小學數學新課標

《義務教務階段數學課程標準（2011年版）》

的理念及總體目標

課程標準的基本理念

課程標準的理念和目標，是非常重要的兩部分內容，課程標準的

理念，從五個方面來闡述，分別從數學教育，課程內容，教學方式，

評價還有新技術，這幾個方面來闡述。

（一）數學課程應致力于實現義務教育階段的培養目標，要面向

全體學生，適應學生個性發展的需要，使得：人人都能獲得良好的數

學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。

課程標準基本理念的第一條，是一個總的論述。正因為是義務

教育，所以強調要面向全體學生，義務教育階段是面向所有學生發展

的階段。

這里強調兩個要點，第一，人人都能獲得良好的數學教育，面向

全體學生，使每一個學生都接受良好的數學教育。每個學生都要提高

數學素養，進而提高學生的公民素養，數學素養是學生公民素養的一

個重要組成部分。義務教育重要的任務就是使學生將來能夠成為一個

社會需要的、具有良好的素養、各方面能夠健康發展的公民。他們有

良好的數學素養是非常重要，所以良好的數學教育就是讓每一個學生

獲得他所需要的良好的數學素養。

第二，不同的人在數學上得到不同的發展，這個是針對學生的差

異，因為每一個學生都要接受義務教育，而在學生的發展和學生原有

的基礎存在很大的差異。良好的數學教育，使每一個學生都得到一樣

的教育，得到一樣的機會，但最后的發展可能是有差別的。根據學生

的智力的差異，根據興趣的不同，標準特別強調要照顧到學生的個別

差異，使每一個學生都能獲得他所應該得到的發展。

在任何國家，數學教育都是一個具有基礎性、發展性的一個學科，

一般在很多國家都把它叫做核心課程，或者說它在某種意義上，和語

文、外語等成為一個人發展的非常重要的一個基礎。所以在義務教育

階段，要保證人人都得到發展。才能保證一個國家的基本教育水平。

不是有人可以學數學，有人可以不學數學，而是所有的人都必須接受

一個良好的數學教育。因為義務在某種意義上，帶有一定“強迫性”。

良好的數學教育并不是要以分數為目標的。當然希望學生具有一

定的考試能力，也能考出一個好分數，但是這不是數學教育的全部，

所以怎樣營造一個良好的數學教育氛圍是特別重要的。在知識技能方

面，在過程與方法方面，在理解數學的基本思想和積累數學活動經驗

方面，在情感態度、價值觀方面，都需要為學生營造一個良好的氛圍。

這樣的想法，也是制訂課程標準的一個基點。

（二）課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的

認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊

含的數學思想方法。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生

體驗與理解、思考與探索。

課程內容的組織要重視過程、處理好過程與結果的關系，要重視

直觀、處理好直觀與抽象的關系，要重視直接經驗、處理好直接經驗

與間接經驗的關系。

課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。

這一條對課程內容做了一個描述，課程內容要反應社會的需要，

數學的特點要符合學生的認知規律，這是課程內容選取的一個基本原

則。另一個基本原則是社會的需求，比如說，為什么在課程要增加統

計，原來沒有，現在有了，一個非常重要的原因，就是因為社會的需

求。當學生邁入社會以后，他所碰到的大量的數據，怎么樣能從這些

數據里得到對自己有用的信息。而不上當受騙，這就需要有一種能力，

需要有一種識別和判斷的能力。

這樣的需求就使得數學課程，在內容上要做調整，要把統計作為

數學課程的一個主要的內容。所以現在小學、初中、高中、大學，都

需要學習有關統計的知識。

另外就是數學課程要符合數學本身的特點，數學發展的非常快。

一個發展的標志就是數學應用的廣泛性，數學自身的發展很快，在不

同的領域都能得到應用，在經濟、在社會等等方面，所以就出現了一

些新的數學，比如說，經濟數學、金融數學、社會數學、生物數學等

等。數學本身的這些變化，勢必會反應到課程的內容。所以在課程里

就增加了關于數學的應用，培養學生的應用意識。特別是設置了綜合

與實踐活動，綜合的利用數學知識去解決問題。符合學生的認知規律

是確定課程內容重要原則。

課程內容不僅要包括數學的結果，也要包括數學結果的形成過程

和它蘊含的數學思想方法。

從學生的需要，從數學本身的需要，從數學的結果和過程這兩個

方面，在選擇課程內容時都要重視。標準里后一段在講述課程內容的

組織和內容的選擇，怎樣組織方面，包括在教材中如何去組織，在教

學過程中如何組織，在內容組織上，強調了三個方面，一個是過程和

結果，一個是直觀和抽象，一個是直接經驗和間接經驗，在標準里邊，

特別強調了在課程組織上，內容的組織上，要重視過程，處理好過程

和結果的關系，重視直觀，處理好直觀和抽象的關系，重視直接經驗，

要處理好直接經驗和間接經驗的關系，這三對是呈現表述和教師在具

體的教學中，應該重視，重視結果數學要有結果，要有精辟的結果，

要得到一個答案，這個沒有問題，但是還要重視過程，重視學生的學

習過程，在內容的選擇上，在內容的呈現上，在例題、習題的選擇和

呈現上，重視過程是非常重要的，使學生在知識形成過程中理解數學。

直觀和抽象也是數學中一個非常重要的一對關系，數學是抽象

的，這個沒有問題，抽象的思維能力，抽象能力，要在數學中培養，

但抽象能力的培養，要有直觀作為鋪墊，作為一個學生，這是思考抽

象問題的一個支柱，所以說，重視直觀的作用是非常重要的，而學習

的內容，多半是間接經驗，這個是沒有問題，但是這種間接經驗的形

成，也需要一些直接經驗的積累，所以課程里邊特別強調活動經驗的

積累，其實也是處理好直接經驗和間接經驗這樣的關系。

（三）教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。

有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師

是學習的組織者、引導者與合作者。

數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數

學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習

慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。

學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除

接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要

方式。應當使學生有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、

推理、驗證等活動過程。教師教學應該以學生的認知發展水平和已有

的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮

主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、

主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數

學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。

有效的教學活動，應該是學生學和教師教的統一，進一步闡述了

剛才說的這個過程，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導

者和合作者。這樣一個理念，現在很多老師也都能瑯瑯上口，但真正

要實踐它的，也不是一件很容易的事情，但是標準這樣明確的提出來，

也值得老師進一步的思考，怎樣在實踐中去踐行。

另外這個標準談到了教學活動，除了剛才談到的這幾個方面，這

樣一個過程特點，還應該注重激發學生的興趣，包括調動學生的積極

性，引發學生思考，鼓勵學生的創造性思維，培養學生良好的學習習

慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。這一點也應該是教學設計或開

展教育活動首先要想到的一條。教學活動的目的是要讓學生對數學感

興趣，希望通過的努力，讓學生不要失去對數學學習的興趣，幫助學

生養成良好的習慣，有了好的習慣，才能夠學好數學，才能夠有信心。

接下來要講學習方式的重要性。

數學的學習，應該是有多樣的方式，這里強調一點，學生學習應

該是一個生動、活潑的、主動和賦予個性的過程。就是要使教學過程、

學習過程更加生動活潑。在這個標準里邊列舉了一些學習的方式，比

如說接受學習，動手實踐，探索合作交流，同樣都是學習數學的重要

方式，讓老師在實際的教學活動中，應該靈活的根據實際需要，選擇

多種學習的方式，既有一定的接受式的學習，同時更應該重視動手操

作，自主探索與合作交流。

近些年來老師在實踐中，其實已經探索了很多改進學習方式的很

好案例，他們在教學中，開發了各種課程資源，讓學生動手操作，設

計很好的教學情境，讓學生自己探索，讓學生合作交流。這樣的多種

教學方式運用，合理的運用，在數學教學的改革過程中應該引起重視。

重要的就是像標準說的，要給學生足夠的時間和空間去展現他的學

習，在足夠的時間空間中，去經歷觀察實驗猜測計算推理驗證等等各

種活動，這樣就使數學的學習活動更加豐富多彩，而不是單調的去聽，

自己去練，改變這種單調的這種學習方式。

（四）學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過

程和結果，激勵學生學習和改進教師教學。應建立目標多元、方法多

樣的評價體系。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；

既要關注學生數學學習的水平，也要重視學生在數學活動中所表現出

來的情感與態度，幫助學生認識自自己、建立信心。激勵不只是表

面的表揚一下，在學習過程中，不僅是對學生學習成績的評價，也包

括對學生學習過程的評價，對學生學習態度的評價，都是一個激勵的

過程。改進教師的教學，不僅是看學生學的怎么樣，還應該通過學生

學的怎么樣，來看教師教學的組織和教學的效果，透過學生的學來看

教師的教，反應了教學過程的效果和效率。

有效的教學，其實更重要的看學生的學習效果怎么樣，所以說，

這種評價還要看教師，通過學生的表現，折射出教學過程是否需要改

進，所以說，改進教學這個作用，這個功能是評價中最重要的。這個

意義上來說，評價不僅是對學生，而且是對教師，特別是對教師改進

教學起了重要的作用，所以說，應該特別重視這種評價的目標和功能。

我們強調要建立目標多元、方法多樣的評價體系，評價目標的多

元，不僅要指向于基礎知識和知識技能，還應該重視學生的學習過程，

重視學生的情感態度，重視學生思維能力和數學思考等等方面的評

價，評價應該指向多元的課程目標，所以說評價目標應該是多元的，

方法也應該是多樣的。

評價的方法不僅是充分的利用紙筆測驗，考試當然要保留，但要

改進，同時，用多元的評價方法，包括過程性的評價，包括智力的評

價，成長記錄帶，課程觀察，學生的活動過程的記錄等等，這些都應

該做一種評價的方法，近些年在評價方法的改革與創新這方面，的重

點其實做了很多好的探索，這方面其實有非常多的案例，供老師去參

考。

（五）信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學

方式產生了很大的影響。數學課程的設計與實施應根據實際情況合理

地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效。

要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，開發并向學生提

供豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的

有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現

實的、探索性的數學活動中去。

信息技術的發展，對于數學教育的價值、目標、內容，以及教學

方式產生了很大的理解，實際上信息技術在某種意義上改變了的生

活，到底會對教育產生多么大的影響，現在來評價還有點為時過早。

希望老師能夠充分的認識到信息技術可能會給教育帶來的潛在的好

處。

信息技術不僅在教學中，而且在評價中，在學生的交流中，在老

師和學生互動的過程中，都可能會發揮作用。

孩子對于信息技術，特別是網絡技術，有特殊的敏感性。在某種

意義上來說，他們很快就能掌握，所以建議盡量采取疏導的方式，讓

信息技術在教學的發展中，發揮更大的作用。

從信息技術的角度來說，一個是搜集信息的能力，一個是利用信

息的能力，在數學教學里面，不僅是演示一個PPT，最主要的是學

生利用現在技術去搜集信息，去利用信息，數學的學習有很多方面是

需要學生搜集社會上的、生活中的一些信息，這個搜集信息的方式手

段有很多，可以簡單的去觀察一些信息，觀察一些數據，這也是搜集。

然后還可以利用現代的互聯網去搜集一些信息，然后就是利用這些信

息解決問題，然后把它變成一種資源，用到學習過程里，感受不只在

書本上學習，在日常生活中也可以學習。利用信息技術的作為工具，

在標準里面，也強調了把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題

的有利工具，就是體現了這樣一點。要運用各種手段去搜集和利用各

種信息來學習數學，解決數學問題。

信息技術還幫助學生進行探究活動，它還是能夠發揮很大的作

用，使用圖形計算機，使用I-Pad，已經進入了美國某些學校的高

中課堂，去做些探究活動等等的。使用信息技術這么幾個階段，一個

就是CaI，計算機輔助教學，就是做PPT演示，第二個是作為工具。

就是作為一種探究工具的使用，這個在數學教育中，也發揮了一些作

用。第三個層次就是作為一個搜集、整理信息的一個工具，這個是大

大開拓了學生的視野，包括數學學習。比如說得到的數學定理，到底

有哪些證明，上網一點，馬上就會搜集很多，學生就可以進行研究，

可以提升自己的認識。

另外還有一點就是信息技術可以作為一個交流，交流就意味著可

以相互評價，可以師生互動，可以把學生和老師的某些問題的看法放

在同一個平臺上，進行交流，互相幫助。所以總的來說，信息技術會

給提供幫助的領域，應該還會不斷的發展和開拓，所以希望老師能夠

關注這些。

小學數學數與代數1

專題1：數的認識、數的運算、常見的量的內容分析與建議

在這個模塊中我們主要和大家交流數與代數領域中的數的認

識、數的運算和常見的量的內容，關于這部分內容，我們一線教師作

了交流，主要集中在以下四個問題。

1.如何建立“數”的概念？

2.如何處理運算教學中的算理與算法的關系？

3.如何落實新課標對估算的要求？

4.如何依托現實情境幫助學生體現和理解常見的量。

內

容

學

段

《標準》要求的調

整和變化

數

的認識

第

一

學

“知道用算盤可

以表示多位數”。

“能結合具體情

段境比較兩個一位小數的

大小，能比較兩個同分

母分數的大小。”

