十字相乘

十字相乘法是什么

十字相乘法本質(zhì)是一種簡(jiǎn)化方程的形式，它能把二次三項(xiàng)式分解因式，但是要?jiǎng)?wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。十字相乘法的方法簡(jiǎn)單來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。

方法/步驟

明確十字相乘法的概念和核心。

我們來(lái)看一下這個(gè)乘法公式(x+a)(x+b),我們很容易解得(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab。現(xiàn)在將它逆過(guò)來(lái)看。

這樣分解出來(lái)，結(jié)果要怎么寫呢？我們繼續(xù)看x²+(a+b)x+ab的因式分解。

如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，又該怎么分解呢？我們看一下這個(gè)例題。

下面我們看一下，十字相乘法在因式分解中的應(yīng)用。

了解一下十字相乘法在解方程中的應(yīng)用。

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十字相乘法進(jìn)行因式分解可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，很實(shí)用的一種方法。但不是所有的因式分解都可以用十字相乘法，不能盲目使用，我們應(yīng)該在做題過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，盡快判斷能否使用這種方法。

十字相乘法的技巧

十字相乘法的具體方法：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng),交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù).

應(yīng)用十字相乘法解題的實(shí)例：

例1把m²+4m-12分解因式

分析：

本題中常數(shù)項(xiàng)-12可以分為-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1當(dāng)-12分成-2×6時(shí),才符合本題

因?yàn)?1 -2

1 ╳ 6

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式

分析：

本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)分為1×5,常數(shù)項(xiàng)分為-4×2時(shí),才符合本題

因?yàn)?1 2

5 ╳ -4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）

例3解方程x²-8x+15=0

分析：

把x²-8x+15看成關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式,則15可分成1×15,3×5.

因?yàn)?1 -3

1 ╳ -5

所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x²-5x-25=0

分析：

把6x²-5x-25看成一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式,則6可以分為1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.

因?yàn)?2 -5

3 ╳ 5

所以 原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0

所以 x1=5/2 x2=-5/3

擴(kuò)展資料：

十字分解法的方法簡(jiǎn)單來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。

十字分解法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式（不一定是整數(shù)范圍內(nèi)）。對(duì)于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）這樣的整式來(lái)說(shuō)，這個(gè)方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積，并使a1c2+a2c1正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)b。

那么可以直接寫成結(jié)果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)，它的實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

參考資料：百度百科-十字相乘法

什么是十字相乘？

十字相乘的運(yùn)用常常是用來(lái)分解二次項(xiàng)公式，有十字相乘法，又名十字分解法。十字相乘法的方法簡(jiǎn)單來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。十字分解法能把二次三項(xiàng)式分解因式（不一定在整數(shù)范圍內(nèi)）。對(duì)于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1·a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)，它的實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

十字相乘法怎么算

十字相乘法計(jì)算要把二次項(xiàng)拆成兩個(gè)因式的積，常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)常數(shù)的積，然后十字圖案交叉相乘，若合并后的結(jié)果為一次項(xiàng)，說(shuō)明分解正確，再把每一行寫在一個(gè)括號(hào)里相乘即可。若合并后的結(jié)果不是一次項(xiàng)，需要重新調(diào)整嘗試。

十字交叉法因式分解：先將二次項(xiàng)系數(shù)拆成兩個(gè)乘積的形式，再將常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)乘積的形式，然后交叉乘積后等于一次項(xiàng)系數(shù)。

