專題
10
解三角形
1
．【
2022
年全國甲卷】沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算
圓弧長度的
“
會圓術
”
，如圖，
????
?
是以
O
為圓心，
OA
為半徑的圓弧，
C
是的
AB
中點，
D
在
????
?
上，
????⊥????
．
“
會圓術
”
給出
????
?
的弧長的近似值
s
的計算公式：
??=????+
????2
????
．當
????=2,∠??????
=60°
時，
??=
（）
A
．
11?3
√
3
2
B
．
11?4
√
3
2
C
．
9?3
√
3
2
D
．
9?4
√
3
2
【答案】
B
【解析】
【分析】
連接
????
，分別求出
????,????,????
，再根據題中公式即可得出答案
.
【詳解】
解：如圖，連接
????
，
因為
??
是
????
的中點，
所以
????⊥????
，
又
????⊥????
，所以
??,??,??
三點共線，
即
????=????=????=2
，
又
∠??????=60°
，
所以
????=????=????=2
，
則
????=
√
3
，故
????=2?
√
3
，
所以??=????+????2
????
=2+
(2?
√
3)
2
2
=11?4
√
3
2
.
故選：
B.
2
．【
2021
年甲卷文科】在
ABC
中，已知120B??，
19AC?
，
2AB?
，則
BC?
（）
A
．
1B
．
2
C
．
5
D
．
3
【答案】
D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到關于
BC
長度的方程，解方程即可求得邊長
.
【詳解】
設
,,ABcACbBCa???
，
結合余弦定理：2222cosbacacB???
可得：21942cos120aac??????
，
即：22150aa???
，解得：3a?（
5a??
舍去），
故
3BC?.
故選：
D.
【點睛】
利用余弦定理及其推論解三角形的類型：
(1)
已知三角形的三條邊求三個角；
(2)
已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；
(3)
已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．
3
．【
2021
年乙卷理科】魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一
題是測海島的高．如圖，點
E
，H，
G
在水平線
AC
上，
DE
和FG是兩個垂直于水平面且
等高的測量標桿的高度，稱為
“
表高
”
，
EG
稱為
“
表距
”
，
GC
和
EH
都稱為
“
表目距
”
，
GC
與
EH
的差稱為
“
表目距的差
”
則海島的高AB?（）
A
．
?
?
表高表距
表目距的差
表高
B
．
?
?
表高表距
表目距的差
表高
C
．
?
?
表高表距
表目距的差
表距
D
．
?表高表距
-
表目距的差
表距
【答案】
A
【解析】
【分析】
利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出．
【詳解】
如圖所示：
由平面相似可知，
,
DEEHFGCG
ABAHABAC
??
，而
DEFG?
，所以
DEEHCGCGEHCGEH
ABAHACACAHCH
??
????
?
，而CHCEEHCGEHEG?????，
即
CGEHEGEGDE
ABDEDE
CGEHCGEH
???
????
??
＝
+
?表高表距
表高
表目距的差
．
故選：
A.
【點睛】
本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉化即可解出．
4
．【
2020
年新課標
3
卷理科】在△
ABC
中，
cosC=
2
3
，
AC=4
，
BC=3
，則
cosB=
（）
A
．
1
9
B
．
1
3
C
．
1
2
D
．
2
3
【答案】
A
【解析】
【分析】
根據已知條件結合余弦定理求得
AB
，再根據
222
cos
2
ABBCAC
B
ABBC
??
?
?
，即可求得答案
.
【詳解】
在
ABC
中，
2
cos
3
C?
，
4AC?
，
3BC?
根據余弦定理：2222cosABACBCACBCC?????
222432
2
43
3
AB??????
可得29AB?
，即3AB?
由
22299161
cos
22339
ABBCAC
B
ABBC
????
???
???
故
1
cos
9
B?
.
故選：
A.
【點睛】
本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題
.
5
．【
2019
年新課標
1
卷文科】△
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，已知
asinA
－
bsinB=4csinC
，
cosA=
－
1
4
，則
b
c
=
A
．
6B
．
5C
．
4D
．
3
【答案】
A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推論得出
a
，
b
，
c
關系，在結合正弦定理邊角互換列出方程，解出結果
.
【詳解】
詳解：由已知及正弦定理可得2224abc??
，由余弦定理推論可得
22222141313
cos,,,46
4224242
bcacccb
A
bcbcbc
???
????????????，故選
A
．
【點睛】
本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用．
6
．【
2018
年新課標
2
卷理科】在
ABC?
中，
5
cos
25
C
?
,BC=1,AC=5
，則
AB=
A
．
42
B
．
30
C
．
29
D
．
25
【答案】
A
【解析】
【詳解】
分析：先根據二倍角余弦公式求
cosC,
再根據余弦定理求
AB.