第

二

學

段

不再要求“比較

百分數的大小”和

“探索小數、分數和百

分數之間的關系”

在數的認識中要關注數的意義、數的表示、數與數的關系、數的

應用。其中我們要特別關注數的意義，也就是數的概念的建立。在教

學中如何建立數的概念是教學的重點，面對數的認識這一重要內容，

我們又該怎樣幫助學生建立清晰的數概念，理解數的意義呢？

二、在建立數概念中要注意的問題

（一）在整數的認識中要注意的問題

建立正確的數的概念是認數教學的任務，也是學生學習數學的起

點。理解數的意義一般有兩個角度，一是從數的組成去理解，通

過組成理解數的大小和多少，加強對數的感知。二是聯系生活實際來

體會，通過在具體的現實情境中，理解數在生活實際中的意義，使

抽象的數和具體的量有機的結合，進一步理解數的意義。在實際教學

中我們要把這兩種方式有機地結合起來，這樣更有利于學生體會

數的意義，建立數的概念。在整數數概念的建立過程中要注意以下幾

點：

1.依托多種形式建立整數數概念

（1）在具體情境中理解數的意義

學生對數并不陌生，在入學之前，學生已對具體的數有了比較豐

富的感知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數。我們在教學中就要

關注從現實情景抽象出數的過程，例如從具體的2匹馬，2棵樹，

2頭牛，2個人，抽象為2這個數。這時用一個數字也是一個特殊

的符號來表示數量，已經把具體的單位和這個數量的具體含義去掉，

抽象為數“2”。反過來，2可以表示任何具有2這樣數量特征的

事物，例如2只鉛筆，2個人、2只小動物……，隨著教學的深

入，還要引導學生認識到數的豐富含義，比如計數的數、數量的數、

度量的數和計算的數。

（2）用操作幫助學生具體感知

自然數的認識的教學重點在于使學生從數量抽象到數，抽象離

不開直觀的支撐和操作，例如：計數器、小棒、圖形等等，讓學生

親自的數一數，擺一擺，圈一圈、畫一畫，學生數的過程也是一一對

應的過程，同時感受具體的數量。

（3）多種模型的表征

在數的認識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學生理解數的

意義建立數的概念，比如說：計數器、數位桶，方格圖、數位順序表

等，這樣逐漸建立起抽象的數和現實中的數量之間的關系，并且能

夠知道這個大小和現實中的多少之間的關系，這也是數感很重要的本

質問題。例如，一位老師在教學《萬以內的數的認識》時，就運用方

塊模型幫助學生建立一萬的概念，理解數的意義。

通過方格模型的演示，讓學生體會10個一是十，10個十是一

百，10個一百是一千，10個一千是一萬……，通過幾何圖形的點、

線、面、體，使學生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時

建立十個千就是一個萬，在學生的頭腦中建立一個清晰的模型“滿十

進一”，對于學生理解基數單位和位值制是有很大好處的。

2.把握核心概念，重視數位和位置值的理解

為了表示更大的數，數位概念的建立是十分重要的。數位的含意

是不同位置上的數字表示不同大小的數，沒有數位的規定就沒有辦法

表示更大的數。認識個、十、百、千、萬等不同的數位，理解不同數

位上的數字表示不同大小的數，是理解整數概念所必須的。學生必須

清楚地了解，同樣一個數字“3”，在個位上表示3個一；在十

位上表示30，即3個十；在百位上表示300，即3個百。第一

學段完成整數萬級的認識，第二學段認識萬以上的數，進而整理十進

制計數法。我國的計數單位是每四位一級，萬以內數的個位、十位、

百位、千位為個級，學生理解各級上的每個數字的意義，這是理解多

位數各個數位上的數字意義的前提條件。我國計數單位是四位一級，

在國際上普遍使用的是三位一級，在學習時可以讓學生了解。在歷

史上，曾經出現過以2、3、4為原始的數基，比較多的是以5、

20、60為數基，即五進制、二十進制、六十進制。當然，最多的

是以10為數基，即現在世界各國通用的十進制，即重要的“滿十

進一”的方法。

在古代文明中，世界各國大多數都是采用十進制，例如中國、古

羅馬。但十進位記數法，離十進位值制還有關鍵的一步“位置值制要

走。所謂“位值制”，是指相同的計數符號由于所處的位置不同可以

表示大小不同的數目。有了位值制，就可以用有限的數字表示出無限

的自然數，這是記數歷史上的一個創造，一個奇跡。因此馬克思在他

的《數學手稿》一書中稱十進位值制記數法為“最妙的發明之一”。

（1）重視10的概念的建立

一個十和幾個一是十幾，這就是位值制的基礎，這樣10

個數字就可以表示出生活中無限多的物。教學中建立好概念非常重

要。在教學10的認識時要讓學生親自感受到由9再加1變成10

的過程，可以通過數、擺、捆、撥、說等活動，讓學生感受10個一

是1個十。在11-20各數的認識中仍然要關注10的概念的建立，

讓學生體會滿十進一的過程。

（2）重視數計數單位：

為幫助學生了解十進制計數法和位值制。要重視數計數單位逐

步建立新的計數單位，10個一是1個十，10個十是一百，10個百

是一千，10個千是一萬，10個萬是十萬，10個十萬是一百萬，10個

百萬是一千萬，從而引出新的計數單位十萬，在一個單位、一個單位

地數的活動中，學生充分體會每數滿10個單位就產生一個新的計數

單位，感受了兩個相鄰計數單位間的進率是十。

（3）重視數位順序表的使用

隨著認識的數越來越大教師應不斷擴充完善數位順序表，從認識

20以內的數起就讓學生了解個位和十位，認識百以內數時補充認識

百位，在認識萬以內數的時候第一次出現了數位順序表，在認識整數

的最后一個單元里學生將認識萬級和億級的數以及比億更大的數。數

位順序表可以分兩次擴展，先擴展到萬級，再擴展到億級。數位順序

表有助于學生了解十進制計數法，理解數的意義并掌握讀、寫數的方

法。

3.關注對大數的感受

在第一、二學段都提出感受大數意義和對大數進行估計的要求。

第一學段是要求在生活情境中感受大數的意義，第二學段情境的范圍

有所擴大，要求在現實情境中感受大數的意義。其本質是相同，都是

希望通過具體的情境對大數加以感受，增加學生的數感。感受大數與

情境的具體內容有關，1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有

多長？1200名學生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？這些具

體的情境學生可以通過實際操作和觀察感受。有時還要加入想象的成

份，1200名學生需要多大場地，許多學校可能沒有這么多人，學生

就需要了解自己的學校有多少人，占多大地方，再想象1200人會占

多大地方。

這個抽象過程在小學一年級開始認識數時就強調，直到認識較大

的數。學生逐漸認識數的抽象表示，逐步建立數概念。

（二）在建立分數概念中要注意的問題

教師在數的認識的教學中普遍認為分數的認識是數認識教學中

的一個難點。分數起源于分，當平均分出現不是整數結果的時候，

逐漸有了分數的概念。后來，在土地測量、產品分配等過程中,常

常得到不是整數的結果，便產生了分數。分數的產生經歷了一個漫長

的過程，分數的真正來源在于自然數除法的推廣。

1.加強對分數豐富意義的理解

教師要了解分數意義的多重多元性，才能引導學生深刻理解分數

的意義。對分數意義的理解應關注以下兩個主線和四個層面：

兩個主線

即“比的線索”和“數的線索”。“比”指的是一部分與另一部分

之間的關系；“數”指的是以有理數形式出現的分數，此時的分數表

現的是一個結果。

分數意義理解的四個層面

“比率”是指部分與整體的關系和部分與部分的關系。其中部

分與整體的關系更多地體現在真分數的含義中。例如一個圓平均分成

4份，每一份是整體的。又例如，長方形中的一部分是整個長方

形的，整體圖形的面積應該是多少？顯然，整體圖形的面積應該

是這樣的三份。這里的和所反映的就是取的份數與整體份數之

間的關系。而部分與部分之間的關系更多地表現為是一種“記號”。

例如小紅有5個蘋果，小麗有3個蘋果，小紅的蘋果是小麗的倍。

對比率維度的理解，可以幫助學生完成對分數的基本性質以及通分、

約分等相關知識的正確認識。

“度量”指的是可以將分數理解為分數單位的累積。例如里

面有3個，就是用分數作為單位度量3次的結果。著名數學

家華羅庚曾經說過：“數起源于數，量起源于量。”對度量維度的研究，

可以大大豐富學生對分數的認識。度量維度的體驗也可以直接作用于

分數加（減）法的學習中。

“運作”主要指的是將對分數的認識轉化為一個運算的過程。

例如，求6張紙的是多少張紙，學生將理解為整體6張紙的

，即將6張紙這個整體平均分成3份，取其中的2份，列出算式

就是6÷3×2，也就是6×。

“商”這個維度主要是指分數轉化為除法之后運算的結果，它

使學生對于分數的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數也是一個

數，也可以和其他數一樣進行運算。

以上這四個維度沒有先后之分，主次之別，它們對學生多角度認

識分數都發揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔著學生對于分

數內涵豐富性認識的建構。

2．利用多種模型幫助學生理解分數的意義

在小學階段教材中往往以學生熟悉的日常事物與活動為模型，建

立分數的概念。例如把一個月餅平均分為兩份，其中的一份是個，

把一張紙平均分為為四份其中的一份是，這僅僅是從“面積模型”

的角度來理解分數，學生理解分數可以借助于多種“模型”。

（1）分數的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分數

兒童最早是通過“部分—整體”來認識分數，因此在教材中分

數概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”取其中的

一份或幾份（涂上“陰影”）認識分數的，這些直觀模

型即為分數的“面積模型”。

（2）分數的集合模型：用集合的“子集—全集”