1、提取公因式法。

2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。

例如：配方法和十字交叉法等。

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2。

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3。

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3。

這就是所謂的雙十字相乘法。

十字相乘法的方法口訣：

十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。

十字相乘法的用處：

（1）用十字相乘法來(lái)分解因式。

（2）用十字相乘法來(lái)解一元二次方程。

十字相乘法的優(yōu)點(diǎn)：

用十字相乘法來(lái)解題的速度比較快，能夠節(jié)約時(shí)間，而且運(yùn)用算量不大，不容易出錯(cuò)。

十字相乘法是什么？

十字相乘法
十字相乘法是因式分解中十四種方法之一，另外十三種分別都是：1.提公因式法 2.公式法 3.雙十字相乘法 4.輪換對(duì)稱法 5.拆添項(xiàng)法 6.配方法7.因式定理法 8.換元法 9.綜合除法 10.主元法 11.特殊值法 12.待定系數(shù)法 13.二次多項(xiàng)式。
十字分解法的方法簡(jiǎn)單來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。[1]
十字分解法能用于二次三項(xiàng)式（一元二次式）的分解因式（不一定是整數(shù)范圍內(nèi)）。對(duì)于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)這樣的整式來(lái)說(shuō)，這個(gè)方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積，并使a1c2+a2c1正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)b。那么可以直接寫成結(jié)果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)，它的實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
中文名
十字相乘法
外文名
Cross multiplication
別名
十字相乘
表達(dá)式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
適用領(lǐng)域
因式分解題目，數(shù)學(xué)
快速
導(dǎo)航
判定運(yùn)算舉例分解因式例題解析重難點(diǎn)注意事項(xiàng)
原理
一個(gè)集合中的個(gè)體，只有2個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為A，剩余部分取值為B。平均值為C。求取值為A的個(gè)體與取值為B的個(gè)體的比例。假設(shè)總量為S， A所占的數(shù)量為M，B為S-M。
則：[A*M+B*(S－M)]/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此：M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的計(jì)算過(guò)程可以抽象為：
A ^C-B
^C
B^ A-C
這就是所謂的十字分解法。X增加，平均數(shù)C向A偏，A-C(每個(gè)A給B的值）變小，C-B(每個(gè)B獲得的值）變大，兩者如上相除=每個(gè)B得到幾個(gè)A給的值。
判定
對(duì)于形如ax2+bx+c的多項(xiàng)式，在判定它能否使用十字分解法分解因式時(shí)，可以使用Δ=b2-4ac進(jìn)行判定。當(dāng)Δ為完全平方數(shù)時(shí)，可以在整數(shù)范圍對(duì)該多項(xiàng)式進(jìn)行十字相乘。
運(yùn)算舉例
例1：a2+a-42
首先，我們看看第一個(gè)數(shù)，是a2，代表是兩個(gè)a相乘得到的，則推斷出(a+?)×(a-?)，
然后我們?cè)倏吹诙?xiàng)，+a 這種式子是經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)以后得到的結(jié)果，所以推斷出是兩項(xiàng)式×兩項(xiàng)式。
再看最后一項(xiàng)是-42 ，-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。
首先，21和2無(wú)論正負(fù)，通過(guò)任意加減后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除前者。
然后，再確定是-7×6還是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因?yàn)橐淮雾?xiàng)系數(shù)為1，所以確定是7×﹣6。
所以a2+a-42就被分解成為(a+7）×(a-6），這就是通俗的十字分解法分解因式。
具體應(yīng)用
雙十字分解法是一種因式分解方法。對(duì)于型如 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F 的多項(xiàng)式的因式分解，常采用的方法是待定系數(shù)法。這種方法運(yùn)算過(guò)程較繁。對(duì)于這問(wèn)題，若采用“雙十字分解法”（主元法），就能很容易將此類型的多項(xiàng)式分解因式。
例2：3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因?yàn)?=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，
而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1
要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為0，0乘任何數(shù)得0，
例3：ab+b2+a-b-2
=0×1×a2+ab+b2+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2）
提示：設(shè)x2=y，用拆項(xiàng)法把cx2拆成mx2與ny之和。
例4：2x^4+13x^3+20x2+11x+2
=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x2+3x+1)(x2+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x2+5x+2)
分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字分解法．對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字分解法分解因式。
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式．
對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字分解法，分解為
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字分解法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解
所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；
(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
這就是所謂的雙十字分解法．也是俗稱的“主元法”
用雙十字分解法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：
⑴用十字分解法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列）；
