分析數學

引言

早就有一種想法：把一些非常好的數學書籍盡量全面地推薦給廣大數學愛好者和吧友

們。這是由于以下原因：一是在我們高等數學吧不斷有吧友發貼詢問推薦一些（高等

）數學方面比較好的書籍，可能其中有部分是初學者，因而急需一些有經驗的學長推

薦些好書，以便不走彎路。二來恰好筆者也有類似經歷，初接觸高等數學方面的書籍

時，也不知有啥好壞或者稂莠之別，后來在一些這些書的內容中了解到、在網上一些學

長的貼子中看到很多“經典”和比較“好”的教材、參考書、課外書籍等，于是在廣泛查閱

、拜讀之后，把我所看過的和所知道的一些很好的書目記錄下來，提供朋友們參考。

希望能給大家有所幫助。

實際上所謂的“好書”和經典書，并不限于數學方面，其他學科方面的有，相信大家也看

過不少，這里只說數學方面的。以下結合本人經驗和一些學長的見解，共寫有二十一個

專題，每個專題都有該學科的簡介或者是小結；相應的介紹書籍則是按【教材】、【習

題集】、【輔導書】、【提高】四個方面來寫，而且每本書后有簡評供參考。最后附錄

介紹幾個常用數學軟件。

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注：1)打引號或書名號的課程名詞被認為是指書籍或課程名，否則是指這一數學學科

類(領域)。

2)以下推薦的書籍一般不標注版本，因為隨時有新版出版的可能，并且不一定新版就

比舊版的好一些，有時還不如舊版的。最好多結合幾個版本來看（有三個以上版本的不

要看第一版，結合看最新版和倒數幾個舊版），這樣能學到更多。這是筆者的經驗。如

果書后標有版本號的，一般是指比較好的版本。

3)關于出版社的問題，這個不必要過多追究，因為大部分書不會用一個以上的出版社

出版，況且不同出版社出版同一本書，只是版式和符號的樣式不同而已，內容不會有別

。

4)書比較多，不可能每本(或者選取大多數自己喜歡的)都買，除非你非常有錢，或者是

個數學書籍收藏家。要知道，大學及其以上的教材、教參等都很貴，動輒每本二三十以

上，四五十的也不少。因此，“少而精”地買到正版的就行，其余的可以到大學圖書館借

閱(大部分我都是借閱的，我可買不起^-^)。

5)由于書籍很多，本人閱歷也很有限，難以面面俱到，除了【教材】外以下只為《數

學分析》、《高等數學》、《高等代數》、《線性代數》、《解析幾何》、《概率論》

、《常微分方程》提供【習題集】、【輔導書】和【提高】，而剩下課程的相關書籍只

是不完全含有以上版塊

。大家可以根據相應課本尋找對應課后習題解析的參考書，或是配套的習題集即可。

一、“數學分析”