來表示分數

這是“部分—整體”的另外一種形式，與分數的面積模型聯系密

切，但學生在理解上難度更大，關鍵是“單位1”不再真正是“1

個整體”了，而是把幾個物體看作“1個整體”，作為一個“單位”，

所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，例如，

把4個桃子看作“單位1”平均分成2份，每份2個占整體的

。分數的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多

個”看作“整體1”。

（3）分數的“數線模型”：數線上的點表示分數

3.把握好每一階段完成的任務

在小學階段，對于分數意義的學習，教材一般“顯性”地分為兩

個階段：第一學段分數的初步認識和第二階段分數的意義。但實際上，

基于對于分數意義內涵豐富性的理解，我們逐步認識到，對于分數意

義的學習，決不是一兩次教學所能全部承載和實現的，需要通過系列

設計，逐步滲透、多維度建立，將教材中的“顯性”和“隱性”結合

起來。我們應該如何把握每一階段的教學呢？

第一階段：認識平均分。

第二階段：在分數的初步認識教學中，幫助學生初步建立部分與

整體關系的認識，感受分數。

第三階段：在分數意義和分數基本性質的教學中，重點使學生發

展對于分數理解的比率、度量的維度。

第四階段：在分數與除法關系的教學中，重點使學生發展對于分

數理解的運作、商的，

第五階段：在分數的運算及解決問題的教學中，鼓勵學生綜合運

用對于分數意義理解的多個維度。

必須指出的是，這五個階段不是相對孤立的，更不是線性排列的，

不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者只能達成對某維度的學

習，其他維度將不再涉及。這四個階段在完成對分數意義豐富認識方

面各有側重，相互滲透，相互補充，共同幫助學生實現對分數意義理

解的不斷發展和整體建構。

總之分數的認識是一個循序漸進的過程，需要系統的進行教學設

計，才能使學生真正理解熟練運用。

（三）在建立小數數概念中要注意的問題

在分數初步認識學習的基礎上，教材安排了小數的初步認識。小

數的出現標志著十進制記數法從整數（自然數）擴展到了分數，使分

數與整數在形式上獲得了統一。由此可見小數和整數、分數有著密

切的聯系。

1.利用知識遷移建立小數概念

分數的學習對小數的學習特別是小數意義的理解有直接顯著的

影響，后者的學習對前者也有促進作用，例如8分米是十分之

八米是學生已有的知識，只要通過提問，引起學生的回憶和思

考，還可以寫成0.8米，也就是同一對象的兩種不同形式，使

小數和分數建立起直接的聯系，使學生進一步體會到：十分之幾

和一位小數，百分之幾和兩位小數之間的關系。

再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用數軸表示數，這

是認識整數、分數時常用的模型，可以將其拓展到小數。例如：

把一個正方形平均分成10份100份，其中的若干份既可以用分

數表示，也可以用小數表示，這樣能夠幫助學生理解的小數意義，

建立小數的模型，培養學生的數感。

2.溝通整數、小數、分數之間的關系

（1）溝通整數和小數的關系。整數與小數的計數方法是一

致的，相鄰兩個計數單位間的進率都是10，小數的計數方法是

整數計數方法的擴展，教學中要設計相應的教學環節將整數的計數

方法遷移到小數，為學生在計數的經驗和方法上建立聯系，不僅

如此，還要利用這些活動幫助學生整理認數系統，把原來認識的

整數數位表擴充到小數。

（2）溝通分數和小數的關系：小數和分數上的溝通，主要是

意義上的溝通，使學生理解小數是十進分數。

（3）溝通分數、整數、小數之間的關系。

關于小數和整數、分數有著密切的聯系，在整數學習的基礎上，

學習了小數，小數的表征形式與整數相似，數位順序表得到補充，

都是十進制。如果以個位為基礎，向右擴展就是十位、百位、千位；

如果向左擴展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。

換句話說：以個位為對稱軸，兩邊的數位呈現了對稱的關系，只是小

數部分在位前增加了“分”；這樣“每相鄰的兩個計數單位之間的進

率都是10”得到了全面的概括；小數是十進分數。從這個意義上

說，對小數的理解比對分數的理解更容易一些。

整數可以數，一個一個地，一十一十地數，一百一百地數，小

數可以數：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7……分

數可以數：……

以此類推。這列數是按照一個單位進行數數的，無論是整數、小

數、分數它們都是計數單位的累加。

3.把握好小數認識的兩個階段的教學

我們知道關于小數的初步認識可以從學生熟悉的計量單位：元、

角、分和米制系統（米、分米、厘米）來幫助學生學習。并不涉及到

小數的計數單位和數位；到了第二學段學習小數的意義時，才抽象出

小數的計數單位和數位，以及完善數位順序表……兩個學段的重點

不同，呈現的方式和學習的方式也應當有區別。要根據學生的實際選

擇合適的學習方法，幫助學生理解小數的意義。

三、建立數概念教學的具體建議

（一）在數認識中體現數感。數感的建立非常重要，教師要設

計多種活動培養學生的數感。

（二）整體把握內容之間的聯系：兩個學段相關內容的整體把

握和遞進與銜接。

（三）鼓勵學生進行數學交流，關注數的應用。關于數的認識

包括從數的意義、數的表示、數和數之間的關系、數的應用；其中數

的應用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個學習中。教學中要提供機

會鼓勵學生運用數來表示日常生活中的一些事物，并進行交流。

問題二：如何處理運算教學中算理與算法的關系

一、《課標》對“數的運算”有什么新要求

新課程標準中明確指出，在數學課程中，應當注重發展學生的運

算能力。運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算

的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔

的運算途徑解決問題。同時在《課標解讀》中也強調“應當淡化對運

算的熟練程度的要求，選擇正確的計算方法，準確地得到運算結果，

比運算的熟練程度更重要。應當重視學生是否理解了運算的道理，是

否能準確地得出運算的結果，而不是單純地看運算的速度。”這一目

標的提出就要求教師在數的運算教學中，不能僅僅關注于學生運算技

能的掌握，更要注重學生理解算例、掌握算法的學習過程，也就是在

教學中要注重將算理與算法有機的結合在一起，從而發展學生的運算

能力。

學習數的運算的過程就是發展邏輯思維能力的過程，數的運算的

概念、性質、法則、公式之間都有內在聯系，存在著嚴密的邏輯性。

每個概念、性質、法則、公式的引入與建立，都要經過抽象、概括、

判斷、推理的思維過程。學生學習、理解和掌握“數的運算”內容時

都要經過從具體到抽象、從感性到理性的過程，學生把這些應用到實

際中去，還要經過由一般到特殊的演繹過程。因此，數的運算的學

習有利于發展學生的思維能力。這就需要教師在教學的過程中不僅僅

關注結果、關注方法更要關注得到結果、得到方法的思維過程，這個

思維過程就是學生理解算理、掌握算法的過程。小學生仍然以直觀形

象思維為主，而算理、算法又十分抽象，因此如何結合學生的思維特

點處理好運算教學中算理與算法的關系，往往就是教學的難點所在。

我們可以結合學生的年齡特點借助生動有趣的童話情境、借助直觀模

型、借助學生已有的認知基礎和生活經驗，處理好運算教學中算理與

算法的關系。

二、如何處理運算教學中算理與算法的關系

（一）借助生動有趣的童話情境，處理好運算教學中算理與算法的關

系。

小學生，尤其是低年級的學生，他們更多的是以形象思維為主，

因此創設生動有趣的童話情境，不僅能夠很好地調動他們的學習積極

性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。

北京小學魏來紅老師在教學《20以內進位加法》一課中，就

是為學生創設了學生喜愛的小動物上車的童話情境（PPT）。首先

魏老師通過讓學生在第一站幫助9個小動物上車，來復習十加幾的

口算，學生的積極性一下子就被調動了起來，為他們能夠運用學過的

知識幫助小動物而感到高興。接下來再通過第二站幫助5個小動物

上車，復習連加，并通過追問“有什么好方法能讓我們算得又對又

快？”使學生感受到先湊“十”再算“十加幾”簡便快捷，為理解“進

位加”的算理做好了孕伏。5個小動物上車后，與在第一站上車的9

個小動物合起來，這時車上一共有多少個小動物？從而引出了

9+5=？這一進位加法。如何計算9+5=？學生結合生動、形象、具

體的現實情境，很快就想到把5分成1和4，1和9組成10，

10加4等于14。就這樣學生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的

理解和掌握了進位加的算理與算法。

通過這節課我們看到，魏老師正是能夠很好的結合學生的年齡和

心理需求以及他們的思維特點，創設了學生感興趣、喜愛的童話情境，

使枯燥的數學變得生動有趣，使抽象的算理變得直觀形象，使學生在

明理中順利、自然的掌握了算法。

（二）借助直觀模型，處理好運算教學中算理與算法的關系。

在皇城根小學史冬梅老師上的《兩位數乘兩位數》一課中，史老

師結合三年級學生的思維特點，借助直觀模型較好地處理了算理與算

法的關系。史老師在這節課上沒有將會寫“豎式”作為最終的教學目

標，而是在學生已經能夠初步掌握豎式計算方法的基礎上，引導學生

探尋方法背后的道理。并提供給學生直觀的點子圖作為研究素材，在

研究中，學生們呈現了豐富多彩的成果。雖然學生們的分法不完全相

同，但“先分后合”的思路是一致的，這一點恰恰就是乘法豎式運算

的基本思路。在這之后，史老師再次將分點子圖與豎式中的四句口訣

進行了對應，引導學生一步步深入地理解豎式計算中每一個細節背后

的道理。“分點子圖”不僅給學生創造了積累活動經驗的寶貴機會，

同時又使學生能夠借助直觀模型，較好的理解了兩位數乘法算法背后

的道理。

在我們以往的教學中，不少老師或者不重視引導學生探索計算的

過程，或者當學生剛剛探索出方法后，就立即引導學生學習豎式，在

學生對豎式運算的每個環節沒有真正理解的情況下就開始追求計算

方法。這就很可能造成學生在沒有真正理解道理的情況下，只能靠記

憶法則來習得方法和技能。這顯然對學生的發展是不利的，史老師這

節課恰恰是為學生真正地、扎扎實實地經歷理解的過程提供了鮮活而

典型的案例。在教學中教師要舍得拿出時間讓學生有機會經歷，有機

會感受，有機會理解，有機會創造。新的課程標準中也明確提出了學

生活動經驗的目標，它背后深遠的意義還需要廣大教師在自己的實踐

中開動腦筋，深入挖掘，潛心感悟。

（三）借助學生已有的認知基礎和生活經驗，處理好運算教學中算理

與算法的關系。

北京小學于萍老師曾經上過的《小數加減法》一課，在這節課中

于老師就是借助學生已有的認知基礎和生活經驗，幫助學生理解小數

加減法的算理。于老師讓學生自主進行編題，其中就有一名學生編出

了一道0.8+3.74=，這種類型將要揭示的“小數點對齊”是本節課的

重點所在，也是小數加減法總結算法的重要時機。為了讓學生有機會

調動已有的整數加減法的認知經驗，經歷判斷、推理、抽象的思維過

程，于老師就讓每個學生自己試做，并說明自己這樣做的道理。

師：你們以前做過很多很多加減法題，無一例外的都是把末位的

兩個數字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？

生：整數的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數的

末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。

師：你們雖然沒把末位對齊，但把誰對齊了？

生：把小數點對齊，也就是相同數位對齊。

師：你看得很深、很準，這樣做肯定有這樣做的道理。可為什么

一定要小數點對齊、要相同數位對齊呢？

生1：如果不對齊算出來就錯了。

生2：如果不把小數點對齊，而把末位對齊的話，十分位的8就

和百分位的4對齊了，相加之后肯定就不對了。