詳解：因為22
53
cos2cos12()1,
255
C
C???????
所以222
3
2cos125215()3242
5
cababCc?????????????
，選
A.
點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈
活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的
.
7
．【
2018
年新課標
3
卷理科】
ABC
的內角ABC，，
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，若
ABC
的
面積為
222
4
abc??
，則
C?
A
．
π
2
B
．
π
3
C
．
π
4
D
．
π
6
【答案】
C
【解析】
【詳解】
分析：利用面積公式
1
2ABC
SabsinC?
和余弦定理2222abcabcosC???
進行計算可得．
詳解：由題可知
2221
24ABC
abc
SabsinC
??
??
所以2222absinCabc???
由余弦定理2222abcabcosC???
所以
sinCcosC?
??C0,π?
C
4
?
??
故選
C.
點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．
8
．【
2022
年全國甲卷】已知
△??????
中，點
D
在邊
BC
上，
∠??????=120°,????=2,????=2????
．當
????
????
取得最小值時，
????=
________
．
【答案】√
3?1##?1
+
√
3
【解析】
【分析】
設
????=2????=2??>0
，利用余弦定理表示出
????2
????2
后，結合基本不等式即可得解
.
【詳解】
設
????=2????=2??>0
，
則在
△??????
中，????
2=????2+????2?2?????????cos∠??????=??2+4+2??，
在
△??????
中，????
2=????2+????2?2?????????cos∠??????=4??2+4?4??，
所以
????2
????2
=4??2+4?4??
??2+4+2??
=4(??2+4+2??)?12(1+??)
??2+4+2??
=4?12
(??+1)+
3
??+1
≥4?12
2√(??+1)?
3
??+1
=4?2
√
3
，
當且僅當
??+1=
3
??+1
即
??=
√
3?1
時，等號成立，
所以當
????
????
取最小值時，
??=
√
3?1
.
故答案為：√
3?1.
9
．【
2021
年乙卷文科】記
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，面積為
3
，60B??，
223acac??
，則b?________
．
【答案】
22
【解析】
【分析】
由三角形面積公式可得
4ac?
，再結合余弦定理即可得解
.
【詳解】
由題意，
13
sin3
24ABC
SacBac???
，
所以224,12acac???
，
所以222
1
2cos12248
2
bacacB????????
，解得
22b?
（負值舍去）
.
故答案為：
22
.
10
．【
2020
年新課標
1
卷理科】如圖，在三棱錐
P–ABC
的平面展開圖中，
AC=1
，
3ABAD??
，
AB
⊥
AC
，
AB
⊥
AD
，∠
CAE=30°
，則
cos
∠
FCB=______________.
【答案】
1
4
?
【解析】
【分析】
在ACE中，利用余弦定理可求得
CE
，可得出
CF
，利用勾股定理計算出BC、
BD
，可得
出BF，然后在
BCF△
中利用余弦定理可求得cosFCB?的值
.
【詳解】
ABAC?，
3AB?
，
1AC?
，
由勾股定理得222BCABAC???，
同理得6BD?，
6BFBD???
，
在ACE中，
1AC?
，
3AEAD??
，
30CAE??
，
由余弦定理得222
3
2cos30132131
2
CEACAEACAE???????????，
1CFCE???，
在
BCF△
中，
2BC?
，6BF?，
1CF?
，
由余弦定理得
2221461
cos
22124
CFBCBF
FCB
CFBC
????
?????
???
.
故答案為：
1
4
?
.
【點睛】
本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題
.
11
．【
2019
年新課標
2
卷理科】
ABC
的內角
,,ABC
的對邊分別為
,,abc
.
若
π
6,2,
3
bacB???
，
則
ABC
的面積為
__________.
【答案】
63
【解析】
【分析】
本題首先應用余弦定理，建立關于
c
的方程，應用
,ac
的關系、三角形面積公式計算求解，
本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數學式子的變形及運算求解能
力的考查．
【詳解】
由余弦定理得2222cosbacacB???
，
所以222
1
(2)226
2
cccc??????
，
即212c?
解得23,23cc???（舍去）
所以
243ac??
，
113
sin432363.
222ABC
SacB
?
??????
【點睛】
本題涉及正數開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤．解答此類問
題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算．
12
．【
2019
年新課標
2
卷文科】
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c.
已知
bsinA+a
cosB=0
，則
B=___________.
【答案】
3
4
?
.
【解析】
【分析】
先根據正弦定理把邊化為角，結合角的范圍可得
.
【詳解】
由正弦定理，得
sinsinsincos0BAAB??
．
(0,),(0,)AB????
，
sin0,A??
得
sincos0BB??
，即
tan1B??
，
3
.
4
B
?
??
故選
D
．
【點睛】
本題考查利用正弦定理轉化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數學運算素養．采取定理法，利
用轉化與化歸思想解題．忽視三角形內角的范圍致誤，三角形內角均在
(0,)?
