范德蒙行列式就是在求線形遞歸方程通解的時候計算的特殊行列式。范德蒙德行列式的標準形式為n階范德蒙行列式等于這個數的所有可能的差的乘積。根據范德蒙德行列式的特點,可以將所給行列式化為范德蒙德行列式,然后利用其結果計算。
中文名范德蒙行列式
外文名Vandermonde?determinant
所屬學科數學
應用求線形遞歸方程通解等
定義形如
的n階行列式稱為范德蒙行列式。[1]
性質對任意的n(n2),n階范德蒙行列式Dn為
則它等于這n個數x1,x2,...,xn的所有可能的差的乘積,即
證明用數學歸納法。當n=2時,范德蒙德行列式D2=x2-x1,范德蒙德行列式成立;現假設范德蒙德行列式對n-1階也成立,對于n階有:首先要把Dn降階,從第n列起用后一列減去前一列的x1倍,然后按第一行進行展開,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1,于是就有Dn=(xi-xj)(其中表示連乘符號,其下標i,j的取值為mij1),原命題得證。
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