“數學分析”是數學或計算專業最重要的一門課，而且是今后數學專業大部分課程的基礎

，經常從一個知識點就能引申出今后的一門課，同時它也是初學時比較難的一門課。這

里的“難”主要是指對數學分析思想和方法的不適應（高等數學上的方法與初等數學的方

法有很大不同），其實隨著學習的深入，適應了方法后，會感覺一點一點地容易起來，

比如當大四考研復習再看時會感覺輕松許多。數學系的數學分析講三個學期(各個院校

應該一樣吧)，學的時間也夠長的~

本課程主要講的是以集合為基礎而發展起來的變量和函數中的數學規律、分析與計算

，是通往高等數學領域的基礎工具之一。

這么多年來，國內外出現了很多非常優秀的教材和習題集以及輔導書，而且很多高校

一直使用著。

【教材】

國內比較好的有(僅列出主要的，排列不分先后，下同)：

1《數學分析》(共兩冊)華東師范大學數學系編著

這應該是師范類使用最多的書，課后習題編排的還不錯，同時這也是考研用得比較多

的一本書。書的最后講了一些流形上的微積分。雖然是師范類的書，不過還是值得一看

的。

2《數學分析新講》(共三冊)張筑生著

很好的書，內容和高度在國內算得上是比較突出的。值得一提的是，張老師文筆清晰

詳細，證明深入淺出，通俗易懂。這個對初學者來說非常有幫助。

本書同時也被公認為是一本具有新觀點的書，主要體現在一些經典問題處理方法上與

一般的書有所不同：本書比較強調一般化，融入了一些更高的觀點，如泛函、點集拓撲

等。尤其精彩的是，這本書里面提供了一些問題討論的專題附錄，如Stolz定理、正交

曲線坐標系中的場論計算、二項式級數在收斂區間端點的斂散情況、布勞威爾不動點定

理、斯通－維爾斯特拉斯逼近定理及其證明，等等。本書書在證明過程中通過技術化處

理，降低了難度，容易被一般人理解。

遺憾的是書中沒有課后習題，又由于書寫的早，有的符號以現在的觀點來看，不是很

標準(按照張老師本人的說法，北大出版社找了家根本不懂怎么印數學書的印刷廠，所

以版面不是很好看)；另外感覺實數理論部分和含參數廣義積分那章的內容寫得不太全

面。不過整體上本書還是瑕不掩瑜的。

張老師多年來疾病纏身，寫這本書也是嘔心瀝血，手稿前后寫了差不多五遍。像這樣

身患重病卻為寫書而兢兢業業地工作，其間所需要花費的精力可謂遠非常人所能勝任的

，以至于他在書的后記中也引了'都云作者癡,誰解其中味'這句曹雪芹自嘆的話。不愿看

到的是，張老師最終因勞累和疾病于02年去世。這也使得張老師重新修改此書的上述

缺點，完善后再出新版的愿望成為不可能，這不能不說是這本書的遺憾。

3《數學分析》(共兩冊)李成章，黃玉民編

作者是南開大學數學系老師，本書也是“南開大學數學教學叢書”里的“數學分析”分冊，

其深度與《數學分析新講》類似，每章中附有豐富的習題。還好本書關于實數完備性那

幾個公理的關系寫的比較全面，多元微積分學和含參數廣義積分寫的也相當詳細（這也

正好補上了《新講》的不足^_^），不過感覺級數部分還是寫得不是很詳細。

書里面有一些提高性的內容，可以看看。

4《數學分析》(第3版)歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋著

普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。不少經濟類工科類學校也用這一本書。里面個

別地方講的比較難懂，據說是用物理的觀點寫的，而且有的地方確實如果不聽老師講，

你不知道它在說什么。雖然如此，許多大學都還是把它作為教材或研究生入學考試的指

定用書?？梢哉f，它是一本優點與缺點一樣突出的老教科書。

5《數學分析》(共兩冊)陳紀修，於崇華,金路著

考研常用指定教材。

6《數學分析教程》(共兩冊)常庚哲，史濟懷著

里面有插值與逼近初步內容，因此相對來說更適合信息與計算專業的學生。

7《數學分析》(共三冊)徐森林，金亞東，薛春華

感覺很清晰，不羅嗦。另外，書的符號系統和版面相當不錯。

8《高等數學引論》(共四卷)華羅庚著

別看是“引論”，以為講的東西似乎不是什么重要的，其實這套書(也沒有完成最初的計

劃)的原稿是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對科大學生開課時的講義。那時候

他們是一個教授負責一屆學生的教學(另外兩位負責過一屆學生的是關肇直和吳文俊)，

所以華先生的這本書里面涉及有很多方面的知識的。也是出于一種嘗試吧,華先生這書

里面有一些不屬于傳統教學內容的東西，還包括一些應用，可以一讀。作為教科書來說

，內容多了，因此最好作為課外興趣閱讀。

其中前三卷（冊）屬于數學分析的所有內容，第四卷（冊）主要介紹代數矩陣論的基

本理論及其應用。

國外經典教材有：

9《微積分學教程》(共三卷)，《數學分析原理》(共兩卷)菲赫金哥爾茨著

不用多說，幾乎每個對數學稍微了解一些的人都知道它的大名。書中很少涉及現在流

行的集合論的觀點，但對初學者而言毫無影響，甚至使一些概念更清晰了。書的內容也

相當的翔實，每本書很厚(因此也很貴，記得好像每本五十多RMB)，字號又不大。由于

我們從小是學習歐美符號系統的，不習慣蘇聯的一套符號系統，看這本書還是很麻煩，

并且還很貴，個人建議作為參考書來使用。其實連作者本人(莫斯科大學的教授,門下弟

子無數,包括后來得諾貝爾經濟學獎的著名數學家Kantorovitch)都承認不太合適作為教

材,為此他才給出了適合做教材的后一套書,這是一個精簡的版本(有所補充的是在書的最

后給出了一個后續課程的簡介)。

毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數學分析內容(指不引入實變,泛函的觀念)的

最高水平,考慮到在中國的印數就以十萬計,可能在世界范圍內也只有Goursat的書可以

與之相比了.