范圍內，化邊
為角，結合三角函數的恒等變化求角．
13
．【
2018
年新課標
1
卷文科】△
ABC
的內角ABC，，
的對邊分別為
abc，，
，已知
sinsin4sinsinbCcBaBC??
，2228bca???
，則△
ABC
的面積為
________
．
【答案】
23
3
.
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理將題中的式子化為
sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC??
，化簡求得
1
sin
2
A?
，利用余弦定理，結合題中的條件，可以得到
2cos8bcA?
，可以斷定A為銳角，從
而求得
3
cos
2
A?
，進一步求得
83
3
bc?
，利用三角形面積公式求得結果
.
【詳解】
因為
sinsin4sinsinbCcBaBC??
，
結合正弦定理可得
sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC??
，
可得
1
sin
2
A?
，因為2228bca???
，
結合余弦定理2222abcbccosA???
，可得
2cos8bcA?
，
所以A為銳角，且
3
cos
2
A?
，從而求得
83
3
bc?
，
所以
ABC?
的面積為
1183123
sin
22323
SbcA?????
，故答案是
23
3
.
【點睛】
本題主要考查余弦定理及正弦定理的應用，屬于中檔題
.
對余弦定理一定要熟記兩種形式：（
1
）
2222cosabcbcA???
；（
2
）
222
cos
2
bca
A
bc
??
?，同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件
.
另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住
30
、
45
、
60
等特殊角的三角
函數值，以便在解題中直接應用
.
14
．【
2022
年全國乙卷】記
△??????
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
﹐已知
sin??sin
(
?????
)
=
sin??sin
(
?????
)
．
(1)
若
??=2??
，求
C
；
(2)
證明：2??2=??2+??2
【答案】
(1)5π
8
；
(2)
證明見解析．
【解析】
【分析】
（
1
）根據題意可得，
sin??=sin
(
?????
)
，再結合三角形內角和定理即可解出；
（
2
）由題意利用兩角差的正弦公式展開得
sin??
(
sin??cos???cos??sin??
)
=sin??
(
sin??cos??
?cos??sin??
)
，再根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出．
(1)
由
??=2??
，
sin??sin
(
?????
)
=sin??sin
(
?????
)
可得，
sin??sin??=sin??sin
(
?????
)
，而
0
2
，
所以
sin??∈
(
0,1
)
，即有
sin??=sin
(
?????
)
>0
，而
0
π
,0
π
，顯然
??≠?????
，
所以，
??+?????=
π
，而
??=2??
，
??+??+??=
π
，所以
??=5π
8
．
(2)
由
sin??sin
(
?????
)
=sin??sin
(
?????
)
可得，
sin??
(
sin??cos???cos??sin??
)
=sin??
(
sin??cos???cos??sin??
)
，再由正弦定理可得，
????cos???????cos??=????cos???????cos??
，然后根據余弦定理可知，
1
2
(
??2+??2???2)
?1
2
(
??2+??2???2)
=1
2
(
??2+??2???2)
?1
2
(
??2+??2???2)
，化簡得：
2??2=??2+??2
，故原等式成立．
15
．【
2022
年全國乙卷】記
△??????
的內角
??,??,??
的對邊分別為
??,??,??
，已知
sin??sin(?????)=
sin??sin(?????)
．
(1)
證明：2??2=??2+??2
；
(2)
若
??=5,cos??=
25
31
，求
△??????
的周長．
【答案】
(1)
見解析
(2)14
【解析】
【分析】
（
1
）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（
2
）根據（
1
）的結論結合余弦定理求出
????
，從而可求得
??+??
，即可得解
.
(1)
證明：因為
sin??sin
(
?????
)
=sin??sin
(
?????
)
，
所以
sin??sin??cos???sin??sin??cos??=sin??sin??cos???sin??sin??cos??
，
所以
?????
??2+??2???2
2????
?2???????2+??2???2
2????
=????????2+??2???2
2????
，
即
??2+??2???2
2
?
(
??2+??2???2)
=???2+??2???2
2
，
所以2??
2=??2+??2
；
(2)
解：因為
??=5,cos??=
25
31
，
由（
1
）得??
2+??2=50，
由余弦定理可得??
2=??2+??2?2????cos??，
則
50?
50
31
????=25
，
所以
????=
31
2
，
故
(
??+??
)2=??2+??2+2????=50+31=81，
所以
??+??=9
，
所以
△??????
的周長為
??+??+??=14
.
16
．【
2022
年新高考
1
卷】記
△??????
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，已知
cos??
1+sin??
=sin2??
1+cos2??
．
(1)
若
??=
2??
3
，求
B
；
(2)
求
??2+??2
??2
的最小值．
【答案】
(1)π
6
；
(2)4
√
2?5
．
【解析】
【分析】
（
1
）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將
cos??