⑵把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一列、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．
我們把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n為非負(fù)整數(shù)）的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，…等記號(hào)表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x^5+x2+6，…，
當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示．如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根．
定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)至少有一個(gè)因式x-a．
根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根．對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根。
分解因式
例1、因式分解。
x2-x-56
分析：因?yàn)?x + (-8x) =-x
解：原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x2-10x+16
分析：因?yàn)?2x+(-8x)=-10x
解：原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y2+19y+15
分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但也可以用十字分解法進(jìn)行因式分解。
因?yàn)?br />9y + 10y=19y
解：原式=(2y+3)(3y+5)
例4、 因式分解。
14x2+3x-27
分析：因?yàn)?br />21x+(-18x)=3x
解：原式=(2x+3)(7x-9)
例5、 因式分解。
10(x+2)2-29(x+2)+10
分析：該題可以將（x+2）看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行因式分解。
因?yàn)?br />-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例題解析
例1
把2x2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).
分解二次項(xiàng)系數(shù)（只取正因數(shù) 因?yàn)槿∝?fù)因數(shù)的結(jié)果與正因數(shù)結(jié)果相同！）：
2=1×2=2×1；
分解常數(shù)項(xiàng)：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫(huà)十字交叉線方法表示下列四種情況：
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
經(jīng)過(guò)觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕螅瑑身?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)-7。
例2
解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地，對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積，即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字分解法.
例3
把5x2+6xy-8y2分解因式.
分析：這個(gè)多項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，把-8y2看作常數(shù)項(xiàng)，在分解二次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí)，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經(jīng)過(guò)觀察，選取合適的一組，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的一次式。
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式，只有先進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式再因式分解。
問(wèn)：以上乘積的因式是什么特點(diǎn)，用什么方法進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡(jiǎn)便?
答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2，就變?yōu)?(x-y)，它是第一個(gè)因式的二倍，然后把(x-y）看作一個(gè)整體進(jìn)行乘法運(yùn)算，可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于(x-y）的二次三項(xiàng)式，就可以用十字分解法分解因式了。
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：將元x、y換成(x+y)，以(x+y)為元，這就是“換元法”。
重難點(diǎn)
難點(diǎn)：靈活運(yùn)用十字分解法分解因式。因?yàn)椴⒉皇撬卸味囗?xiàng)式都可以用十字相乘法分解因式。
重點(diǎn)：正確地運(yùn)用十字分解法把某些二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式分解因式。
注意事項(xiàng)
第一點(diǎn)：用來(lái)解決兩者之間的比例問(wèn)題。
第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。
第三點(diǎn)：總均值放中央，對(duì)角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放在對(duì)角線上。　

十字相乘法怎么計(jì)算?

我們要把二次項(xiàng)拆成兩個(gè)因式的積，

常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)常數(shù)的積，然后十字圖案交叉相乘，若合并后的結(jié)果為一次項(xiàng)，說(shuō)明分解正確，再把每一行寫在一個(gè)括號(hào)里相乘即可。若合并后的結(jié)果不是一次項(xiàng)，需要重新調(diào)整嘗試。舉例如下：

例：x²–6x+5(二次項(xiàng)系數(shù)為1的情形)

x － 5

↘ ↗

↗ ↘

x –1

交叉相乘并相加得：

–x–5x=－6x等于一次項(xiàng)

說(shuō)明分解正確

∴x²–6x+5=(x–5)(x–1)

(把每行寫在一個(gè)括號(hào)里即可)

擴(kuò)展資料

十字分解法能用于二次三項(xiàng)式（一元二次式）的分解因式（不一定是整數(shù)范圍內(nèi)）。對(duì)于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）這樣的整式來(lái)說(shuō)。

這個(gè)方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積，并使a1c2+a2c1正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)b。那么可以直接寫成結(jié)果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。

在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)，它的實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

參考資料來(lái)源：百度百科-十字相乘法