萊布尼茨公式（萊布尼茨提出的數學公式）

萊布尼茨公式（萊布尼茨提出的數學公式）

萊布尼茨公式 （萊布尼茨提出的數學公式） 次瀏覽 | 2022.10.29 18:10:38 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 萊布尼茨公式萊布尼茨提出的數學公式

萊布尼茨法則，也稱為乘積法則，是數學中關于兩個函數的積的導數的一個計算法則。

中文名

萊布尼茨公式

外文名

Leibniz?formula

提出者

萊布尼茨（Gottfried?Leibniz）

應用學科

高等數學

別名

乘法法則

表達式

(uv)’=u'v v'u

適用領域

導數

基本信息

不同于牛頓-萊布尼茨公式（微積分學），萊布尼茨公式用于對兩個函數的乘積求取其高階導數，

一般的，如果函數與函數在點處都具有階導數，那么此時有

也可記為：

其中，為組合數，

利用面積推導

假設

且f和g在x點可導。那么：

以下的差

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區(qū)域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

因此，(1)的表達式等于：

易得(4)的表達式等于：

因為當w→x時，f(x)不變；

因為g在x點可導；

因為f在x點可導；以及

因為g在x點連續(xù)（可導的函數一定連續(xù)）。

可以得出結論，(5)的表達式等于：

.

推導過程

如果存在函數與，且它們在點x處都具有n階導數，那么顯而易見的，

在處也具有階導數，且

至于的階導數則較為復雜，按照基本求導法則和公式，可以得到：

…………

運用數學歸納法可證

上式便稱為萊布尼茨公式（Leibniz公式）

區(qū)別

由于名稱相似，不少人將牛頓-萊布尼茨公式與萊布尼茨公式相混淆，事實上他們是兩個完全不同的公式。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學中的一個重要公式，它把不定積分與定積分相聯系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。其基本形式為

而萊布尼茨公式是導數計算中會使用到的一個公式，它是為了求取兩函數乘積的高階導數而產生的一個公式。

二者存在本質上的區(qū)別。

相關人物

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨[1]

弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried?Wilhelm?Leibniz，1646年—1716年），德國哲學家、數學家，和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。有人認為，萊布尼茨最大的貢獻不是發(fā)明微積分，而是微積分中使用的數學符號，因為牛頓使用的符號普遍認為比萊布尼茨的差。他所涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。

參考資料