1+sin??
=sin2??
1+cos2??
化成
cos
(
??+??
)
=sin??
，
再結合
0
2
，即可求出；
（
2
）由（
1
）知，
??=π
2
+??
，
??=π
2
?2??
，再利用正弦定理以及二倍角公式將
??2+??2
??2
化成4cos
2
??+2
cos2??
?5
，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因為
cos??
1+sin??
=sin2??
1+cos2??
=2sin??cos??
2cos2??
=sin??
cos??
，即
sin??=cos??cos???sin??sin??=cos
(
??+??
)
=?
cos??=1
2
，
而
0
2
，所以
??=π
6
；
(2)
由（
1
）知，
sin??=?cos??>0
，所以
π
2
π
,0
2
，
而
sin??=?cos??=sin
(??
?π
2
)，
所以
??=π
2
+??
，即有
??=π
2
?2??
．
所以
??2+??2
??2
=sin2??+sin2??
sin2??
=cos22??+1?cos2??
cos2??
=
(
2cos2???1
)2+1?cos2??
cos2??
=4cos2??+2
cos2??
?5≥2
√
8?5=4
√
2?5
．
當且僅當
cos
2??=√
2
2
時取等號，所以
??2+??2
??2
的最小值為
4
√
2?5
．
17
．【
2022
年新高考
2
卷】記
△??????
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，分別以
a
，
b
，
c
為邊長的三個正三角形的面積依次為
??
1
,??
2
,??
3
，已知
??
1
???
2
+??
3
=√
3
2
,sin??=1
3
．
(1)
求
△??????
的面積；
(2)
若
sin??sin??=
√
2
3
，求
b
．
【答案】
(1)
√
2
8
(2)
1
2
【解析】
【分析】
（
1
）先表示出
??
1
,??
2
,??
3
，再由
??
1
???
2
+??
3
=√
3
2
求得??
2+??2???2=2，結合余弦定理及平方
關系求得
????
，再由面積公式求解即可；
（
2
）由正弦定理得
??2
sin2??
=????
sin??sin??
，即可求解
.
(1)
由題意得
??
1
=1
2
???2?√
3
2
=√
3
4
??2,??
2
=√
3
4
??2,??
3
=√
3
4
??2，則
??
1
???
2
+??
3
=√
3
4
??2?√
3
4
??2+
√
3
4
??2=√
3
2
，
即??
2+??2???2=2，由余弦定理得
cos??=??2+??2???2
2????
，整理得
????cos??=1
，則
cos??>0
，又
sin??
=1
3
，
則cos??=
√
1?
(1
3
)
2
=2
√
2
3
，
????=
1
cos??
=3
√
2
4
，則
??
△??????
=1
2
????sin??=√
2
8
；
(2)
由正弦定理得：
??
sin??
=??
sin??
=??
sin??
，則
??2
sin2??
=??
sin??
???
sin??
=????
sin??sin??
=
3
√
2
4
√
2
3
=9
4
，則
??
sin??
=3
2
，
??=
3
2
sin??=1
2
.
18
．【
2021
年新高考
1
卷】記
ABC
是內角A，B，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
.
已知2bac?
，
點
D
在邊AC上，
sinsinBDABCaC??.
（
1
）證明：BDb?；
（
2
）若
2ADDC?
，求
cosABC?.
【答案】（
1
）證明見解析；（
2
）
7
cos
12
ABC??
.
【解析】
【分析】
（
1
）根據正弦定理的邊角關系有
ac
BD
b
?
，結合已知即可證結論
.
（
2
）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊
a
與
c
的關系，然后利用余弦定理即可求得
cosABC?
的值
.
【詳解】
（
1
）設
ABC
的外接圓半徑為
R
，由正弦定理，
得
sinsin,
22
bc
R
ABCC
R
???
，
因為
sinsinBDABCaC??
，所以
22
bc
BDa
RR
???
，即BDbac??．
又因為2bac?
，所以BDb?．
（
2
）
[
方法一
]
【最優解】：兩次應用余弦定理
因為
2ADDC?
，如圖，在
ABC
中，
222
cos
2
abc
C
ab
??
?
，①
在
BCD△
中，
222()
3
cos
2
3
b
ab
b
a
C
??
?
?
．②
由①②得2222223()
3
b
abcab
??
?????
??
??
，整理得222
11
20
3
abc???
．
又因為2bac?
，所以2261130aacc???
，解得
3
c
a?
或
3
2
c
a?
，
當
2
2,
33
cc
abac???
時，
2
22()
7
33
cos=
6
2
2
cc
c
ABC
c
c
?
?
??
?
?
（舍去）．
當
2
2
33
,
22
cc
abac???