生3：我舉個例子說吧，比如買兩樣東西，一個是0.8元，另

一個3.74元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，

那肯定不對了。

師：我們研究同一個問題時可以從不同角度研究，比如，可以講

道理，也可以舉例子。剛才這道題，就有同學想到了用我們都熟悉的

“元角分”舉例子來解釋，簡單的事說明了深奧的道理，你真棒。看

來只有相同計數單位的個數才能夠相加減。

小結：原來看似和整數加減法不太一樣的“小數點對齊”其實和

“末位對齊”一樣，都是為了確保“相同數位對齊”，而相同數位對

齊背后的道理就是“相同計數單位的個數直接相加減”。你們不僅找

到了方法，還理解了方法背后的數學道理，真了不起。

小數加減法在小學“數與代數”的學習領域中占有什么位置？如

何把握它與整數加減法的關系？在這節課中又該如何呈現知識的本

質，抓住核心概念進行教學？于萍老師的教學實踐回答了上面的問

題。教師在引導學生探究小數加減法計算方法的過程中，始終抓住了

本節課知識的“魂”實施教學，她沒有滿足學生能正確地計算出結果，

而是步步深入引導學生逼近數學本質的理解。引發學生對小數加減計

算道理的深刻理解，即：小數加減法與整數加減法的本質意義是一致

的，即相同的計數單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機

的結合，讓學生在理解算理的基礎上總結算法，有助于學生更深入地

理解數學核心概念，才能夠更好地實現“培養學生根據法則和運算

律正確地進行運算的能力。”的目標。

三、對“數的運算”教學的建議

（一）處理好算理直觀與算法抽象的關系。這個理是學生不容

易理解的，教師可以通過現實情境、直觀的圖、學生已有的知識基礎

等幫助學生去理解。

（二）處理好算法多樣化與算法優化的關系。算法多樣化，要

關注學生的個性，可能這個學生適合這樣的方法，那個學生喜歡另一

種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過不同的方

法，讓學生去理解這個道理，使學生能夠更有效的進行數學學習。

（三）處理好技能訓練與思維訓練的關系。它不是一種單純的、

機械的、做題量的積累，在這個過程當中，要注重幫助學生積累經驗，

發展思維。

（四）注重計算與日常生活以及解決問題的聯系。學習加減乘

除的計算，最終要為解決問題服務，在解決問題過程中，讓學生體會

到計算方法的實際價值。

問題三如何落實新課標對估算的要求

一、《課標》對“估算”有什么新要求

課標修訂版中加強了對“估計”以及“選擇適當的單位”進行簡

單估算。如何理解“選擇適當的單位”進行簡單的估算？

例如：學校組織987名學生去公園游玩。如果公園的門票每張8

元，帶8000元錢夠不夠？

解決此題的適當方法是把987人看成1000人，所以適當的單

位是“1000人”。結合具體情境，選擇適當的單位是第一學段估算

的核心。在對大數進行估計的時候，選擇合適的單位也很重要。教室

到學校體育館有多遠，就應當選用米作單位。而從家到學校有多遠，

就要選擇千米作單位。太陽到地球的距離就要用光年作單位。

第一學段的估算強調在具體的情境中選擇合適的單位，剛才的例

子是選擇了1000人作單位。一般來說，估計教室的長度時，通常以

“米”為單位；估計書本的長度時，通常以“厘米”為單位。也可以

用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等。教學中，要讓學

生結合實際熟悉一些常見的計量單位真正了解其長短，大小和輕重

等，并在頭腦中建立起相應的表象。

二、如何把握估算教學的內容及其要求

（一）為什么教

?估算在日常生活中有著廣泛的應用。

?有利于人們事先把握運算結果的范圍，是發展學生數感的重要

方面。

?為判斷計算器、口算和筆算結果是否合理提供了依據。

?在具體情境中估算，有利于學生提高判斷、選擇的能力。

?估算有利于培養學生做事的計劃性。

?估算對學生后續的數學學習有重要作用。

（二）教什么

關于“教什么”要依據新課標中的要求，展開教學。至少教學要

涉及“估算方法”、“估算策略”。

估算方法：

①湊整的方法。如湊成一個整十、整百的數。

②取一個中間數。如32、37、30和39這四個數求和，這些數

都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間

數35，直接用35×4，就大約地計算出了這幾個數相加的結果。

③用特殊的數據特點進行估數。如126×8，就可以想到125×

8，125的8倍，就得到1000。

④尋找區間。也就是說叫尋找它的范圍，也叫做去尾進一，去

尾就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結果就是它的至少是

多少；進一就是首位加一，假如說278，就看成了300，首位加一，

這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是尋找它的區間

范圍。

⑤大小協調。兩個數，一個數往大了估，一個數往小了估，

或者一個數估一個數不估。

⑥先估后調。

⑦利用乘法口訣湊數。這種方法一般用于除法的估算，一般用

除數乘一個整十數、整百數或整百整十數，如果乘積最接近被除數，

則這個數就是除法估算的商。如358÷6，用除數6乘整十數60，

其積360最接近被除數358，那么整十數60即是所求的商。

（三）怎么教？

估算教學，不是單純的教給學生記住一種估算的方法，而是通過

我們的課堂教學，使學生逐步地去理解估算的意義和價值，發展學

生估算的意識。在這個過程當中，應當多增加一些學生的體驗，不斷

地豐富學生這方面的經驗，并逐步加以積累。

教學建議：

1.整體把握估算教學，把估算意識的培養作為重要的教學目標

所謂整體把握估算教學，就是要把握自己所教估算教學部分的知

識結構與地位，要知道自己所教學的估算知識部分在整個小學階段處

于什么位置?對今后的估算學習能起到什么作用?要在自己所教

的一段達到什么樣的目標?這樣一來在教學中就會做到游刃有余，

心中有數。

學習估算的開始階段，對學生來說可能有一定的難度，或許會影

響一點教學進度或計算速度，這時老師不能為了趕進度而著急，應該

給學生充分理解的空間和時間。要知道開頭的“慢”正是為了不

久之后的“快”和“好”。

在教學中首先要考慮估算的教學目標，如果把目標僅僅定位在

就教會湊整估算，或是見到“大約”就要估算，做一些機械的訓

練，可能就會給學生形成一種錯誤的定勢。而估算教學中，首要重要

的如何培養學生近似的意識，這是我們數學教學本身應該關注的問

題，應該作為重要的教學目標來進行實施。

引導學生在問題情境的對比中，選擇估算或精確計算，不斷地積

累這方面的經驗。作為數學教師，要想辦法搜集或者捕捉一些好的素

材，在具體的問題情境當中讓學生去感受，什么樣的問題解決需要近

似值，就是需要估算，哪些問題解決一定要算出精確值，比如“全家

吃飯”飯費大約200元，就是估算。沒有必要精確地計算。但作為飯

店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。

2.要選好題目，提出好問題，讓學生體會估算的意義和價值。

作為教師，在教學設計當中，首先要選好題目，提出有估算價值

的問題。比如，三位數除以兩位數，你估一估這道題，它的商是幾位

數？這個問題就有價值。另外，只有選好題目、提出好問題學生才能

自覺體會到估算的價值，學生有了對估算價值這種體驗以后，他的估

算意識才能不斷增強。

另外，鼓勵學生利用估算來驗證計算結果，養成好習慣。估算教

學，要結合具體的問題情境讓學生體會到估算的意義和價值，結合學

生的實際，尤其是已有的知識水平和生活經驗提出合適的問題，才能

使得學生對估算的意義有深刻的體會，尤為重要的是，給學生充分的

交流時間和空間，通過學生的交流讓學生解釋過算的過程。

面對不同的算式，學生有時用計算器計算，有時用精確筆算，結

果對不對，特別是積的位數、商的位數，準確不準確，可以先用估算

的方法，來確定一下它大致的取值范圍，這樣可以幫助學生來驗證計

算的結果。估算意識的培養，應該從點點滴滴做起，使學生逐步地養

成一種習慣，形成這種良好的習慣以后，他會自覺地進行估算。

3.鼓勵方法多樣化，重視交流、解釋過程，讓學生進行合理估算。

由于學生對于相關數學知識和技能的掌握情況及思維方式、水平

不同，在估算中方法會多種多樣。教師要積極鼓勵學生估算方法多樣

化，應讓學生充分交流，表達自己的想法，了解他人的算法，使學生

體會到解決同一個問題可以有不同的方法，促進學生進行比較和優

化。

估算結果是多樣的，要關注估算結果是否合情合理。在估算教學

中讓學生交流估算方

法尤其重要，只要切合估算的目的或解決問題的需要就是好方

法。因此不同的情境會選擇不同的估算方法。

教師教學中要強化估算意識并結合教學內容作好估算示范。這種

示范并不是包辦，而是給予適當的引導，讓學生在科學的范圍內進行

估算，同時對好的方法加以強調，進行合理的估算。

4.做好對估算的有效評價

（1）對估算意識的評價

首先看一個案例，摘自TIMSS的測試：

保羅用$5去購買牛奶、面包和雞蛋。當他到達商店時，發現這

三種食品的價格如下圖所示：

在下列哪種情況下使用估算比精確計算有意義？

A.當保羅試圖確認$5是否夠用時；

B.當銷售員將每種食品的價錢輸入收銀機時；

C.當保羅被告知應付多少錢時；

D.當銷售員數保羅所付的費用時。

這個題目設計的比較巧妙，它通過一個具體問題，考察學生能否

在具體情境下對是否需要計算估算進行判斷，也就是考察學生是否具

備了一定的估算意識。此題對我們的最大啟發是，估算意識也是可以

考察的。因此在進行估算評價時，也要重視對估算意識的考察。

（2）對估算策略的評價

估算分為：一種是根據實際問題來進行估算，一種是脫離實際問

題的情境，純算式的進行估算。

?根據實際問題，選擇合理的估算策略，結果合理即為正確

學生只要能夠解決實際問題，那這個估算就應該是合理的，這是

針對著解決實際問題來說的。老師需要認識到，估算結果并不是與實

際情況越接近就越好，只要合理即為正確。什么是合理，只要估算的

結果，能夠有效地解決問題就是合理。

?純試題的估算，只要結果落在一定的區間內，即為正確；但要

根據不同年齡的學生的認知實際，給予針對性的評價

有一些題目，脫離了實際問題情境，屬于純算式的估算，在這種

情況下，我們提出：不能簡單地把估算結果是否與精確值最接近作為

唯一的標準，只要能夠落在區間內，就視為是合理的。這個區間，

也就是它的取值范圍。

同時，不同年齡的學生，要有不同的評價標準。如低年級學生剛

剛接觸估算，它的估算結果落在一個范圍比較大的區間內，我們覺得

就可以。高年級的學生已經有了一定的估算經驗，就要引導他不斷地

進行再反思，再調整。舉個例子來說：78×365積大約是多少，

剛開始學習的時候，學生可能這樣估70×300，或者80×300，

或者80×400，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計算

技能以后，老師要引導學生不斷地去進行反思，還可以估成80×

350，這時候的范圍就比原來要小多了。

?數學中比較重視估算結果是否落在了合適的數量級中

數量級也就是十、百、千，萬……，換句話說就可以用10的多

少次次方。如上面提出的TIMSS測試題中有一道題的備選答案很有

意思，“史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大

約是多少升？”讓學生從下面的答案進行選擇。

A.30000B.240000C.300000D.2400000E.3000000

這正是在考察學生對數量級的了解。一年52個星期，52×

6000，結果為十萬數量級，再加上肯定比三十萬大，所以結果為C。

關于評價估算策略的問題，我們認為學生們估算的策略不同，只

要是合理的，就應當

鼓勵他們大膽地嘗試，鼓勵他們積極解釋自己的觀點，交流自己

的看法。在這個過程當中，肯定會有很多有價值的東西在課堂中涌現

出來，教師要小心翼翼地去呵護住學生們的這份探究的精神，不要輕

易地用一兩句話就否定一種方法。教師不要急于給予評判，給孩子一

