分形維數(shù)（幾何學術語）

分形維數(shù)（幾何學術語）

分形維數(shù) （幾何學術語） 次瀏覽 | 2022.11.26 15:04:51 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 分形維數(shù)幾何學術語

分形維數(shù)被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學的一個新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。分維反映了復雜形體占有空間的有效性，它是復雜形體不規(guī)則性的量度。它與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下或過程中，在某一方面（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時間，能量等）表現(xiàn)出與整體的相似性，它承認空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的，進而拓展了視野。

中文名

分形維數(shù)

外文名

fractal dimension

所屬學科

幾何學

應用

數(shù)學，地理，生物，機械故障診斷

歷史

分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學家曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追溯到1875年，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托（G.Cantor，德國數(shù)學家）構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年，意大利數(shù)學家皮亞諾（G.Peano）構(gòu)造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數(shù)學家科赫（H.von?Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓撲學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。

1910年，德國數(shù)學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分數(shù)維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數(shù)。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分數(shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產(chǎn)生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數(shù)概念。以后，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。

原理簡介

fractal?dimension主要描述分形最主要的參量，簡稱分維。通常歐幾里德幾何中，直線或曲線是1維的，平面或球面是2維的，具有長、寬、高的形體是?3?維的；然而對于分形如海岸線、科赫曲線、謝爾賓斯基海綿等的復雜性無法用維數(shù)等于?1、2、3?這樣的數(shù)值來描述?？坪涨€第一次變換將1英尺的每邊換成4個長1/3英寸的線段，總長度變?yōu)?3×4×1/3=4?英寸；每一次變換使總長度變?yōu)槌艘?/3，如此無限延續(xù)下去，曲線本身將是無限長的。這是一條連續(xù)的回線，永遠不會自我相交，回線所圍的面積是有限的，它小于一個外接圓的面積。因此科赫曲線以它無限長度擠在有限的面積之內(nèi)，確實是占有空間的?，它比1維要多，但不及2維圖形，也就是說它的維數(shù)在1和2之間，維數(shù)是分數(shù)。同樣，謝爾賓斯基海綿內(nèi)部全是大大小小的空洞，表面積是無限大，而占有的?3?維空間是有限的，其維數(shù)在2和3之間。

詳細內(nèi)容

計算分形維數(shù)的公式如下

式中是小立方體一邊的長度，?是用此小立方體覆蓋被測形體所得的數(shù)目，維數(shù)公式意味著通過用邊長為?的小立方體覆蓋被測形體來確定形體的維數(shù)。對于通常的規(guī)則物體?，覆蓋一根單位?長度的線?段所需?的數(shù)目要?，覆蓋一個單位邊長的正方形，?，覆蓋單位邊?長的立方體，?。從這三個式子可見維數(shù)公式也適用于通常的維數(shù)含義。利用維數(shù)公式可算得科赫曲線的維數(shù)?，謝爾賓斯基海綿的維數(shù)d=(ln3/ln2)=1.585。對于無規(guī)分形，可用不同的近似方法予以計算，也可用一定的適當方法予以測定。

參考資料