時，
2
22
33
()
7
22
cos
3
12
2
2
cc
ABC
c
c
c
?
?
?
??
?
?
．
所以
7
cos
12
ABC??
．
[
方法二
]
：等面積法和三角形相似
如圖，已知
2ADDC?
，則
2
3ABDABC
SS?
△△
，
即2
1221
sinsin
2332
bacADABBC??????
，
而2bac?
，即sinsinADBABC???，
故有
ADBABC???
，從而
ABDC???
．
由2bac?
，即
bc
ab
?
，即
CABA
CBBD
?
，即ACBABD∽，
故
ADAB
ABAC
?
，即
2
3
b
c
cb
?
，
又2bac?
，所以
2
3
ca?
，
則
2227
cos
212
cab
ABC
ac
??
???
．
[
方法三
]
：正弦定理、余弦定理相結合
由（
1
）知BDbAC??，再由
2ADDC?
得
21
,
33
ADbCDb??
．
在ADB△中，由正弦定理得
sinsin
ADBD
ABDA
?
?
．
又
ABDC???
，所以
s
3
sinn
2
iC
b
A
b
?
，化簡得
2
sinsin
3
CA?
．
在
ABC
中，由正弦定理知
2
3
ca?
，又由2bac?
，所以22
2
3
ba?
．
在
ABC
中，由余弦定理，得
222
222
2
42
7
93
cos
2
212
2
3
aaa
acb
ABC
ac
a
??
?
?
?
?
???
．
故
7
cos
12
ABC??
．
[
方法四
]
：構造輔助線利用相似的性質
如圖，作
DEAB∥
，交BC于點
E
，則
DECABC△∽△
．
由
2ADDC?
，得
2
,,
333
caa
DEECBE???
．
在
BED
中，
222
2
()()
33
cos
2
3
2
3
BED
ac
b
ac
?
?
?
?
?
?
．
在
ABC
中
222
cos
2
a
a
BC
c
A
b
c
??
??
．
因為coscosABCBED????，
所以
222
222
2
()()
33
2
2
2
33
ac
b
acb
ac
ac
??
??
??
??
，
整理得22261130abc???
．
又因為2bac?
，所以2261130aacc???
，
即
3
c
a?
或
3
2
ac?
．
下同解法
1
．
[
方法五
]
：平面向量基本定理
因為
2ADDC?
，所以
2ADDC?
．
以向量,BABC為基底，有
21
33
BDBCBA??
．
所以
222441
999
BDBCBABCBA????
，
即222
441
cos
999
baccABCa????
，
又因為2bac?
，所以22944cosacaacABCc?????
．③
由余弦定理得2222cosbacacABC????
，
所以222cosacacacABC????
④
聯立③④，得2261130aacc???
．
所以
3
2
ac?
或
1
3
ac?
．
下同解法
1
．
[
方法六
]
：建系求解
以
D
為坐標原點，
AC
所在直線為
x
軸，過點
D
垂直于
AC
的直線為
y
軸，
DC長為單位長度建立直角坐標系，
如圖所示，則??????0,0,2,0,1,0DAC?
．
由（
1
）知，3BDbAC???，所以點
B
在以
D
為圓心，
3
為半徑的圓上運動．
設????,33Bxyx???
，則229xy??
．⑤
由2bac?
知，2BABCAC??
，
即2222(2)(1)9xyxy??????
．⑥
聯立⑤⑥解得
7
4
x??
或
7
3
2
x??
（舍去），2
95
16
y?
，
代入⑥式得
36
||,||6,3
2
aBCcBAb?????
，
由余弦定理得
2227
cos
212
acb
ABC
ac
??
???．
【整體點評】
(2)
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理
的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單
的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系
的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運
算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使
得問題更加直觀化
.
19
．【
2021
年新高考
2
卷】在
ABC
中，角A、B、
C
所對的邊長分別為
a
、
b
、
c
，
1ba??
，
2ca??.
．
（
1
）若
2sin3sinCA?
，求
ABC
的面積；
（
2
）是否存在正整數
a
，使得
ABC
為鈍角三角形
?
若存在，求出
a
的值；若不存在，說明
理由．
【答案】（
1
）
157
4
；（
2
）存在，且
2a?.
【解析】
【分析】
（
1
）由正弦定理可得出
23ca?
，結合已知條件求出
a
的值，進一步可求得
b
、
c
的值，利
用余弦定理以及同角三角函數的基本關系求出
sinB
，再利用三角形的面積公式可求得結果；
（
2
）分析可知，角
C
為鈍角，由cos0C?結合三角形三邊關系可求得整數
a
的值
.
【詳解】
（
1
）因為
2sin3sinCA?
，則??2223caa???
，則4a?，故5b?，6c?，
2221
cos
28
abc
C
ab
，所以，
C
為銳角，則2
37
sin1cos
8
CC???