10《數學分析原理》Rudin著

這本書很難，包括了基礎拓撲結構，微分形式的積分等，而且作者假設很多東西你都

可以看懂，所以寫得很簡潔，對于沒有一定基礎的大一新生來說，很難讀懂書中所講。

不過可以拿它來當一本不錯的《數學分析》參考，也可作為數學分析的提高用書。

11《數學分析》(共兩卷)卓里奇著

與常見的數學分析教科書相比，本書的內容比較新穎，系統地引進了現代數學（包括

泛函分析、拓撲學和現代微分幾何等）的基本概念、思想和方法，有關應用的內容也更

加貼近現代自然科學。感覺還是喜歡9和10。

12《數學分析講義》阿黑波夫，薩多夫尼奇，丘巴里闊夫著

內容與傳統教科書編排順序不同，單本的，不厚，但內容能夠滿足傳統教學需求。書

中附有用于討論和示范性問題和習題。

13《數學分析》(共兩卷)Zorich著

經典英文數學教材系列之一，難度較大。

14《數學分析》Apostol(阿波斯托爾)著

本書是一部現代數學名著，內容涵蓋了初等微積分以及實變函數論和復變函數論等內

容。自20世紀70年代面世以來，該書一直受到西方學術界、教育界的廣泛推崇，并被

許多知名大學指定為教材。

15《微積分和數學分析引論》(共兩卷)庫朗，約翰著

又一本美國的經典數學分析書，每卷都有幾個分冊，內容還是很豐富的。有人認為書

中的一些觀點現在已經不流行了，但是從“數學分析”作為數學相關專業的一門基礎課的

方面來說，本書還是應該認真看看的。

【習題集】

16《吉米多維奇數學分析習題集》吉米多維奇著。

還沒有做就早聞其名的書，一看之后，確實不負其名望。應該說，這是本學分析的人

都要做的習題集。不過題目有幾千道，而且其中計算題又占絕大多數，正好而且現在市

面上有各種精選本，所以大家可以做一些精選本。但大家千萬要自己做，不要浮躁，不

然你什么也學不到。

17《數學分析習題課教材》第一版或《數學分析解題指南》第2版林源渠,方企勤著

兩本書一樣的。第一版網上有電子版。后一本書在每一節中，設有內容提要、典型例

題分析，以及供學生自己做的練習題等部分，書末附有答案，對證明題的大部分給出了

提示或解答。本書許多題給出了多種多樣解法，某些解法是吸取學生試卷中的想法演變

而得的，特別是畢業于北京大學數學系的、國內外知名的當今青年數學家們在學生階段

的習題課上和各種測驗中表現出來的睿智給本書增添了不可多得的精彩。本書的另外一

大特色是：輔導怎樣“答”題的同時，還通過“敲條件，舉反例”等方式引導學生如何“問”問

題，就是如何給自己“提問題”。

18《數學分析中的典型問題與方法》第2版裴禮文著

據說本書是為數學系考研量身訂做的書。書中搜集了不少考研和競賽試題，題型豐富

、知識面廣、難度較大，因此對思維要求較高，適合報考偏重理論的學校（如北大、南

開等等）的同學使用。第二版有1000多頁，比之第一版，更新了一些試題，提示也更

詳細了。總的來說，性價比非常高。

19《數學分析習題集》林源渠，方企勤等

這本書和16的兩本成成一套。算是很老的書。

【輔導書】

20《數學分析八講》辛欽著

大師著作，多的不說，值得看！

21《數學分析：定理·問題·方法》胡適耕，姚云飛著

