單擺公式

談單擺周期公式中的等效擺長和等效重力加速度-2019年文檔

談單擺周期公式中的等效擺長和等效重力加速度

單擺的周期公式T=2π是惠更斯從實驗中總結出來的,單擺的恢復

力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力(mgsinθ)偏角越大

回復力越大,由于擺球的軌跡是圓弧,所以除最高點外擺球的恢復力并不

等于合外力。在有些振動系統中,L不一定是繩長,g也不一定是當地的

重力加速度,因此出現了等效擺長和等效重力加速度的問題。

等效擺長:在擺球的直徑遠小于繩長的情況下,擺長L為小球重心與

懸點間的距離。即L=L+r,其中L為擺線長,r為小球重心與球繩連接點

間的距離。通常使用均勻球體,r為球的半徑。例如圖(1)所示用兩根等

長的細線懸掛在水平天花板下的雙線擺的等效擺長為l'=Lsinα。

例如圖(2)所示等效擺長為:l'=L+Lsinα=L(1+sinα),故周期T=2π。

例如圖(3)所示是一種記錄地震裝置的水平擺,擺球m固定在邊長為

L、質量可忽略不計的等邊三角形的頂點A上,它的對邊BC跟豎直線成

不大的夾角α,擺球可繞固定軸BC擺動,求擺球做微小振動的周期?

解(1)如圖(4)所示擺球處于平衡位置時過A作一豎直線,延長BC交

與D(如右圖),DA即為等效擺長,其長度

為:l'=sin60°=L,而等效重力加速度仍為g,因此周期為

T=2πL。

解(2)如圖(3)所示在平衡位置時(圖中的ABC平面內),把

擺球的重力G分解為與軸BC平行的分力G1和與軸垂直的分力

G2,此時等效擺長為l=Lsin60°=L,等效重力加速度為

g'==gsinα,因此周期為T=2πL。

1.等效重力加速度:公式中的g由單擺所在的空間位置決定,由G=g

知,g隨地球表面不同位置、不同高度而變化。在不同的星球上也不相

同,因此應求出單擺所在處的等效重力加速度,即g不一定等于9.8m/s2。

2.g還由單擺系統的運動狀態決定。如單擺處于加速上升的升降

機內,設加速度為a,此時擺球處于超重狀態,擺球靜止在平衡位置時,懸線

對擺球的拉力為mg+ma,擺球的質量不變則等效重力加速度為g+a。

再如,單擺處在在軌道上航行的航天飛機內,擺球完全失重,懸線的拉力是

零,等效重力加速度是零,因此周期無窮大,即單擺不擺動了。

3.g還由擺球所處的物理環境決定,如圖(6)所示帶電小球做成的單

擺在豎直方向的勻強電場中靜止時,懸線的拉力是

mg+qE,此時等效重力加速度為g'=mg+qE/m。

所以等效重力加速度等于擺球在平衡位置不擺動時,擺線的拉力與

擺球質量的比值。

4.如圖(7)所示若帶電小球處在水平方向的勻強電場中,擺

球的平衡位置在O處(也叫物理最低點),此時擺線對小球的拉力

為F=,等效重力加速度是g'=。

5.對于一些特殊情況,用擺球在平衡位置不擺動時,擺線的拉力與擺

球質量的比值,來求等效重力加速度就不再成立,如圖(5)所示在懸點和小

球都帶同種電荷的情況下,小球靜止在平衡位置時懸線的拉力為

F=mg+K,但此時等效重力加速度g'=g,即周期為2π,因為盡管懸線的

拉力大于mg,但在擺動過程中擺球的恢復力仍等于mgsinα,即靜電力

對恢復力沒有貢獻。

綜上所述,等效重力加速度的求法,在恒力場里,當擺球在平衡位置不

擺動時,可以用擺線的拉力與擺球質量的比值來求等效重力加速度。