種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學會調整，不斷地學會反思，提升孩子

這種判斷的能力。

問題四：如何依托現實情境，幫助學生理解常見的量

一、《課標》中對“常見的量”的要求是什么

在小學階段“常見的量”基本在第一學段出現，主要有貨幣單位、

時間單位和重量單位。《課程標準修訂版》中這一部分內容并沒有太

大的變化。而在以往的教學中，一些教師對于《課程標準》中“理解

常見的量”的具體要求，落實得還不夠到位。對這一部分內容的教學，

有的教師僅僅停留在讓學生能夠認識這些常見的量，并能夠進行單位

間的簡單換算。那么針對這一問題，我們在課堂教學中應如何準確的

落實“理解常見的量”這一具體目標呢？

二、如何幫助學生理解常見的量

（一）依托現實生活情境，幫助學生理解常見的量。

數學課程標準中提倡讓學生在生活情境中感受數學。北京市宣武

師范附屬第一小學耿爽老師上的《克和千克》，和北京小學走讀部朱

潔老師上的《認識時間》，都能夠依托現實生活情境，幫助學生體現

和理解常見的量。

在《克和千克》一課中耿老師注重依托現實生活情境，從學生

熟悉的生活情境引入學習（從超市中買回的各種商品及生活中常見的

與克和千克有關的情境），揭示本節課的學習內容，這樣的引入能較

好的激發學生興趣，同時給孩子發現數學問題的機會，也讓學生感

受到“克和千克”與日常生活的密切聯系。

在《認識時間》一課中，朱老師將認識時間與學生在學校的作息

時間相結合，這樣就能夠調動學生已有的、熟悉的生活經驗，幫助他

們認識鐘表，理解常見的時間單位。

（二）依托現實活動情境，幫助學生理解常見的量。

實踐是最好的老師，只有學生們親身經歷了才會印象更深。因此

除了依托現實的生活情境，我們還可以依托現實的活動情境，幫助學

生理解常見的量，建立正確的質量觀念、時間觀念等。

例如：“克和千克”的學習對于學生來說有一定困難，學生雖

然在生活中接觸過質量問題，感知過輕和重，也曾經在商品標識上

看見過千克、克，但多數學生都不知道它們是質量單位，不知道它們

之間的進率，對于1克或1千克到底有多重，更是知之甚少。

并且人們對質量的感受力并不強，同一物品掂與提、左手與右手、每

人的承受力等，感受結果不同。同時物體的體積與物體的質量不一定

是統一的，這些都給學生認識質量單位造成了困難。宣武師范附屬

第一小學的耿老師，在教學《克和千克》一課中，就為學生準備

了大量的可操作的物品，為學生留出探究的空間，使學生能夠通過掂

一掂、稱一稱等活動，在感受1千克和1克的過程中，認識克和

千克，同時幫助學生建立正確的質量觀念。

再如：時間單位的認識對于學生來說是很抽象的概念，沒有可

視可觸的形狀與顏色，看不見、摸不著，讓他們來掌握抽象的時間概

念難度很大。所以發展孩子的時間感必須與日常生活的具體事件聯系

起來，使之有可以感知的具體內容。在《認識時間》一課中，通過

讓學生體驗1分鐘能干什么？（拍球能拍多少下，跳繩能跳多少下，

寫字能寫多少個），使學生體會、感受、理解1分鐘有多長，幫助學

生建立時間觀念。

三、有關“常見的量”的教學建議

（一）爭取家長的配合與支持，提前為學生學習“常見的量”積累生

活經驗。

由于“常見的量”這一部分內容對于第一學段的學生來說比較抽

象，因此生活經驗是否充足，將會影響到學生對這部分知識的學習。

如果學生平時在生活中能經常接觸到相關知識，他就能在這一方面學

得很好，例如：學生平時有經常跟隨家長購物的經驗，學習人民幣的

相關知識就會輕松很多。反之，生活經驗的缺失會使學生不易理解，

造成學習上的困難。

（二）運用多種教學策略，將“常見的量”與現實生活有機結合。

教學中應注重運用多種教學策略，使“常見的量”的學習更貼近

學生。要注重為學生提供多重學習素材，充分利用好學具，調動學生

多種感官參與學習，為學生提供動手實踐、自主探索、觀察與思考、

發現、表達的機會，激發學生的參與意識和積極性，讓學生學會在實

際中運用所學知識解決實際問題。

小學數學數與代數2

問題框架：

1.如何在方程教學中幫助學生經歷從算術思維向代數思

維過渡？

2.如何在正反比例教學中體現函數思想？

3.如何處理好“問題解決”教學中生活情境具體和

數量關系抽象的關系？

4.如何在教學中凸顯問題解決的策略？

具體內容：

“數與代數”部分是義務教育階段數學課程的重要內容。

這部分的內容包括數的概念、數的運算、數量的估計；字母

表示數，代數式及其運算；方程、方程組、不等式，函數等。

數的概念是學生認識和理解數學的開始，從自然數逐步擴

展到有理數、實數，學生將不斷增加對數的理解和運用。數

的運算伴隨著數的形成與發展不斷豐富，從最基本的自然數

四則運算，擴展到有理數的運算。伴隨著字母的引入，代數

式和方程的出現是數及其運算的進一步抽象。本專題中，我

們和您交流的內容主要涉及后面兩部分，下面我們結合新課

標，聚焦幾個老師們實踐中的問題，進行深入的交流。

一、在方程教學中幫助學生經歷從算術思維向代數思維

過渡

1.方程教學的目標

對式與方程這部分內容，課標有如下具體要求：

1．在具體情境中能用字母表示數。

2．結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表

示。

3.能用方程表示簡單情境中的等量關系（如3x+2＝

5，2x-x＝3），了解方程的作用。

4．了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。

在每個學生數學學習的歷程中，“字母”的出現都是一

次認識上的飛躍。在“字母表示數”以及“方程”教學中，

要肩負著幫助學生從算術思維向代數思維進行過渡。學習“字

母表示數”的過程是幫助學生建立數感與符號意識的重要過

程，是學習和認識數學的一次飛躍，同時也是學生今后繼續

學習代數式、整式、分式和根式等一系列概念及相關運算的

重要基礎，具有非常重要的意義，需要引起高度重視，并貫

穿于學習數與代數的始終。

在小學的第二學段中就安排了“式與方程”的內容，就

是要引導學生在具體情境中會用字母表示數；結合簡單的實

際情境，了解等量關系，并能用字母表示。從第一學段過渡

到第二學段，隨著學生年齡的增長，思維水平和理解能力也

在逐漸提高。這一時期的學生正處在由具體形象思維向抽象

邏輯思維過渡階段。在第一學段的基礎上，第二學段不僅擴

大了數的認識和運算的范圍，同時在較為抽象的水平上初步

認識代數知識和滲透函數思想。

引入簡易方程的價值在于，為學生提供用代數方法解決問

題的途徑。小學階段解決問題的基本方式是算術方法。基本

的數量關系模型一是求和的關系（部分+部分=整體），

二是求積的關系（每份數×份數=總量）。具體的表現為

加、減、乘、除的意義。算術方法解決問題基本上是根據加

減乘除四則運算的含義，分析問題中的數量關系，列出一個

算式。這個算式的基本特征是將已知的數量構成的算術式使

其結果等于所求的數量。

例如：小明原來有一些鉛筆，爸爸和媽媽又分別給他買

10枝新鉛筆，這時他一共有38枝鉛筆，原來小明有幾只鉛

筆？

用算術方法列出的算式是：38-10×2=

而用方程來解要先用字母x表示原來鉛筆的數量。按照

數量關系，可以列出方程：X+10×2=38

后者是直接用部分+部分=總體的思路，未知數X和

其它已知數一起進行運算。而前者是求和逆運算，即已經和

與一個部分，求另一個部分。在解決較為復雜的問題時，方

程與算術方法的區別會更為明顯。

對于解方程，《標準》明確指出“用等式的性質解簡單

的方程”。等式的性質反映了方程的本質，將未知數和已知

數同等看待。這正是代數思維與算術思維的基本區別。

開始從算術方法到代數方法可能顯得比較繁瑣，特別是對

于簡單的數量關系，用算術方法操作起來更為容易，但在解

簡單方程時仍倡導老師們關注用等式性質的思路，一方面它

體現著代數方法的本質，另一方面也是與第三學段方程學習

的重要銜接。

2．從算術思維向代數思維過渡，是學生認知發展的飛躍。

【片段1】趙震——《用字母表示數》

趙老師通過“神奇的魔盒”，讓學生充分經歷輸入數與輸

出數的游戲，發現規律、驗證規律、總結規律、概括規律，

從“圖形(△→□)”到“字母”、從無關系的字母（a

→b）到揭示規律的字母（a→a+10），引導學生產生簡明

表達規律的內需——“用字母表示數”，真正理解字母表

示數的價值。

【片段2】趙震——《用字母表示數》

對，我也聽過趙老師這節課，唱兒歌——《數青蛙》：

一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿。

兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿。

三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿。

……

讓學生邊拍手邊有節奏地哼唱，與此同時課件不斷顯示更

多的青蛙，直到多得數不清，這時趙老師問：還能唱嗎？

學生感到有困難了，于是教師發給學生每人一個小條，試著

寫一寫。

學生在練習紙上填：

生1：無數只青蛙無數張嘴，無數只眼睛無數條腿。

生2：a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿。

生3：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。

生4：a只青蛙a張嘴，aa只眼睛aaaa條腿。

生5：a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿。

通過傾聽學生的發言與交流，展現了學生不同的結論及不

同的思維層次：

例如：生1還沒有達到“用字母表示數”的水平，停留

在用語言來描述數量及關系；

生2雖然達到了“用字母表示數”的水平，但沒有表示

出數量關系；

生3走近了“用字母表示數”，有了一定的數量關系，

但是不全面；

生4走近了“用字母表示數”，明白數量關系，但是表

示不準確，有待教師的引導；

生5真正走進了“用字母表示數”，既用字母表示出了

數，又準確地表示出了數量之間的關系。

趙老師在課堂上，通過學生喜歡的、生動的“說兒歌”

活動，讓學生在數的過程中感受到“數”的具體，并由此產

生尋求更簡潔、更概括的表示方法的心理需求。這為“字母

表示數”的引出奠定了積極而充分的情感基礎。這個過程既

是新知識的學習過程，更是學生由原有的算術思維水平不斷

向代數思維水平邁進的過程。孩子們在一句句誦讀兒歌的過

程中，完成了思維水平的提升，完成了從數的具體到字母抽

象的過渡。從數字運算到字母運算。在此過程中，教師要緊

緊把握好符號意識。

絕大多數學生，經歷認識上的這個過渡時，都不會自然而

然、簡簡單單就完成的。需要教師精心地設計活動，讓每個

學生都有機會經歷，有機會感悟，才可能慢慢地完成從算術

思維向代數思維的過渡。

的確，小學生在相當長的時間里是以算術思維為主的，但

伴隨著學習的不斷深入，從算術思維過渡到代數思維是每一

個學生必須面對的。這個飛躍對于大多數學生而言都會存在

不同程度的困難，都將是一次挑戰。這個過渡是個過程，而

且這個過程的長短對不同的學生而言也會存在差異，教師在

教學中首先應重視對學生代數思維的培養。應對不同的學生

給予不同的關注和輔導，允許一部分學生在經歷一段時間的

學習和積累漸漸達到要求，完成過渡。與此同時，教師還應

著眼于學生的發展，整體把握目標的達成。也就是說，“字

母表示數”及“方程”相關內容的學習是在第二學段高年級

出現的，但對學生代數思維的培養，不一定也不應該等到這

個時候才開始。在前面的很多內容教學中應該有意識地孕伏，

讓學生有機會在不同內容的學習中“找感覺”，積累經驗，

不斷地為完成好認識上的重要飛躍打基礎。

3．在低、中年級孕伏代數思維

這是北京小學杜雪飛老師執教的“找算式中的數朋友”一

課。這是二年級“表內除法”單元中的練習課，源于對教材

中的一道練習題。

既然學生從算術思維向代數思維過渡需要孕伏，那么這樣

的孕伏就不能，也不應該僅僅是高年級老師的教學任務。各

年段的教師都應該善于捕捉恰當的內容，善于尋找恰當的時

機，選擇恰當的方式，及時訓練代數思維，讓學生在活動中

有所感，有所悟。本課內容的開發，便抓住了學生認知中的

這個困難點，通過一系列活動使之變得形象，易于學生接受。

可以說，在相當長的時間里，對于很多學生而言“=”

