平行線性質

平行線的判定和性質（綜合篇)

一、重點和難點：

重點：平行線的判定性質.

難點：①平行線的性質與平行線的判定的區分②掌握推理論證的格式。

二、例題:

這部分內容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認出對頂角、同位角、內錯角或同旁內角。

解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時還

需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。

上述類型題目大致可分為兩大類。

一類題目是判斷兩個角相等或互補及與之有關的一些角的運算問題。其方法是“由線定角”，

即運用平行線的性質來推出兩個角相等或互補.

另一類題目主要是“由角定線”，也就是根據某些角的相等或互補關系來判斷兩直線平行，解

此類題目必須要掌握好平行線的判定方法。

例1．如圖，已知直線a，b,c被直線d所截，若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求證:∠1=∠7

分析:運用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關系推證出兩直線平行，然后再由兩直線

平行解決其它角的關系.∠1與∠7是直線a和c被d所截得的同位角.須證a//c。

法（一）證明：∵d是直線（已知)

∴∠1+∠4=180°（平角定義）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的補角相等）

∴a//c（同位角相等，兩直線平行）

∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等)

法（二）證明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代換)

∵∠5=∠1，∠6=∠3(對頂角相等）

∴∠5+∠6=180°(等量代換）

∴a//c（同旁內角互補，兩直線平行）

∴∠1=∠7(兩直線平行，同位角相等）。

例2．已知如圖，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF,求證：BC平分

∠DBE。

分析:只要求得∠EBC=∠CBD,由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，從而推出

AE//FC，從而推出∠C=∠EBC而

∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再運用平行線性質和已知條件便可推

出∠EBC=∠DBC。

證明:∵∠2+∠BDC=180°（平角定義)

又∵∠2+∠1=180°(已知）

∴∠BDC=∠1(同角的補角相等）

∴AE//FC(同位角相等兩直線平行）

∴∠EBC=∠C（兩直線平行內錯角相等）

又∵∠A=∠C（已知）

∴∠EBC=∠A（等量代換）

∴AD//BC（同位角相等，兩直線平行)

∴∠ADB=∠CBD(兩直線平行，內錯角相等）

∠ADF=∠C(兩直線平行，同位角相等）

又∵DA平分∠BDF（已知）

∴∠ADB=∠ADF（角平分線定義）

∴∠EBC=∠DBC（等量代換）

∴BC平分∠DBE(角平分線定義）

說明:這道題反復應用平行線的判定和性質,這是以后在證題過程中經常使用的方法,見到“平

行”應想到有關的角相等,見到有關的角相等，就應想到能否判斷直線間的平行關系。

把平行線的判定與性質緊密地結合在一起也就是使直線平行和角相等聯系在一起,這樣解題

能得心應手，靈活自如。

三、小結：證明角相等的基本方法

1、第一章、第二章中已學過的關于兩個角相等的命題：

（1)同角（或等角）的余角相等;

（2）同角（或等角）的補角相等;

(3）對頂角相等；

(4)兩直線平行，同位角相等；內錯角相等；同旁內角互補。

以上四個命題是我們目前論證兩個角相等的武器，但是何時用這些武器，用什么武器，怎樣

使用，這是遇到的一個具體問題，需要認真進行分析。首先必須分析，在題設中給出了哪些條件,

與其相關的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個角在圖形的具體位置,與已知條件有什么

關聯，怎樣運用一次推理或幾個一次推理的組合而來完成題設到結論的過渡。

例3，如圖∠1=∠2=∠C，求證∠B=∠C。

分析:題設中給出三個相等的角，其中∠2和∠C是直線DE和BC被AC所截構成的同位角，

由∠2=∠C則DE//BC。再看題中要證明的結論是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要證明∠1=

