勾股數（數學幾何學術語）

勾股數（數學幾何學術語）

勾股數 （數學幾何學術語） 次瀏覽 | 2022.05.10 08:42:05 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 勾股數數學幾何學術語

勾股數，又名畢氏三元數?。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（a2+b2=c2）。

中文名

勾股數

拼音：

gōu gǔ shù

別名：

畢氏三元數

表達式

a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

出自

《周髀算經》

應用學科

幾何

適用領域

數學，幾何學

簡介

①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起九沒有間斷過。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），并根據你發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關系，并對其中一種猜想加以說明。

③繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用上述類似的探索方法，之間用m的代數式來表示它們的股合弦。

常用套路

簡介

勾股數

所謂勾股數，一般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(例如a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

又由于，任何一個勾股數組(a,b,c)內的三個數同時乘以一個整數n得到的新數組(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以一般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組。

公式證明證明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

證：假設a^2+b^2=c^2，這里研究(a,b)=1的情況（如果不等于1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）

如果a,b均奇數，則a^2+b^2=2(mod4)（奇數mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k

等式化為4k^2=(c+b)(c-b)

顯然b,c同奇偶（否則右邊等于奇數矛盾）

作代換：M=(c+b)/2,N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數

往證：(M,N)=1

如果存在質數p，使得p|M,p|N,那么p|M+N(=c),p|M-N(=b),從而p|c,p|b,從而p|a，這與(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得證。

依照算術基本定理，k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...，其中a1,a2...均為偶數，p1,p2,p3...均為質數

如果對于某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M,pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾所以對于所有質因子,pi^2|M,pi^2|N，即M，N都是平方數。

設M=m^2,N=n^2

從而有c+b=2m^2,c-b=2n^2，解得c=m^2+n^2,b=m^2-n^2,從而a=2mn

推廣形式

關于勾股數的公式還是有局限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來。

但可以采用同乘以任意整數的形式來獲取所有解！

其中規定m>n>0（兩負數相乘可抵消固不考慮），(m,n)=1，m和n必須為一奇一偶，t為正整數

完全公式公式

a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3

⒈、當m確定為任意一個≥3的奇數時，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉、當m確定為任意一個≥4的偶數時，k={m^2/2的所有小于m的偶數因子}

基本勾股數與派生勾股數可以由完全一并求出。例如，當m確定為偶數432時，因為k={432^2/2的所有小于432的偶數因子}={2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，將m=432及24組不同k值分別代入b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2；即得直角邊a=432時，具有24組不同的另一直角邊b和斜邊c，基本勾股數與派生勾股數一并求出。而勾股數的組數也有公式能直接得到。

組數N

算術基本定理：一個大于1的正整數n，如果它的標準分解式為n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因數個數為N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依據定理，易得以下結論

當a給定時，不同勾股數組a，b，c的組數N等于①式中k的可取值個數

⒈、取奇數a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，則k的可取值個數：

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

⒉、取偶數a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2/2的所有小于a的偶數因子}，則k的可取值個數：

N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

其中，p1，p2，……，pr為互不相同的奇素數，m0，m1，……，mr為冪指數。

整勾股數

JAVA編程

常見組合

3，4，5：勾三股四弦五

5，12，13：5·12記一生（13）

6，8，10：連續的偶數

8，15，17：八月十五在一起（17）

特殊組合

連續的勾股數只有3，4，5

連續的偶數勾股數只有6，8，10

特點

觀察分析上述的勾股數，可看出它們具有下列二個特點：

1、直角三角形短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續自然數。

2、一個直角三角形的周長等于短直角邊的平方與這邊的和。

掌握上述二個特點，為解一類題提供了方便。

例：直角三角形的三條邊的長度是正整數，其中一條短直角邊的長度是13，求這個直角三角形的周長是多少？

用特點1解：設這個直角三角形三邊分別為13、x、x+1，則有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182。

用特點2解：此直角三角形是以奇數為邊構成的直角三角形，因此周長=169+13=182。

參考資料