向量叉乘(向量叉乘的幾何意義)

向量點乘和叉乘的區別：向量點乘結果是標量，是兩個向量在一個方向的累計結果，結果只保留大小屬性，抹去方向屬性，就相等于降維；向量叉乘，是這這兩個向量平面上，垂直生成新的向量，大小是兩個向量構成四邊形的面積。相等于生維。這是運算所需要，向量加和減都是在同一緯空間操作的，如果要想實現維度的變化就要在向量的乘法做出定義。

向量點乘（內積）：

點乘（Dot Product）的結果是點積，又稱數量積或標量積（Scalar Product）,結果就是個數，把方向給抹去了。向量是有兩個屬性的：大小和方向，點乘的結果就是得到一個標量。相等于降維了。

定義為：對兩個向量對應位置上的值相乘再相加的操作，其結果即為點積。

從這個結果來看，就知道沒有方向屬性，只是數字之間的運行，最終結果也是數字。

從幾何角度看，點積是兩個向量的長度與它們夾角余弦的積。點乘的結果表示向量A在向量B方向上的投影與向量B模的的乘積，點乘的意義就是兩個向量在一個向量方向的共同積累的結果，但是這種結果只保留的大小屬性，抹去了方向這個屬性；同時反映了兩個向量在方向上的相似度，結果越大越相似?；诮Y果可以判斷這兩個向量是否是同一方向，是否正交垂直，具體對應關系為：

.則方向基本相同，夾角在0°到90°之間

.則正交，相互垂直

.則方向基本相反，夾角在90°到180°之間

我們最常見的例子就是就是力對物體做功。如圖所示，一個力F施加于木塊上，使得它沿著水平桌面向前移動s的距離，那么求F的功。根據功的定義，功是力與物體在力的方向上的位移的乘積。這個說明什么，說明了功是力對物體在空間上的積累的物理量。那么根據這個定義就有兩種分解方法如圖所示。

向量叉乘：（外積）

叉乘（Cross Product）又稱向量積（Vector Product）。

定義為

從結果我們看出還保留向量的基本單位i，j,k;所以結果也是一個向量，既有大小，又有方向，只是這個方向人為定義出來，垂直于這兩個向量構成的平面，符合右手定則。

幾何意義：

以向量a和向量b構成一個平行四邊形，那么這兩個向量外積的模長與這個平行四邊形的面積相等。