電話(huà)交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測(cè)定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。

中文名

隨機(jī)變量

外文名

random variable

適用領(lǐng)域

高等數(shù)學(xué)、概率論

基本類(lèi)型

離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量

詳細(xì)分析表示方法

隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的量的表示。[1]例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，電話(huà)交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，隨機(jī)抽查的一個(gè)人的身高，懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。

一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果（稱(chēng)為基本事件）的全體組成一個(gè)基本空間Ω(見(jiàn)概率)。隨機(jī)變量x是定義于Ω上的函數(shù)，即對(duì)每一基本事件ω∈Ω，有一數(shù)值x(ω)與之對(duì)應(yīng)。以擲一顆骰子的隨機(jī)試驗(yàn)為例，它的所有可能結(jié)果見(jiàn)，共6個(gè)，分別記作ω,ω,ω,ω,ω,ω,這時(shí)，Ω={ω,ω,ω,ω,ω,ω},而出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量x，就是Ω上的函數(shù)x(ω)=k，k=1,2,…，6。

又如設(shè)Ω={ω,ω,…，ωn}是要進(jìn)行抽查的n個(gè)人的全體，那么隨意抽查其中一人的身高和體重，就構(gòu)成兩個(gè)隨機(jī)變量x和Y,它們分別是Ω上的函數(shù)：x(ω)=“ω的身高”，Y(ω)=“ω的體重”，k=1,2,…，n。一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)隨機(jī)變量所取的值可以是離散的（如擲一顆骰子的點(diǎn)數(shù)只取1到6的整數(shù)，電話(huà)臺(tái)收到的呼叫次數(shù)只取非負(fù)整數(shù)），也可以充滿(mǎn)一個(gè)數(shù)值區(qū)間，或整個(gè)實(shí)數(shù)軸（如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移）。

研究方法

在研究隨機(jī)變量的性質(zhì)時(shí)，確定和計(jì)算它取某個(gè)數(shù)值或落入某個(gè)數(shù)值區(qū)間內(nèi)的概率是特別重要的。因此，隨機(jī)變量取某個(gè)數(shù)值或落入某個(gè)數(shù)值區(qū)間這樣的基本事件的集合，應(yīng)當(dāng)屬于所考慮的事件域。根據(jù)這樣的直觀(guān)想法，利用概率論公理化的語(yǔ)言，取實(shí)數(shù)值的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)定義可確切地表述如下：概率空間(Ω,F,p)上的隨機(jī)變量x是定義于Ω上的實(shí)值可測(cè)函數(shù)，即對(duì)任意ω∈Ω，x(ω)為實(shí)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，使x(ω)≤x的一切ω組成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。

有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述。例如對(duì)地面目標(biāo)射擊，彈著點(diǎn)的位置需要兩個(gè)坐標(biāo)才能確定，因此研究它要同時(shí)考慮兩個(gè)隨機(jī)變量，一般稱(chēng)同一概率空間(Ω,F,p)上的n個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的n維向量X=(x,x,…，x)為n維隨機(jī)向量。隨機(jī)變量可以看作一維隨機(jī)向量。稱(chēng)n元x,x,…，x的函數(shù)為X的(聯(lián)合)分布函數(shù)。又如果(x,x)為二維隨機(jī)向量，則稱(chēng)x+ix(i=-1)為復(fù)隨機(jī)變量。

隨機(jī)變量的獨(dú)立性獨(dú)立性是概率論所獨(dú)有的一個(gè)重要概念。設(shè)x,x,…，xn是n個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)任何n個(gè)實(shí)數(shù)x,x,…，xn都有即它們的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,x,…，x)等于它們各自的分布函數(shù)F(x),F(x),…，F(xiàn)(x)的乘積，即稱(chēng)x，x,…，x是獨(dú)立的。這一定義可以直接推廣到每一x(k=1,2,…，n)是隨機(jī)向量的情形。獨(dú)立性的直觀(guān)意義是：x,x,…，x中的任何一個(gè)取值的概率規(guī)律，并不隨其中的其他隨機(jī)變量取什么值而改變。在實(shí)際問(wèn)題中通常用它來(lái)表征多個(gè)獨(dú)立操作的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果或多種有獨(dú)立來(lái)源的隨機(jī)因素的概率特性，因此它對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用是十分重要的。

從隨機(jī)變量(或向量)x，x,…，x的獨(dú)立性還可以推出：設(shè)B是x取值的空間中的任意波萊爾集，k=1,2,…，n，則有設(shè)x,x,…，x是獨(dú)立的，則它們中的任意個(gè)都是獨(dú)立的。但逆之即使其中任何n-1個(gè)是獨(dú)立的，也不保證x,x,…，x是獨(dú)立的。又如果?(x),i=1,2,…，n,是n個(gè)連續(xù)函數(shù)或初等函數(shù)(或更一般的波萊爾可測(cè)函數(shù))，則從x,x,…，x的獨(dú)立性可推出?(x)，?(x),…，?(x)也獨(dú)立。如果隨機(jī)變量(隨機(jī)向量)序列x,x,…，x,…中任何有限個(gè)都獨(dú)立，則稱(chēng)之為獨(dú)立隨機(jī)變量（隨機(jī)向量）序列。

關(guān)于隨機(jī)變量的矩、特征函數(shù)、母函數(shù)及半不變量，分別見(jiàn)數(shù)學(xué)期望、方差、矩及概率分布。

參考資料