更像一個從左向右的單方向箭頭（），因為算式總是先

知道數據和符號，通過運算得出結果。今天這節練習課中，

杜老師將為學生們創造“倒著想”的機會，把“逆向”思考

作為突破口，讓“=”在孩子們的頭腦中變成“雙向”的。

這是對等式左右兩邊“相等”關系的更深入的理解，同時也

是孩子們邁向代數思維的重要啟蒙。這是教師在低年級教學

中為學生長遠發展奠定基礎的有益嘗試。

長期以來，在小學階段教學簡易方程，方程變形即解方程

的主要依據是四則運算各部分間的關系。而新課程標準指導

下的教材中更強調了“等式性質”的教學，這樣設計的意義

又是什么呢？

這是一個老師們普遍存在的問題。其實，如果僅以“解方

程”為目標的話，也能用四則運算各部分關系及等式性質都

是可以的，也就是都能夠讓學生順利地找到方程的解，進而

解決實際問題。但運用四則運算各部分關系的思路實際上是

用算術思路求未知數。這樣的教學利用了學生已有的知識，

因而易于理解，但是卻不易與中學的教學銜接，也不易于學

生更好地代數思維的形成。根據《標準》的要求，從小學起

就引入等式的基本性質，并以此為基礎導出解方程的方法。

不僅有利于加強中小學數學教學的銜接，而且有利于學生邏

輯思維能力的發展，為今后學生更好地把握方程的實質奠定

基礎。總的來說，在小學階段，只要達到能用方程表示簡單

情境中的等量關系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解

方程的作用，了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方

程。并在這個過程中，了解等量關系、方程、等式與方程的

解等與方程有關的常識，以及解簡單方程的方法。對于方程

作為刻畫現實情境中數量關系，溝通已知數和未知數的一種

數學模型提供了一些素材，留下了初步的印象；進而通過解

方程求得未知數的值，對實際問題做出合理解答，初步領會

方程的意義。

在教學這部分內容時，教師首先要把握好內容的定位，正

確理解它的意義。不能僅僅把“方程”當作知識點，把“解

方程”和“列方程解決問題”當作技能，僅為達成知識目標，

心中要裝著學生在數學學習中的長遠發展，以不同的形式、

在不同的年段為學生代數思維的建立創造空間，以豐富而有

層次的活動幫助學生順利地完成認識上的飛躍。總之就是教

師的心中要裝著“知識技能”、“數學思考”、“問題解決”

和“情感態度”四維目標。

二、在正、反比例教學中體現函數思想

在六年級的教學內容中正比例和反比例一直是一個重要

的內容，這部分內容同樣肩負了幫助學生完成一次認識上飛

躍的重要任務。學生將從大量對“常量”的認識經驗中逐步

過渡到認識“變量”，這是函數思想滲透的重要契機。

1．正、反比例教學的目標

在課標中，對這部分內容的要求是：

?在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決

簡單的問題。

?通過具體情境，認識成正比例的量和成反比例的量。

?會根據給出的有正比例關系的數據在方格紙上畫圖，

并會根據其中一個量的值估計另一個量的值。

?能找出生活中成正比例和成反比例關系量的實例，并

進行交流。

從“數與代數”內容的發展來看，本質上可以從兩個角度

理解：第一，從數的擴充角度，從常量到變量；第二，從關

系的角度，從數量關系到等量、不等、變化關系。

2.在教學中滲透函數思想

在有關正反比例的教學中，我們常說要滲透函數思想，但

“函數”并不是小學的學習內容，那在小學學習正比例和反

比例的價值是什么呢？

函數是一種具有普遍意義的數學模型，在分析和解決一些

實際問題中有著廣泛的應用。函數是“數與代數”的重要內

容，也是義務教育階段學生比較難理解和掌握的數學概念之

一，本標準在三個學段中均安排了與函數相關聯的內容目標，

希望學生能夠逐漸加深對函數的理解。因此，教材對函數內

容的編排應體現螺旋上升的原則，分階段逐漸深化。

在第二學段中，引入正比例與反比例，它們是一類常用

的數量關系，這部分內容的學習是函數思想在小學的體現。

在現實中，有許多數量關系可以表示為成正比例的量和成

反比例的量，其本質是兩個量按一定的比例關系發生變化。

如果一個量增加（減少），另一個量按一定的比例增加（減

少），兩個量是成正比例的量；如果一個量增加（減少），

另一個量按一定的比例減少（增加），兩個量是成反比例的

量、如果分別用X和Y表示兩個量，前者可以表示成

Y=aX(a>0);后者可以表示成Y=a/X，或XY=a(a>0)。

正比例和反比例的關系本質上是函數關系，小學階段并不

出現函數的概念，但要讓學生感知兩個量之間的關系。一是

使學生對數量關系的認識和理解更加豐富，二是為第三學段

進一步學習正比例函數和反比例函數，以及學習一般的函數

知識做準備。教學中應與實際情境緊密聯系，用學生可以理

解的具體的方式呈現這些內容，引導學生從數量關系的角度，

以及兩個量之間變化的規律的角度來理解并掌握這個內容。

3．圖像在正、反比例教學中的價值

學生對“正反比例”的學習，就是從簡單的數量關系過渡

到對“變化關系”的認識和學習。與以往的教材和教學要求

相比，在方格紙上畫圖是個新的要求，教材中也出現了“正

比例”及“反比例”的圖像，它的價值是什么？教師該如何

發揮好“圖像”的作用，更好地體現和滲透函數思想呢？

下面結合具體的案例來回答這個問題。北京實驗一小郭

雯硯老師執教的《成正比例的量》，這節課上郭老師緊緊

抓住了“圖像”作為幫助學生認識和理解正比例的重要素材。

郭老師在學生根據表格、算式等熟悉的方式表示出正比例

關系之后，教師地引出了“圖像”，把它作為新朋友非常隆

重介紹給了學生。讓學生通過初步的猜想和分析，對圖像有

初步的感知，為后面深入而細致的探究奠定了基礎。

的確，正比例教學是從常量數學到變量數學學習的啟蒙階

段；圖像教學能夠直觀地呈現兩個變量之間的相依關系，使

學生加深對正比例意義的理解。通過此課的教學，可以滲透

函數思想，促進中小銜接，能夠為學生今后的學習奠定基礎。

因為學生有折線統計圖的學習基礎，描點連線對學生而言

并不困難，可以自然地遷移。因此，在課堂上讓學生認識正

比例圖像是有認知基礎的。但同時也會存在困難，例如，該

不該從0開始畫呢？這個學生在學習正比例圖像是普遍存

在的問題，這個問題對于學生理解正比例有怎樣的意義呢？

讓我們帶著這個問題看看當時課堂上的情況吧。

可以看出，課堂上雖然學生能畫出圖像，但他們大都是

依據畫折線統計圖時的經驗，這其實是錯誤的。在教學中，郭

老師及時抓住了學生生成的問題，逐步進行深入的剖析，使

學生明確這條直線是由無數個處在同一條直線上的點形成

的。

從剛才的教學片段來看，學生在探究的過程中，雖然會

描點連線，甚至能找到變化規律，但是并沒能夠順利地有在

圖像、表格和規律之間建立有機的聯系。對于數學的認識還

是比較孤立，比較靜止的，缺乏運動的觀點和變量的意識。

這正是函數的核心所在，是引導學生深入理解正比例關系的

要害所在，也正是發揮“圖像”作用的重要契機。課堂上，

郭老師準確而巧妙地捕捉到了這一點，借助直觀的課件，幫

助學生進一步展開了分析，對圖像的補充過程，恰恰是學生

對正比例關系認識的完善過程。

函數有三種數學表示方法：表格、關系式和圖像，這就是

人們通常所說的函數的多重表示。多重表示的方法不僅可以

加強概念的理解，也是解決問題的重要策略。圖像對于理解

變量之間的關系具有十分重要的意義，函數關系用圖像來表

示，以其直觀性有著其他表示方式所不能替代的作用，它是

“看見”兩種量之間的關系和變化情況的途徑之一。學生在

現階段學習正比例圖像，是十分困難的，這是他們第一次接

觸函數圖像。在學習的過程中，重在讓學生認識圖像，感受

圖像的作用、價值和美，為將來繼續學習函數和圖像做好心

理準備。

看來在課堂上發揮好“圖像”的作用，可以有效地幫助學

生更加深入地理解概念，感受變化關系，悄然地就實現了對

函數思想的感悟。這一觀點，在郭老師設計的這節課后面的

練習中仍有很好的體現。

這幅圖像反應的是我們學校給住宿的同學買蘋果的情況。

給出數據和具體的情境。

給出數據后，你又能從圖中發現哪些信息？（12千克蘋

果48元。）

你怎么看出來的？

生1：從橫軸上找到12千克，向上找到直線上對應的

點，再向左找到縱軸上的值。

生2：還能看出40元可以買10千克蘋果。

生3：還有每千克蘋果4元。

學校又買來一些香蕉，哪個更貴呢？

學生覺得兩幅圖像分開畫不太容易觀察，利用電腦把兩個

圖像合在一起。

這時，學生都認為香蕉更貴，表示香蕉購買情況的這條直

線更陡一些。

為什么直線越陡，價格就越貴？

生1：同樣的數量，比如都是6千克，從橫軸上6千

克的位置向上看，香蕉的黃線在蘋果的上面，說明香蕉的總

價比蘋果的多，所以香蕉更貴。

生2：同樣的總價，比如都是40元，向右看可以買10

千克香蕉或12千克蘋果，買的蘋果比香蕉多，所以香蕉

比蘋果貴。

如果還買了一些橙子，我們已經知道橙子的價格比蘋果還

貴，你覺得這條直線應該畫在哪里？(畫在香蕉的上面。)

