整數（數學名詞）

整數（數學名詞）

整數 （數學名詞） 次瀏覽 | 2022.04.30 16:16:03 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 整數數學名詞

整數（Integer）：像-2，-1，0，1，2這樣的數稱為整數。德語中的整數叫做Zahlen。（整數是表示物體個數的數，0表示有0個物體）整數是人類能夠掌握的最基本的數學工具。整數的全體構成整數集，整數集合是一個數環。在整數系中，自然數為0和正整數的統稱，稱0為零，稱-1、-2、-3、…、-n、…（n為整數）為負整數。正整數、零與負整數構成整數系。一個給定的整數n可以是負數（n∈Z-），非負數（n∈Z*），零（n=0）或正數（n∈Z+）。如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所采用的字母也表示整數。

中文名

整數

拼音

zhěng shù

英文名

integer

分類

零、正整數、負整數

關于整數集

為什么用Z表示整數集呢？這個涉及到一個德國女數學家對環理論的貢獻，她叫諾特。

1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年寫出的《整環的理想理論》是交換代數發展的里程碑。其中，諾特在引入整數環概念的時候（整數集本身也是一個數環），她是德國人，德語中的整數叫做Zahlen，于是當時她將整數環記作Z，從那時候起整數集就用Z表示了。

數學分類整數的分類

我們以0為界限，將整數分為三大類[1]

1.正整數，即大于0的整數如，1，2，3······直到n。

2.既不是正整數，也不是負整數，它是介于正整數和負整數的數。

3.負整數，即小于0的整數如，-1，-2，-3······直到-n。

正整數

它是從古代以來人類計數的工具。可以說，從“一頭牛，兩頭牛”或是“五個人，六個人”抽象化成正整數的過程是相當自然的。

正整數也可分成奇數和偶數兩類

零

不僅表示“沒有”（“無”），更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數并進行運算時，空位不放算籌，雖無空位記號，但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(Zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

奇數

在整數中，不能被2整除的數叫做奇數。日常生活中，人們通常把奇數叫做單數，它跟偶數是相對的。

偶數

整數中，能夠被2整除的數，叫做偶數，又稱雙數。

偶數包括正偶數、負偶數和0。

所有整數不是奇數（又稱單數），就是偶數。當n是整數時，偶數可表示為2n（n為整數）；奇數則可表示為2n+1（或2n-1）。在十進制里，我們可用看個位數的方式判斷該數是奇數還是偶數：個位為1,3,5,7,9的數為奇數；個位為0,2,4,6,8的數為偶數。

備注：現中學數學教材中規定：零和正整數為自然數。

性質應用

如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所采用的字母也表示整數。

定義

設a,b是給定的數，b≠0，若存在整數c，使得a=bc,則稱b整除a，記作b|a，并稱b是a的一個約數(因子)，稱a是b的一個倍數，如果不存在上述c，則稱b不能整除a。

整數整除性的一些數碼特征（即常見結論）

1與0的特性

1是任何整數的約數，即對于任何整數a，總有1|a。

0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0。

整除特征

（1）若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。

（2）若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。

（3）若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。

（4）若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。

（5）若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。

（6）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍數，余類推。

（7）若一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。

（8）若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。

（9）若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。

（10）若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是：倍數不是2而是1。

（11）若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。

（12）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的4倍，如果差是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（13）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（15）若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。

（16）若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。

（17）若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除

奇偶性

1、奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數；

2、奇數的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶數的平方可以表示為8m或（8m+4)的形式；

3、若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有一個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；偶數的平方根若是整數，它必偶數。

參考資料