強烈推薦這本既可作為教材又可作為輔導書的好書。本書的重點放在特別富有啟發性

的問題與方法上：結合800多道例題來說明節前的概要總結所指出的方法和技巧，你能

從中學到很多。

22《數學分析原理與方法》胡適耕，張顯文著

模式跟上一本書一樣，看問題很獨到。同樣既可作為教材又可作為輔導書。很喜歡老

胡的風格。

23《數學分析的理論、方法與技巧》鄧樂斌編

重點推薦。

24《在南開大學的演講·微積分》陳省身著

很早的東西了~網上下載得到，不過以上那個名字我也不太確定，反正有好幾種叫法

。據說好像網絡上流傳的版本少了一些內容？不知道少的是不是陳老的《微分幾何講義

》。

25《數學分析內容、方法與技巧》孫清華,孫昊著

還行，該說到的題型都說到了。

26《數學分析習題課講義》(上下兩冊)謝惠民等編

這是一位學長的評價：

這本書有些相見恨晚的感覺，其難度與于裴禮文的書相當，甚至過之，而且習題很有

代表性。它適合那些挑戰北大、南開等名校的考生，就08年北大數分試題難度看，不

超過此書的課后習題。本書對于諸位數分高手也是個強有力的挑戰！

當然，這本書也有點“問題”。那就是課后習題沒答案，只有提示（部分習題）。

【提高】

27《數學分析的方法及例題選講:分析學的思想、方法與技巧》徐利治著

能學到不少通常輔導書上沒有的好方法的書。這本書里面涵蓋了少量非數學分析的內

容，如不等式、組合學等。并且內容比較深刻，都是分析學里面一些基本問題的深入探

討，每個問題都是定理的形式陳列的，不過沒有詳細地證明。

順便提一下，徐教授的書，大多比較好，像《組合學講義》就不錯，書中是用現代集

合的觀點來寫的。

28《數學分析中的問題和定理》(波利亞),(舍貴)著

該書的內容非常豐富，在學習數學分析的階段,可看第一卷的前面一半,后面就全是復變

的東西了。在歷史上，這是一套曾經使好幾代數學家都受益匪淺的經典著作。這套書的

另一個好處就是題目難歸難,后面還是有答案或提示的.

29《數學分析問題研究與評注》汪林等編著

這本書很老了，可以到圖書館借。本書主要是作者的一些研究成果和思考總結，比較

典型和有代表性，要想在扎實的基礎上更深一步，一定要看一看本書。類似的還有一本

《數學分析拾遺》趙顯曾著。

30《現代分析基礎》狄多涅著

這是一套二十世紀的大家們寫的一整套教材的第一卷,用的術語相當'高深'，可能等以后

學了實變、泛函再回過頭來看感覺會更好一些。

31《高等微積分》丘成桐主編

內容主要是流形上的微積分，不僅是介紹高維上的微積分，還有場里面的幾個基本公

式的統一表示公式，讓你從一種高的觀點來“俯視”通常的微積分學。

這本書是邱先生為中國介紹翻譯國外精品著作而主編的“數學翻譯系列叢書”中的一部。

其他的還有《基礎偏微分方程》、《分析學》、《有限群的線性表示》、《Markov過

程導論》等。

這些書的觀點都比較高，書也很厚，但是不用擔心，這里有個好處就是，西方的教科

書一般注重實用和理解，所以書中會有很多例子（包括圖形和特例）一步一步引出相關

定理，而不是像中國的教科書，一下子就把定理（結論）都拿出來，學生難以記憶和理

解推導過程。這也是國外（像美國）大學課本書比較厚的原因吧。

二、“高等數學”