∠B,而∠1與∠B是兩條平行直線DE，BC被直線AB所截構成的同位角，∠1=∠B是很顯然的，

這樣我們就理順了從已知到求證的途徑：

證明：∵∠2=∠C(已知），

∴DE//BC（同位角相等，兩直線平行）,

∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等），

又∵∠1=∠C（已知），

∴∠B=∠C（等量代換）。

例4、已知如圖，AB//CD，AD//BC，求證：∠A=∠C，∠B=∠D。

分析:要證明∠A=∠C,∠B=∠D，從這四個角在圖中的位置來看，每一組既不構成同位角，

也不是內錯角或同旁內角，由此不可能利用題設中的平行關系，經過一次推理得到結論，仍然如

同例10一樣通過等角進行轉化，從題設條件出發，由AB//CD，且AB與CD被直線BC所截，

構成了一對同旁內角,∠B、∠C,因此∠B+∠C=180o，同時∠B又是另一對平行線AD、BC被直

線AB所截，構成的一對同旁內角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通過∠B的中介,就可以證明得∠

A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D,整個思路為:

證明:AD//BC（已知），

∴∠A+∠B=180o（兩直線平行，同旁內角互補），

∵AB//CD（已知），

∴∠B+∠C=180o（兩直線平行,同旁內角互補),

∴∠A=∠C（同角的補角相等），

同理可證∠B=∠D.

例5、已知如圖，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G,∠E=∠3,求證：∠1=∠2。

分析：要證明∠1=∠2，而從圖中所示的∠1和∠2的位置來看，根據題設或學過的定義、

公理、定理無法直接證明這兩個角相等，因我們可將視野再拓廣一下,尋找一下∠1、∠2與周邊

各角的關系，我們看到直線AD與GE被直線AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形

成內錯角∠2、∠3；而題設明確告訴我們∠3=∠E，于是目標集中到證明AD//GE，根據題設中

AD⊥BC，EG⊥BC，我們很容易辦到這一點，總結一下思路，就可以得到以下推理程序：

證明：∵AD⊥BC于D(已知），

∴∠ADC=90o（垂直定義）,

∵EG⊥BC于G(已知），

∴∠EGD=90o（垂直定義），

∴∠ADC=∠EGD（等量代換），

∴EG//AD（同位角相等，兩直線平行），

∴∠1=∠E（兩直線平行同位角相等），

∠2=∠3（兩直線平行內錯角相等），

又∵∠E=∠3（已知）,

∴∠1=∠2（等量代換）.

四、兩條直線位置關系的論證。

兩條直線位置關系的論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點在同一直

線上。

1、學過證明兩條直線平行的方法有兩大類

（一）利用角；

（1）同位角相等，兩條直線平行；

（2）內錯角相等，兩條直線平行；

（3）同旁內角互補，兩條直線平行。

（二)利用直線間位置關系:

(1）平行于同一條直線的兩條直線平行；

＊（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。

例6、如圖，已知BE//CF,∠1=∠2，求證：AB//CD。

分析：要證明AB//CD,由圖中角的位置可看出AB與CD被BC所截得一對內錯角∠ABC和

∠DCB，只要證明這對內錯角相等，而圖中的直線位置關系顯示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=

∠2+∠FCB，條件中又已知∠1=∠2,于是只要證明∠EBC=∠BCF。

證明：∵BE//CF（已知),

∴∠EBC=∠FCB（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠1=∠2(已知），

∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），

即∠ABC=∠BCD（等式性質)，

∴AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）.

例7、如圖CD⊥AB,EF⊥AB，∠1=∠2，求證：DG//BC。

分析:要證明DG//BC，只需證明∠1=∠DCB,由于∠1=∠2,只需證明∠2=∠DCB，∠2與∠

DCB又是同位角，只需證明CD//EF。根據題設CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易證得，這

樣整個推理過程分成三個層次。

（1)（平行線的判定）

（2）CD//EF∠2=∠DCB(平行線的性質)

（3）∠1=∠DCBDG//BC（平行線判定）

在這三個推理的環節中，平行線的判定和性質交替使用,層次分明。

證明:∵CD⊥AB于D(已知），

∴∠CDB=90o（垂直定義），

∵EF⊥AB于F（已知),

∴∠EFB=90o（垂直定義），

∴∠CDB=∠EFB（等量代換），

∴CD//EF(同位角相等，兩直線平行）,

∴∠2=∠DCB（兩直線平行,同位角相等)