，
因此，
1137157
sin45
2284ABC
SabC??????
△
；
（
2
）顯然
cba??
，若
ABC
為鈍角三角形，則
C
為鈍角，
由余弦定理可得
????
????
22
2
222212
23
cos0
22121
aaa
abcaa
C
abaaaa
????
????
????
??
，
解得
13a???
，則0<<3a，
由三角形三邊關系可得
12aaa????
，可得1a?，aZ?，故
2a?.
20
．【
2020
年新課標
1
卷文科】
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c.
已知
B=150°.
（
1
）若
a=
3
c
，
b=2
7
，求
ABC
的面積；
（
2
）若
sinA+
3
sinC=
2
2
，求
C.
【答案】（
1
）
3
；（
2
）15?.
【解析】
【分析】
（
1
）已知角B和
b
邊，結合
,ac
關系，由余弦定理建立
c
的方程，求解得出
,ac
，利用面積
公式，即可得出結論；
（
2
）方法一：將30AC???代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關
C
角的三角函數值，結合
C
的范圍，即可求解
.
【詳解】
（
1
）由余弦定理可得2222282cos1507bacacc???????
，
2,23,caABC????△
的面積
1
sin3
2
SacB??
；
（
2
）
[
方法一
]
：多角換一角
30AC???，
sin3sinsin(30)3sinACCC??????
132
cossinsin(30)
222
CCC??????
，
030,303060CC???????????
，
3045,15CC????????
.
[
方法二
]
：正弦角化邊
由正弦定理及
150B??
得
22
sinsinsin
????
acb
Rb
ACB
．故
sin,sin
22
??
ac
AC
bb
．
由
2
sin3sin
2
AC??
，得
32acb??
．
又由余弦定理得22222cos??????bacacBa23?cac
，所以??222(3)23????acacac
，
解得
ac?
．
所以
15??C
．
【整體點評】
本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關鍵，考查計算求解能力，
屬于基礎題
.
其中第二問法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過余弦定理找到
三邊的關系，進而求角
.
21
．【
2020
年新課標
2
卷理科】
ABC
中，
sin2A
－
sin2B
－
sin2C=sinBsinC．
（
1
）求
A
；
（
2
）若
BC=3
，求
ABC
周長的最大值
.
【答案】（
1
）
2
3
?
；（
2
）
323?
.
【解析】
【分析】
（
1
）利用正弦定理角化邊，配湊出
cosA
的形式，進而求得A；
（
2
）方法一：利用余弦定理可得到??29ACABACAB????
，利用基本不等式可求得
ACAB?
的最大值，進而得到結果
.
【詳解】
（
1
）由正弦定理可得：222BCACABACAB????
，
2221
cos
22
ACABBC
A
ACAB
??
????
?
，
??0,A??
，
2
3
A
?
??
.
（
2
）
[
方法一
]
【最優解】：余弦
+
不等式
由余弦定理得：2222cosBCACABACABA????229ACABACAB?????
，
即??29ACABACAB????.
2
2
ACAB
ACAB
?
??
??
??
??
（當且僅當
ACAB?
時取等號），
??????2
2223
9
24
ACAB
ACABACABACABACAB
?
??
??????????
??
??
，
解得：
23ACAB??
（當且僅當
ACAB?
時取等號），
ABC?
周長
323LACABBC?????
，
ABC?
周長的最大值為
323?
.
[
方法二
]
：正弦化角（通性通法）
設
,
66
??
??????BC
，則
66
??
????
，根據正弦定理可知
23
sinsinsin
abc
ABC
???
，所
以23(sinsin)bcBC???
23sinsin
66
??
??
??
????
????
????
??
????
??
23cos23???
，當且僅當
0??，即
6
BC
?
??
時，等號成立．此時
ABC
周長的最大值為
323?
．
[
方法三
]
：余弦與三角換元結合
在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所對的邊分別為
a
，
b
，
c
．由余弦定理得229bcbc???
，即
2
2
13
9
24
??
???
??
??
bcc
．令
1
3sin,
2
0,
2
23cos
bc
c
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
??
?
?
?
，得
3sin3cosbc?????
=23sin23
6
?
?
??
??
??
??
，易知當
6
C
?
?
時，
max
()23bc??
，
所以
ABC
周長的最大值為
323?
．
【整體點評】
本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周
長最大值的求解問題；
方法一：求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等
關系求得最值
.
方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形
或有限制條件的，則采用此法解決
.
方法三巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦函數求最值問題
.
22
．【
2020
年新課標
2
卷文科】△
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，已知
2
5
cos()cos
24
AA
?
???
．
（
1
）求
A
；
（
2
）若
3
3
bca??
，證明：△
ABC
是直角三角形．
【答案】（
1
）
3
A
?
?