將《數學分析》中較難的一部分去再加上常微分方一些最簡單的內容就是中國非數學

專業的《高等數學》，或者叫“數學一·高數部分”。這里的“高等數學”不是指相對于初等

數學的一個學科類的分級，而是大學的一門課程。許多人容易誤認為“高等數學”就是高

等數學（即相對于初等數學來說的高深的數學領域，涵蓋的內容包括分析、代數、高幾

、拓撲等各個方面）。

其實很多院校都是用自己學校的教材，我感覺都差不多，內容上只是例題大多一樣（

都是一些經典的老例題嘛），習題不完全一樣而已，所以用什么課本都無關緊要。不過

要注意的是，知識點不能少，符號系統要規范（便于初學者學）就行。

主要是國內的書籍。國外的多重應用，理論講的并不多。

【教材】

32《高等數學》同濟大學應用數學系

都說同濟版的好，看過之后覺得跟其他的教材差不多，沒傳說中的那么好。其實用自

己學校的教材就行。

33鑒于很多高等數學吧吧友詢問一些書籍，這里特別說一下：

對于想學高等數學的初學者，這里給出自學高數的建議(不包括線性代數)：在有了高中

數學基礎之后可以按順序看看上海交大的《微積分》、《微積分之倚天劍》和《微積分

之屠龍刀》，進一步可以看看《托馬斯微積分》(很厚啊)。之后可以考慮看數分了。水

平很高之后再看龔升的《微積分五講》和齊民友的《重溫微積分》。這時，主要是注重

概念的深入以及高觀點下對微積分的重新審視(可以說是“全局觀”吧)，不涉及解題技巧

方面的東西。

如果同時想學線性代數的，可以依次看看[65][67][54][56]。

【習題集】

這個沒有什么好說的，大多是一些輔導書后面的習題或者直接做“數學分析”的【輔導書

】、【習題集】中能做的部分。

34《高等數學例題與習題集.一,一元微積分》、《高等數學例題與習題集.二,多元微積

分》

И.И.利亞什科等編著

這些書屬于俄羅斯經典習題叢書系列。里面有各種題型及解題技巧。建議把全套（一

、二、三、四共四本，原來是五本的，微積分相關的那三本被整合成以上兩本。剩余的

兩本見下文）讀完。

【輔導書】

35《考研數學精編綜合復習指南.理工類》余長安編著或

《數學分析的理論、方法與技巧》鄧樂斌著

前者很詳盡，題型、技巧、方法面面俱到；后者作為《數學分析》的輔導書也不錯。

36《高等數學中的若干問題解析》舒陽春編著

建議看一看。

37《高等數學學習與提高指南:考研必讀》陳鼎興,姚奎編著

很好的輔導書。

38《高等數學內容、方法與技巧》(上下冊)孫清華,鄭小姣著

這個系列的輔導叢書都很好。

39《微積分五講》龔升著

作者另有《線性代數五講》一書，與上書均為“中國科學技術大學數學教學叢書”之一。

本書主要是從現代數學以及矛盾的觀點來重新審視與認識微積分，講述了微積分的來

源、微積分的三個發展階段、微積分嚴格化后地走向、微積分的主要矛盾等。尤其是用

外微分形式的觀點來說清楚高維空間上微積分的主要矛盾，從而梳理微積分中的定理與

公式。作為課外書看看就行。

P.S.看看上面“數學分析”中介紹的【輔導書】[20]至[22]，都是很不錯的。

【提高】

40《大學生數學競賽試題研究生入學考試難題解析選編》李心燦等編

不多說。

41《無窮級數與連分數》高建福著

可以學到級數相關的進階知識，包括漸進展開、特殊可和性等方面。

42《項武義基礎數學講義·單元微積分學》《項武義基礎數學講義·多元微積分學》

項武義的書，應該看。

剩余可以參考“數學分析”部分寫的一些書。

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