勾股定理的證明(勾股定理的證明方法最簡單的6種)

如何證明勾股定理？

簡單的勾股定理的證明方法如下：

做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形。

發(fā)現(xiàn)四個直角三角形和一個邊長為a的正方形和一個邊長為b的正方形，剛好可以組成邊長為（a+b）的正方形；四個直角三角形和一個邊長為c的正方形也剛好湊成邊長為（a+b）的正方形。

所以可以看出以上兩個大正方形面積相等。 列出式子可得：

拓展資料：

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

參考資料：勾股定理_百度百科

勾股定理的證明方法是？

勾股定理的證明方法如下

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

因為∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結(jié)果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

擴展資料：

勾股定理的意義

1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端。

2、勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。

3、勾股定理導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學危機，大大加深了人們對數(shù)的理解。

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

勾股定理的證明方法

最常見的勾股定理證明方法是歐幾里得證明，設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

在歐氏《幾何原本》中，勾股定理的證明方法是：以直角三角形的三條邊為邊，分別向外作正方形，然后利用面積方法加以證明。如圖，設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等，即 ， 。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半，如。

任意一個正方形的面積等于其兩邊長的乘積。

任意一個矩形的面積等于其兩邊長的乘積。

證明的方法如下：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成正方形CBDE、BAGF和ACIH。如上圖，

畫出過點A與BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A、K和L在同一直線上，所以四邊形面積。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形面積。

因此=AB²。

同理可證，=AC²。

把這兩個結(jié)果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

勾股定理的多種證明方法

勾股定理的10種證明方法：課本上的證明

勾股定理的10種證明方法：鄒元治證明

勾股定理的10種證明方法：趙爽證明

勾股定理的10種證明方法：1876年美國總統(tǒng)Garfield證明

勾股定理的10種證明方法：項明達證明

勾股定理的10種證明方法：歐幾里得證明

勾股定理的10種證明方法：楊作玫證明

勾股定理的10種證明方法：切割定理證明

勾股定理的10種證明方法：直角三角形內(nèi)切圓證明

勾股定理的10種證明方法：反證法證明

擴展資料：

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。

勾股數(shù)組是滿足勾股定理的正整數(shù)組，其中的稱為勾股數(shù)。例如就是一組勾股數(shù)組。任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式：，，，其中均為正整數(shù)，且。

定理用途：已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內(nèi)兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。

意義：

1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；

2．勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理；

3．勾股定理導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學危機，大大加深了人們對數(shù)的理解；

4．勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

勾股定理的幾種證明方法

勾股定理常用的公式就一個，就是a的平方加上b的平方等于c的平方，如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為C，那么公式就是：a²+b²=c²。

勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。

勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方。

歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點畫一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。

任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。

勾股定理的證明方法

勾股定理的證明方法：

1、以a b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于2分之一ab。

2、AEB三點在一條直線上，BFC三點在一條直線上，CGD三點在一條直線上。

3、證明四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形后即可推出勾股定理。

勾股定理的意義

1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端。

2、勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。

3、勾股定理導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學危機，大大加深了人們對數(shù)的理解。

4、勾股定理是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實用價值。這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他科學領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個數(shù)學公式”郵票，這十個數(shù)學公式由著名數(shù)學家選出的，勾股定理是其中之首。