；（
2
）證明見解析
【解析】
【分析】
（
1
）根據誘導公式和同角三角函數平方關系，2
5
coscos
24
AA
?
??
???
??
??
可化為
2
5
1coscos
4
AA???
，即可解出；
（
2
）根據余弦定理可得222bcabc???
，將
3
3
bca??
代入可找到
,,abc
關系，
再根據勾股定理或正弦定理即可證出．
【詳解】
（
1
）因為2
5
coscos
24
AA
?
??
???
??
??
，所以2
5
sincos
4
AA??
，
即2
5
1coscos
4
AA???
，
解得
1
cos
2
A?
，又
0A???
，
所以
3
A
?
?
；
（
2
）因為
3
A
?
?
，所以
2221
cos
22
bca
A
bc
??
??，
即222bcabc???
①，
又
3
3
bca??
②，將②代入①得，??2
223bcbcbc????
，
即222250bcbc???
，而
bc?
，解得
2bc?
，
所以
3ac?
，
故222bac??
，
即
ABC
是直角三角形．
【點睛】
本題主要考查誘導公式和平方關系的應用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形
的形狀，屬于基礎題．
23
．【
2020
年新高考
1
卷（山東卷）】在①
3ac?
，②sin3cA?，③
3?cb
這三個條件中任
選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求
c
的值；若問題中的三角形不存在，
說明理由．
問題：是否存在
ABC
，它的內角
,,ABC
的對邊分別為
,,abc
，且
sin3sinAB
，
6
C
?
?
，
________?
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】詳見解析
【解析】
【分析】
方法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到
a,b
的比例關系，根據比例關
系，設出長度長度，由余弦定理得到
c
的長度，根據選擇的條件進行分析判斷和求解
.
【詳解】
［方法一］【最優解】：余弦定理
由
sin3sinAB
可得：
3
a
b
?
，不妨設??3,0ambmm???
，
則：222222
3
2cos323
2
cababCmmmmm??????????
，即
cm?
.
若選擇條件①：
據此可得：2333acmmm????
，1m??，此時
1cm??.
若選擇條件②：
據此可得：
222222
2
31
cos
222
bcammm
A
bcm
????
????
，
則：
213
sin1
22
A
??
????
??
??
，此時：
3
sin3
2
cAm???
，則：23cm??
.
若選擇條件③：
可得
1
cm
bm
??
，cb?，與條件
3?cb
矛盾，則問題中的三角形不存在
.
［方法二］：正弦定理
由
,
6
CABC
?
?????
，得
5
6
AB
?
??
．
由
sin3sinAB
，得
5
sin3sin
6
BB
?
??
??
??
??
，即
13
cossin3sin
22
BBB??
，
得
3
tan
3
B?
．由于0B???，得
6
B
?
?
．所以
2
,
3
bcA
?
??
．
若選擇條件①：
由
sinsin
ac
AC
?
，得
2
sinsin
36
ac
??
?
，得
3ac?
．
解得1,3cba???．所以，選條件①時問題中的三角形存在，此時
1c?
．
若選擇條件②：
由sin3cA?，得
2
sin3
3
c
?
?
，解得
23c?
，則23bc??．
由
sinsin
ac
AC
?
，得
2
sinsin
36
ac
??
?
，得
36ac??
．
所以，選條件②時問題中的三角形存在，此時
23c?
．
若選擇條件③：
由于
3?cb
與
bc?
矛盾，所以，問題中的三角形不存在．
【整體點評】
方法一：根據正弦定理以及余弦定理可得
,,abc
的關系，再根據選擇的條件即可解出，是本
題的通性通法
,
也是最優解；
方法二：利用內角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，從而可得
2
,,
36
bcABC
??
????
，再根據選擇條件即可解出．
24
．【
2019
年新課標
1
卷理科】
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，設
22(sinsin)sinsinsinBCABC???
．
（
1
）求
A
；
（
2
）若
22abc??
，求
sinC
．
【答案】（
1
）
3
A
?
?
；（
2
）
62
sin
4
C
?
?
.
【解析】
【分析】
（
1
）利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得：222bcabc???
，從而可整理出
cosA
，根據
??0,A??
可求得結果；（
2
）利用正弦定理可得2sinsin2sinABC??，利用
??sinsinBAC??
、兩角和差正弦公式可得關于
sinC
和
cosC
的方程，結合同角三角函數關
系解方程可求得結果
.
【詳解】
（
1
）??2
222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC??????
即：222sinsinsinsinsinBCABC???
由正弦定理可得：222bcabc???
2221
cos
22
bca
A
bc
??
???
??0,A??
3
A
?
??
（
2
）22abc??，由正弦定理得：2sinsin2sinABC??
又??sinsinsincoscossinBACACAC????
，
3
A
?
?
331
2cossin2sin
222
CCC?????