由此可以看出，圖像已經成為了學生分析變化關系，理解

變化關系，呈現變化關系的重要工具了。的確，圖像讓抽象

的變化關系變得直觀，變得讓學生有更容易有“感覺”了。

這是學生第一次接觸函數圖像，在此之前他們甚至都沒有

見過圖像，不知道圖像是什么樣的。教師應在這部分內容的

教學中，大膽地為學生設計猜想、探究、實驗和驗證的活動，

讓學生有機會將已有的舊知識與新形式建立聯系，在圖像的

觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，

讓靜止的動起來，讓具體數變得抽象起來，這個過程就是函

數思想滲透的重要過程。

看來多維教學目標的達成離不開教師對數學核心概念有

清晰的認識和準確的把握，這就需要教師對教學中每個內容

有深入的分析，挖掘其背后的價值，為學生長遠發展奠定重

要的基礎。

三、問題解決：從解題到建模

對于應用題教學，我們都熟悉它的結構、類型以及解題思

路、方法等。新課標把“應用題”改為“解決問題”，現在

又改為“問題解決”，這不僅僅是名稱上的變化，更為重

要的是使應用題教學的教育價值定位更加準確，教育理念更

加明確，課程體系更加寬泛，呈現形式更加靈活。

現在的“問題解決”和計算教學緊密融合；也不再單獨的

安排一些單元，而是把問題解決貫穿到“數與代數”、“圖

形與幾何”、“統計與概率”和“綜合與應用”四個領域的

學習中；問題解決的呈現方式有了新的拓展：文字、圖表、

圖文并茂、多余信息等。教材的這些變化給教師的教學實踐

帶來了新的挑戰。

課標關于“問題解決”的總體目標：

?初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運

用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐

能力。

?獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決

問題方法的多樣性，發展創新意識。

?學會與他人合作交流。

?初步形成評價與反思的意識。

具體到每一個學段，目標有是什么呢？

第一學段問題解決

1．能在教師的指導下，從日常生活中發現和提出簡單的

數學問題，并嘗試解決。

2．了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一

個問題可以有不同的解決方法。

3．體驗與他人合作交流解決問題的過程。

4．嘗試回顧解決問題的過程。

第二學段問題解決

1．嘗試從日常生活中發現并提出簡單的數學問題，并運

用一些知識加以解決。

2．能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問

題方法的多樣性。

3．經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己

的思考過程。

4．能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性。

在(標準)提出的上述目標中，發展應用意識和形成解決問

題的策略是重點。其中課標修訂版一大變化就是“雙能”變

成“四能”：由原來的分析問題能力和解決問題能力，變成

了四能：發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力。提

高學生解決問題的能力作為基本目標；

第二就是幫助學生形成一些基本的策略，通過求解問題獲

得更好的概念理解，包括促進學生的交流，并能積極地從事

數學證明等；

第三就是幫助學生學會數學地思維。這也是問題解決的最

高目標；

第四反思也必不可少的環節之一；

過去在小學教學中，教師們非常重視“應用題”的教學，

目的是要通過培養學生運用數學知識來解決實際問題的能

力。新課程改革以來，雖然應用題不再成為獨立單元，反而

是對解決問題能力的加強。

新的數學課程標準將問題解決作為一個重要目標，這是課

程改革和發展的需要。

請吳老師說一說問題解決與傳統“應用題”的區別。

（一）問題解決與傳統“應用題”的區別

1.重視過程的教學：應用題更多的強調盡快獲得答案；

而問題解決是強調一個過程，就是尋求解決問題方式方法的

過程。重視問題解決的過程，尋求問題解決的方法和策略比

獲得一個結論本身來的更重要。

2．不僅僅依附一個知識點：應用題往往是結合某一個具

體的知識點，例如今天講加法，

就是加法應用題，明天學乘法是乘法應用題，原來的應用

題常常是依附在某一個知識點的背景下；而問題解決是強調

針對具體的一個真實的情景，它更多的強調綜合解決問題的

過程。例如今天講完加法后，問題解決的情景它可能不局限

于用加法，也不局限于用減法，它要調動學生已有的知識來

解決問題。它是不僅僅依附于某一個知識點的。

3．具體問題具體分析：應用題教學把應用題歸成類，集

中一類問題進行思考，強調速度和技巧；而問題解決強調的

是具體問題具體分析，換句話說就是在一種新的情境中如何

運用所學知識解決問題，使問題更具挑戰性，可能一個問題

跟著一個問題。它更具有挑戰性，更具有新意。

4．問題的開放性和多元性：應用問題強調廣泛性，即從

生活中來、從兒童已有的經驗出發、從現在的科技、社會發

展的過程中發現問題和提煉問題。問題本身的開放性和多元

性也是其很重要一個特征。

（二）解決生活情景具體與數量關系抽象之間的矛盾

數學問題解決，指的是按照一定的思維對策進行的一個思

維過程，一步一步地接近目標，最終達到目標。也就是說，

數學領域中的解決問題，不只是關心問題的結果，更重要的

是關心求得結果的過程——探索、思考解決數學問題的過程，

一般說來，是一個較為復雜。艱苦的歷程。學生除需要運用

抽象、歸納、類比。演繹等邏輯形式外，還需要運用直覺、

靈感或頓悟等非邏輯形式。

問題解決的過程

要能夠把握“問題解決”的問題，要準確迅速地把握問題

的關鍵，揭示問題的本質屬性，搞清問題的求解目標和已知

條件、未知條件，是問題解決的第一步。

問題解決的第二步是設計求解計劃，這要求大量的分析綜

合，嘗試與猜測、類比與聯想，問題解決的最后一步，就是

對所得結果作檢驗和回顧。

小結：理解題意(分析數量關系)------求解作答——

檢驗反思

在日常教學過程中，我們發現有些孩子自己獨立讀題就不

會做，老師或家長給讀完題后，就能順利解題了。我感覺學

生在做應用問題時最大的困難是讀不懂題意。吳老師您能不

能給我們說說怎樣幫助學生讀懂題？

對于解決問題，學生的困難，一是讀懂題，二是分析數量

關系。

1.如何讀懂題意

怎樣是讀題，我們可以采用如下方法：

一遍讀，搞清楚是什么事；盤點數學信息，從題中獲得哪

些數學信息？（力求不遺漏）

二遍讀，進行篩選，捕捉有用的數學信息，誰和誰有關系，

有什么關系。（力求無偏差）

三遍讀，告訴我們解決什么問題。讓學生梳理“有用信息”