又∵∠1=∠2（已知）,

∴∠1=∠DCB(等量代換),

∴DG//BC（內錯角相等，兩直線平行）。

說明:從以上幾例我們可以發現,證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結

于求證有關兩個角相等,根據圖形找出兩直線的同位角、內錯角或同旁內角,設法證明這一組同位

角或內錯角相等，或同旁內角互補。而證明兩角相等，又經常歸于證明兩直線平行.因此，交替

使用平行線的判定方法和平行線的性質就成為證明兩直線平行的常用思路。

2、已經學過的證明兩直線垂直的方法有如下二個：

（1)兩直線垂直的定義

(2)一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。(即證明兩條直線的夾

角等于90o而得到。)

例8、如圖，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求證：CD⊥AB.

分析：這是一個與例14同樣結構的圖形，但證明的目標卻是兩條直線垂直。證明CD⊥AB，

根據“一條直線垂直于兩條平行線中的一條，必垂直于另一條。”又由于已知條件EF⊥AB，只要

證明EF//CD,要證EF//CD，結合圖形,只要證明∠2=∠DCB，因為∠1=∠2，只需證明∠DCB=∠

1,而∠DCB與∠1是一對內錯角，因而根據平行線的性質，就需證明DG//BC，要證明DG//BC

根據平行線的判定方法只需證明∠3=∠B,而這正是題設給出的條件，整個推理過程經過以下幾個

層次：

∠3=∠BDG//BC∠DCB=∠2

（1）平行線判定（2）平行線性質

CD⊥AB

(3）平行線判定性質（4）垂直定義

證明：∵∠3=∠B（已知），

∴DG//BC（同位角相等,兩直線平行）

∴∠1=∠DCB(兩直線平行，內錯角相等），

∵∠1=∠2(已知），

∴∠DCB=∠2(等量代換），

∴DC//EF（同位角相等，兩直線平行）,

有括號部分的五步也可以用以下證法:

接DC//EF（同位角相等，兩直線平行），

又∵EF⊥AB(已知），

∴CD⊥AB（一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直.）

3、已經學過的證明三點共線的方法在前面的幾講中已分析過，若證明E、O、F三點共線，

通常采用

∠EOF=180o，利用平角的定義完成三點共線證明。此方法不再舉例。

五、一題多解。

例9、已知如圖，∠BED=∠B+∠D.求證：AB//CD。

法(一）分析：要證明AB//CD，從題設中條件和圖形出發考慮,圖形中既不存在“三線八角”，

又不存在與AB、CD同時平行的第三條直線或與AB、CD同時垂直的直線，這樣就無法利用平

行線公理的推理或平行線的判定方法來證明兩條直線平行。能不能為此創造條件呢?如果我們能

夠在圖中添置一條直線,使這條直線和AB、CD中的一條平行，那么我們就有可能證明它也平行

于另一條,從而得到AB//CD。根據平行公理,經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行，

所以這樣的直線是存在的。接下來的問題是：過哪一點作這條平行線，考慮題設中的已知條件，

三個角的關系圍繞著E點展開的，因而選擇E點作AB的平行線是較為理想的位置。

證明:過點E作EF//AB,

∴∠B=∠1（兩直線平行，內錯角相等)，

∵∠BED=∠1+∠2（全量等于部分之和)，

∴∠2=∠BED-∠1（等式性質）,

又∵∠BED=∠B+∠D（已知)，

∴∠D=∠BED-∠B（等式性質）

∴∠2=∠D（等量代換)

∴EF//CD(內錯角相等，兩直線平行），

∵EF//AB（作圖），

∴AB//CD(平行于同一直線的兩直線平行）.

說明：在光憑題設條件無法直接證得結論時，在圖中添置新的線，以構成一個條件充分的圖

形，從而得出所求證的結論，像這樣添置的線叫做輔助線，在畫圖時，輔助線用虛線畫出。

法（二）分析：如果在E點的另一側添置AB的平行線（如圖），同樣可以憑此證得

結論，但是由于所取的角的位置不同，推理的依據過程也有所不同.