整理可得：3sin63cosCC??
22sincos1CC??????2
23sin631sinCC????
解得：
62
sin
4
C
?
?
或
62
4
?
因為
6
sin2sin2sin2sin0
2
BCAC?????所以
6
sin
4
C?，故
62
sin
4
C
?
?
.
（
2
）法二：22abc??，由正弦定理得：2sinsin2sinABC??
又??sinsinsincoscossinBACACAC????
，
3
A
?
?
331
2cossin2sin
222
CCC?????
整理可得：3sin63cosCC??，即
3sin3cos23sin6
6
CCC
?
??
????
??
??
2
sin
62
C
?
??
???
??
??
由
2
(0,),(,)
3662
CC
????
????
，所以
,
6446
CC
????
????
62
sinsin()
464
C
???
???
.
【點睛】
本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函
數關系的應用，解題關鍵是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡，得到余弦定理的形式
或角之間的關系
.
25
．【
2019
年新課標
3
卷理科】
ABC?
的內角
,,ABC
的對邊分別為
,,abc
，已知
sinsin
2
AC
abA
?
?
．
（
1
）求B；
（
2
）若
ABC?
為銳角三角形，且
1c?
，求
ABC?
面積的取值范圍．
【答案】
(1)
3
B
?
?;(2)
33
(,)
82
.
【解析】
【分析】
(1)
利用正弦定理化簡題中等式，得到關于
B
的三角方程，最后根據
A,B,C
均為三角形內角
解得
3
B
?
?.(2)
根據三角形面積公式
1
sin
2ABC
SacB??
，又根據正弦定理和
1c?
得到
ABC
S
關
于
C
的函數，由于
ABC
是銳角三角形，所以利用三個內角都小于
2
?
來計算
C
的定義域，最
后求解
()
ABC
SC
的值域
.
【詳解】
(1)
根據題意
sinsin
2
AC
abA
?
?
，由正弦定理得
sinsinsinsin
2
AC
ABA
?
?
，因為
0A???
，
故sin0A?，消去sinA得
sinsin
2
AC
B
?
?
．
0?B??，
0
2
AC
?
?
??
因為故
2
AC
B
?
?
或者
2
AC
B?
?
??
，而根據題意
ABC????
，
故
2
AC
B?
?
??
不成立，所以
2
AC
B
?
?
，又因為
ABC????
，代入得3B??，所以
3
B
?
?.
(2)
因為
ABC
是銳角三角形，由（
1
）知
3
B
?
?
，
ABC????
得到
2
3
AC???
，
故
0
2
2
0
32
C
C
?
??
?
??
?
?
?
?
???
?
?
，解得
62
C
??
??
.
又應用正弦定理
sinsin
ac
AC
?
，
1c?
，
由三角形面積公式有：
22
2
sin()
111sin3
3
sinsinsin
222sin4sinABC
C
aA
SacBcBcB
cCC
?
?
????????
22
sincoscossin
33212313
33
(sincos)
4sin43tan38tan8
CC
CCC
??
??
?
???????
.
又因
3
,tan
623
CC
??
???
,
故
33133
88tan82C
???
，
故
33
82ABC
S??
.
故
ABC
S
的取值范圍是
33
(,)
82
【點睛】
這道題考查了三角函數的基礎知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定
理求解），最后考查
ABC
是銳角三角形這個條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考
題
.
26
．【
2018
年新課標
1
卷理科】在平面四邊形
ABCD
中，
90ADC??
，
45A??
，
2AB?
，
5BD?.
（
1
）求cosADB?；
（
2
）若
22DC?
，求BC.
【答案】（
1
）
23
5
；（
2
）5.
【解析】
【分析】
（
1
）根據正弦定理可以得到
sinsin
BDAB
AADB
?
??
，根據題設條件，求得
2
sin
5
ADB??
，結
合角的范圍，利用同角三角函數關系式，求得
223
cos1
255
ADB????；
（
2
）根據題設條件以及第一問的結論可以求得
2
cossin
5
BDCADB????
，之后在
BCD?
中，
用余弦定理得到BC所滿足的關系，從而求得結果
.
【詳解】
（
1
）在
ABD?
中，由正弦定理得
sinsin
BDAB
AADB
?
??
.
由題設知，
52
sin45sinADB
?
?
，所以
2
sin
5
ADB??
.
由題設知，
90ADB??
，所以
223
cos1
255
ADB????；
（
2
）由題設及（
1
）知，
2
cossin
5
BDCADB????
.
在
BCD?
中，由余弦定理得
222
2
2cos258252225
5
BCBDDCBDDCBDC??????????????
.
所以5BC?.
【點睛】
該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理、同角三角函數關系式、誘
導公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時刻關注題的條件，以及開方時對于正負號的
取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關系，從而正確求得結果.
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