證明：過點E作EF//AB(如圖），

∴∠B+∠1=180o（兩直線平行，同旁內角互補），

∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角定義)，

∠BED=∠B+∠D（已知），

∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代換）,

∴∠D+∠2=360o-（∠B+∠1）（等式性質）

=360o-180o（等量代換）

=180o

∴EF//CD（同旁內角互補，兩直線平行），

∵EF//AB（作圖),

∴AB//CD（平行于同一直線的兩條直線平行）。

注意：在添置輔助線EF時，只能過E點作直線EF平行于直線AB、CD中的一條，而不能

同時平行于AB和CD.

從另一個方面考慮這個命題，仍然是這個圖形如果我們交換題設和結論部分：即已知

AB//CD，能否得到∠BED=∠B+∠D的結論，仍然像例16法（一）那樣添置AB的平行線EF，

可得到∠B=∠BEF，又由于AB//CD，則EF//CD。于是又有∠D=∠DEF,很顯然∠B+∠D=∠BEF+

∠DEF=∠BED.可知，交換原命題的題設和結論部分，仍然得到一個真命題.

平行線的性質

考點掃描：

會用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補等性質進行推理和計

算．

名師精講:

平行線的性質是指在兩條直線平行的前提條件下，能夠得到的與圖形有關的位置及數量關

系．平行線的性質有：

(1)平行線永遠不相交（定義)；

(2）兩直線平行，同位角相等（性質公理）；

（3）兩直線平行，內錯角相等（性質定理1）;

（4)兩直線平行，同旁內角互補（性質定理2）．

平行線的判定和平行線的性質不能混淆，應分清定理(或公理）的條件結論：

（1)判定定理說的是滿足了什么條件(性質)的兩條直線是互相平行的．

(2）性質定理說的是如果兩條直線平行,它具有什么性質．

由此可見，判定定理與性質定理是因果關系倒置的兩類定理（稱為“互逆"定理）．

1．已知:如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，則∠ECD的度數等于（）

A、110°B、70°C、55°D、35°

考點：平行線的性質,角平分線

評析：因為∠A與∠ACD是同旁內角,又AB∥CD，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內

角互補，可知

∠A+∠ACD=180°．當∠A＝110°時,∠ACD=70°．又CE平分∠ACD,所以∠ACE=∠ECD=∠

ACD=35°，故應選D．

2．如圖，已知：l

1

//l

2

，∠1=100°，則∠2=．

考點：平行線的性質

評析：∠1與∠3是同位角,根據“兩直線平行，同位角相等”的性質：可知∠1=∠3=100°．又

∠2與∠3是鄰補角，所以∠2=180°–100°=80°

真題專練：

1．如圖,直線a、b被直線c所截，且a//b，若∠1=118°，則∠2的度數為_________．

⑴

2．如圖AB∥CD，若∠ACD=69°，則∠CAB=__________

3．如圖AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，ED平分∠BEF，若∠1=72°，則

∠2=_______

（3)

4．如圖直線L

1

∥L

2

、L

3

分別與L

1

，L

2

相交，則∠1與∠2的關系為(）

（4)

A、∠1=∠2B、∠1+∠2=180°C、∠1+∠2=90°D、∠1+∠2=360°

5．如圖l

1

∥l

2

，∠α是∠β的2倍,則∠α等于（）

A：60°B：90°C：120°D：150°

6．如圖AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3=（）

A、180°B、360°C、540°D、720°

7．如圖DE∥BC,EF∥AB,圖中與∠BFE互補的角共有（）

A、3個B、2個C、5個D、4個

答案：

1、62°2、111°3、54°4、B5、C

6、B(提示：過E作EF∥AB（或連結AC）

利用平行線間的同旁內角互補可知∠1+∠AEF=180°∠3+∠CEF=180°

∴∠1+∠2+∠3=360°；

7、D(提示：圖中∠1、∠2、∠3、∠4都與∠BFE互補)．