及“目標問題”，進一步明確解題指向。這樣只有我們讀懂

了題，才能更好地進行解決問題。

怎樣幫助學生讀懂題

·手勢理解。

·情景再現。

·邊讀題邊記錄。畫批的方法，給思維以方向，給思維以

范圍。

·抽象出問題的骨架，可以是畫出圖表示關系。

·從數學的角度觀察、思考，提取數量關系，提出并解答

數學問題。

2.分析數量關系

我們要重視對運算意義的教學。加、減、乘、除運算的意

義是核心概念，要讓學生積累原型，在什么時候用加、減、

乘、除運算。

?積累數學原型

加法可以作為合并、移入、增加、繼續往前數等的模型；

減法可以作為剩余、比較、往回數、減少或加法逆運算等

的模型；

乘法可以作為相等的數的和、面積計算、倍數、組合等的

模型；

除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型。

除此之外，還要在具體情境中，了解常見的數量關系：

總價=單價×數量、路程=速度×時間，并能解決簡單的

實際問題。

注重對數量關系的分析。

在解決具體問題時，教師要鼓勵學生通過實際操作、思考

討論，尋找問題中所隱含的數量關系，強調對問題實際意義

和數學意義的真正理解。例如，教師要鼓勵學生首先看懂問

題情境，用自己的語言或者熟悉的符號表達問題情境和需要

解決的問題；根據所求的問題和情境中的條件，運用圖、表

格等多種形式分析數量關系；回憶所學運算及其他內容的數

學意義，將數量關系表達出來，這就是關注題目的大邏輯：

如：三年級植樹20棵，六年級植樹的棵樹是三年級的3

倍，三年級和六年級一共植樹多少棵？

此題的大邏輯：三年級種的棵樹＋六年級種的棵樹=總

數

小桶裝水8千克，大桶裝水的質量比小桶多5千克，4

個大桶可以裝水多少千克？

此題的大邏輯：一個大桶的質量×4=總質量

還可以讓學生畫枝形圖：從條件入手畫枝形圖，表示題中

的數量關系，這就是用綜合法來分析題中的信息。

也可以從結論入手畫枝形圖，表示題中的數量關系，這就

是用分析法來詮釋題中的數量之間的關系。

看來分析數量關系的方法：從條件入手、從問題入手這些

分析方法該告訴學生還得告訴學生，那什么從問題解決情景

中逐步抽象出模型呢？

從眾多情景中抽象出模型

建立數學模型；向別人解釋自己所列模型的實際意義。在

學習了一段時間后，教師還可以鼓勵學生自己總結一些數學

模型的典型實例。

一輛客車3小時行270千米，照這樣計算，6小時行

多少千米？

3瓶飲料花27元，5瓶這樣的飲料花多少元？

王師傅2小時生成18個機器零件，照這樣計算，9小

時可以生產多少個機器零件？

這三道題全部是歸一問題，傳統的基于題型的訓練也是建

模；為什么這樣說呢？

一是從眾多例證中抽取共性的東西：都是先求單一量，這

一步是中間問題，也是解決問題的關鍵所在；二是在選取素

材時選取了基本的數量關系：如速度×時間=路程；單價×

數量=總價；補充了工作效率×工作時間=工作總量。這

就是建立模型的過程。

教學中也有一些老師經常問這樣的問題：實際問題解決之

后，用不用給學生總結歸納基本的數量關系：每份數×份數=

總數，單價×數量=總價……似乎老師給總結了就有灌輸的

嫌疑。

其實，這些基本的數量關系在學生充分感悟的基礎上，需

要教師總結提煉，這也是抽象概括的過程。學生可以運用這

幾個基本的數量關系去解決其它類似的問題。當然不要過早

地揭示，更不能強加給學生。

從模型出發引發新的問題情景

像“植樹問題”在新課標教材中，不論哪個版本都有涉及。

植樹問題分三種情況：

第一種是兩端種樹，第二種是一端種樹，第三種是兩端都

不種。

在四年級的一次調研測試時，有幾道題目從不同角度詮釋

了植樹問題：

（1）小明早晨去學校時，氣溫是零下3℃，中午休

息時，氣溫是5℃。那么氣溫上升了()℃。

這是屬于一端種樹的問題，學生可以根據直觀圖數段數，

也可以進行計算。

(2)從20數到50，兩個兩個地數，一共數（）次。

這是一年級學過的100以內數的數數問題，到了四年級

呈現此題時，目的時讓學生不斷把學過的知識進行分類、歸

類和建構。這道題就是四年級學過的植樹問題，兩端都種的

情況。

換成解決問題的題目：一條30米長的路，每2米栽1

棵月季花，從頭到尾一共栽多少棵？這就是模型思想。需要

教學中經常變化情景，做到變中抓不變。

什么是“好”的問題？

對于教材編寫和教學，一個首要的方面是提出“好”的問

題。對于“好”的標準也許并不統一，這里只是談一談我們

的思考。“好”的問題絕不等同于簡單的練習，解決問題也

決不能簡單地理解為在一般的公式中對某個參數賦以具體的

數值，也不能僅僅理解為會解決一些“人造”的問題。當然，

知識的簡單應用是必要的，但不能僅僅停留于此，而是應努

力使學生經歷從現實情境中“抽取”數學模型的數學化過程，

以及把數學模型放到現實中加以使用的過程。

在內容上，它的內容更具有現實性，更貼近孩子生活實際，

從形式方面新穎活潑，從單一的文字形式到了圖文并茂的形

式；

從思維價值上看更具有挑戰性，讓學生在解決這個問題的

過程當中就獲得了思維的發展，換一句話說就是要用數學本

身的魅力來吸引學生；

從趣味性層面看要能夠激發孩子的興趣，激發學生學習欲

望。

概括起來說，一個好問題具有以下四個特點：

（1）具有較強的探究性（或創造精神）

（2）具有一定的啟發性和發展空間

（3）具有一定的開放性

（4）具有給定信息的現實性和簡易性

四、教學中凸顯問題解決的策略

問題解決活動的價值不只是獲得具體問題的解，更多的是

學生在問題解決過程中獲得的發展。其中重要的一點在于使

學生學習一些問題解決的基本策略，體驗問題解決策略的多

樣性，并在此基礎上形成自己解決問題的某些策略。

下面我們就來介紹幾種常用的解題問題的策略。

1．畫圖的策略。

把畫圖作為一種解決問題的策略。由于孩子年齡的局限，

他們對符號、運算性質的推理可能會發生一些困難，如果適

時的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學生

解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關鍵。因此我們

認為，畫圖應該是孩子們掌握的一種基本的解決問題的策略。

為什么說畫圖很重要呢？主要是比較直觀，通過畫圖能夠把

一些抽象的數學問題具體化，把一些復雜的問題簡單化。下

面我們來介紹幾種常用的畫圖的方法。

畫圖包括畫線段圖、樹圖、集合圖、示意圖

除了剛才介紹的幾種圖以外，孩子們有的時候是沒有任何

框框的，他們根據自己的經驗，自己的思維的特點，可能畫

出一些讓我們老師意想不到的、他所明白的一些圖。就是孩

子們在解決問題的過程中，自己畫的圖。因此我們特別提出

來，作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫出

來的時候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但

是我們要很好地、認真地去挖掘他的思維價值，保護孩子們

創造的積極性。

多樣化方法的呈現，讓學生的交流成為可能，實現了“經

歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。”這

樣的課程目標。

鼓勵學生畫圖分析問題和解決問題，發展學生的畫圖意

識。尤其是學生自己畫的富有個性的示意圖，是學生認知風

格的具體體現。

畫圖，不僅讓學生思維外顯，而且讓教師了解學生的思維

水平，為學生間的相互交流提供了有力的支撐；畫圖在具體

形象和抽象數量關系之間架起了橋梁。

2．列表嘗試

列表的策略，有時候我們也叫列舉信息的策略。在解決問

題的過程當中，我們將問題的條件信息用表格的形式把它列

舉出來，往往能對表征問題和尋求問題解決的方法，起到事

半功倍的效果。

嘗試的策略，簡單的說就是不知道該從哪開始的時候，可

以先猜一猜來進行嘗試。但是猜測的結果，應該是比較合理

的，并且要把猜測的結果，放到問題中去進行調整。

多數情況下這兩種策略同時使用。《雞兔同籠》問題也是

運用列表的方法，在嘗試與調整中逐步逼近正確答案。

問題與策略之間不應該是一一對應的，解決同一個問題應

該有多種策略，一種策略也應該能解決多種問題。

3．模擬操作。

模擬操作是通過探索性的動手操作活動，來模擬問題情

境，從而獲得問題解決的一種策略。學生是通過自己探索的

過程，將需要解決的問題，轉化為一個已知的問題來進行推

導性的研究。通過這種開發性的操作的策略的訓練，不僅能

夠使學生獲得問題的解決，而且在這個過程當中，也能培養

學生的創造性思維。

如：甲乙兩地相距360千米客車和貨車同時從甲開出。

客車每小時行60千米，貨車每小時行40千米，客車到達

甲地后立刻返回，幾小時與乙相遇？

用手勢進行模擬；或動作模擬。學生明白做的路程是2

個360千米；

4.逆推

逆推也叫還原，就是說從反面去思考，從問題的結果一步

一步地反面去思考。在解決某一個問題的過程當中，當你從

正面進行思考遇到了阻礙，碰到困難的時候，可以換個思路

從相反的方向，即從問題的結果一步一步的往前推。

小結解決問題的策略：

“列表”；“假設”；“猜想嘗試”；“模擬操作”；

“畫圖”；“逆推”；“簡化”等都是學生常用的解決問題

的策略。

問題解決的建議：

1．理解運算意義的基礎上，學會分析數量關系。

2．注重恰當選擇解決問題的策略。

3．鼓勵學生主動發現問題提出問題的意識，提高學生問

題解決的能力。

4．反思問題解決的過程及策略，逐步形成評價與反思的

意識。

5.嘗試用方程的方法解決實際問題。

義務教育階段，通過解決問題，更重要的是培養學生應用

數學的意識和數學思考與交流的能力，而不是將學生培養成

解決問題的專家。特別是要使學生認識到數學本身是有用的，

促使他們碰到問題能想一想是否可以用數學來解決。在這樣

的思想指導下的應用問題的教與學,學生學會了真正意義

上的“具體問題具體分析”,學會了如何利用各種手段收

集和處理問題中隱含的信息，學會了如何從問題中發現隱含

的數量關系，學會了如何從多個角度思考問題，因而也就學

會了“舉一反三”，獲得了初步分析問題、解決問題的能力。

小學數學統計與概率

一、數據分析觀念的內涵

1.在實驗稿《課標》中“統計觀念”是核心概念，現在

為什么改名為“數據分析觀念”呢？

在《不列顛百科全書》中關于統計學是這樣定義：統計學

是關于收集和分析數據的科學和藝術。

的確，統計學的一個研究對象是數據，它是通過收集數據，

以及對數據的分析來幫我們解決問題的。在義務教育階段

我們處理的數據都是有實際背景的，正如課表組組長史寧

中教授所述：“數據是信息的載體，這個載體包括數，也包

括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構成

數據，而統計學就是通過這些載體來提取信息進行分析的科

學和藝術。”

可見，統計學的一個核心是數據分析，實驗稿中叫統計觀

念，現在叫數據分析觀念，這兩點并沒有本質性的不同，而

是用這樣的語言更加點出了統計的核心就是數據分析讓人一

目了然。

2.數據分析觀念的內涵

在課標當中，對于數據分析觀念，有這樣的描述：了解在

現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過

分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數

據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的

方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每

次收集到的數據可能不同，另一方面說明只要有足夠的數據

就可能從中發現規律。數據分析是統計的核心。

3.如何發展學生的“數據分析觀念”？

第一，就是讓學生去經歷這個數據分析的過程，體會數據

中蘊含的信息。

例如，清華附屬小學安華老師執教的一年級《統計》。

安老師為學生提供了四部動畫片，選出大家最喜歡看的一部

進行播放。學生的想法各不相同，這可怎么辦呢？老師啟發

學生自己去想辦法，讓學生感悟到我們是為了解決問題而來

做統計的。統計什么？怎樣統計呢？學生自始至終都在思考

中，他們最先想到舉手表決，卻沒有準確統計出結果，然后

又繼續想辦法，有的學生說站起來這樣數的更清楚了，還有

說在小組內去統計，然后我們再匯總，最后大家都統一到用

投票表決的方法來統計。當數據統計上來以后，如何讓學生

體會數據中蘊含的信息呢？安老師讓學生利用數據來推

斷，看哪部動畫片，要用數據來說話。恰巧當時這個班正好

有一個孩子是請假沒來，老師提出問題：如果這名同學也來

投票表決，還是去看“多啦A夢”嗎？學生根據數據利用簡

單推理也做出了判斷。

第二，鼓勵學生掌握數據分析的方法，根據問題的背景能

選擇合適的方法。

例如，體育課上11名男同學100米跑的成績：13秒

217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒6

17秒16秒616秒7。

平均數：15秒6，中位數：16秒6

（1）如果選擇參加一項比賽，希望有一半的男同學可以

參加，選擇哪個成績作為標準？

（2）如果希望確定一個較高的標準，選擇哪個成績作為

標準？（答案不唯一）

（3）如果要確定一個標準，你如何確定？為什么？

第三，通過數據分析，讓學生感受數據的隨機性。

史寧中說：“統計與概率領域的教學重點是發展學生的數

據分析意識，培養學生的隨機觀念，難點在于，如何創設恰

當的活動，體現隨機性以及數據獲得、分析、處理進而作出

決策的全過程。”

例如：上學時間。

學生記錄自己在一個星期內每天上學途中所需要的時間，

如果把記錄時間精確到分，可能學生每天上學途中需要的時

間是不一樣的，可以讓學生感悟數據的隨機性；更進一步，

讓學生感悟雖然數據是隨機的，但數據較多時具有某種穩定

性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調查可

以知道“大概”需要多少時間。

為什么我們要在統計概率教學中，把數據分析觀念作為一

個核心概念呢？可以從標準解讀中對核心概念的價值進行分

析。

在標準解讀中，提出了四個方面的價值。第一，它們是學

生在義務教育階段數學課程中最應培養的數學素養，是促進

學生發展的重要方面(教育價值)；第二，核心概念往往

是一類課程內容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內

容的線索和層次，抓住教學中的關鍵；第三，核心概念本質

上體現的是數學的基本思想；第四，這些核心概念都是數學

課程的目標點，也應該成為數學課堂教學的目標，并通過教

師的教學予以落實。

二、統計與概率的內容變化及主線分析

（一）新課標中關于“統計與概率”的內容標準

1.《標準》中有關“統計與概率”的內容標準

2．分析調整原因

“統計與概率”內容結構做了較大調整，使三個學段內容

學習的層次性更加明確。強調培養數據分析觀念，與學生的

現實生活聯系得更加緊密。內容結構上，三個學段有較大的

差別。第一學段內容大減少，只保留3條要求。主要是學會

分類、會進行簡單的數據搜集與整理的；第二學段分為“簡

單數據統計過程”和“隨機現象發生的可能性”兩部分，共8

條；第三學段分為“抽樣與數據分析”和“事件的概率兩部

分”，共11條。這樣調整的原因在于，在實驗過程中原來

第一學段對于統計與概率內容的要求，按照學生現有的理解

水平，學習有一定困難，教學設計與實施有很大難度。同時，

在內容上與后面兩個學段有很大的重復。因此，較大幅度降

低了第一學段統計與概率內容的要求，對后兩個學段的內容

也做相關的調整，如中位數、眾數等內容從第二學段移到第

三學段。這樣使統計與概率內容在三個學段的要求上有明顯

區分，在難度上也表現一定的梯度。

（二）統計與概率的內容主線

統計與概率的內容主線，主要包括四方面的內容，第一是

數據分析過程；第二是數據分析方法；第三是數據的隨機性；

第四是隨機現象及簡單事件發生的概率。這四條主線很重要，

我們常說教知識不僅僅要教給學生一顆一顆的珍珠，還需要

把這些珍珠串成一條一條美麗的項鏈，顯然主線就是串這個

項鏈非常重要的方面。

我們可以看到課標每個學段的第一句話，都是提出了有關

過程的要求，顯然就成為了統計學習的最主要或者最首要的

一個主線，《標準》在三個階段都提出了相應的要求：在第

一學段中，提出“經歷簡單的數據收集和整理過程”；在第

二學段中，提出“經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據

的過程（可使用計算器）”。在第三學段中，提出“經歷收

集、整理、描述和分析數據的活動，了解數據處理的過程；

能用計算器處理較為復雜的數據”。

從三個學段的要求不難看到，首先過程都是重要的，第二

數據分析的過程可以包括收集、整理、描述和分析，另外隨

著年齡的差別，在要求上會有所差別，第一學段經歷簡單就

可以了，到第二學段稍微要把描述分析數據提出來是這樣一

個過程，為了使大家對這個過程，再加深理解，我們下面列

舉標準中的一個案例，來說明這個過程。

第一學段（《標準》例19）：對全班同學的身高進行調

查分析。

從以下的數據中可以得到哪些信息呢？

第1小組5128141

第2小組129138

第3小組3127146

第4小組8150152

第5小組125128

第6小組9148139

[說明]學校一般每年都要測量學生的身高，這為學習

統計提供了很好的數據資源，因此這個問題可以貫穿第一學

段和第二學段，根據不同學段的學生特點，要求可以有所不

同。希望學生把每年測量身高的數據都保留下來，養成保存

資料的習慣。在第一學段，主要讓學生感悟可以從數據中得

到一些信息。教學中可以作如下設計：

（1）指導學生將全班同學的身高進行匯總。

（2）從匯總后的數據中發現信息。比如，最高（最大

值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學的

身高是多少（眾數）等。在討論過程中，括號中的有些名詞

并不需要出現，但是希望學生體會數據所代表的意義。

（3）在整理中，可以讓學生嘗試創造靈活的方法。例

如，尋找最高，可以直接比較尋找，當學生人數比較多時，

也可以分組尋找組內最高，然后在每組的最高中尋找最高；

在考慮順序問題時，學生可能會有不同的排序方法。例如，

先找到最小（大）的，然后在剩余的數中再找到最小（大）

的，依次將這些數按從小（大）到大（小）的順序進行排序；

或者先固定一個數，拿第二個數與之比較，然后取第三個數

與前兩個數比較，根據它們之間的大小關系決定位置，這樣

繼續下去，最后將這些數排序。無論學生的出發點如何，只

要思路清晰、排序正確即可。

第二學段（《標準》例38）：對全班同學的身高的數

據進行整理和分析。

[說明]在上面的例子中，已經引導學生對全班同學的

身高的數據進行初步分析。在這個學段中，要求學生結合以

前積累的身高數據，進行進一步的整理，然后進行分析。整

理的目的是為了便于分析，例如，條形統計圖有利于直觀了

解不同高度段的學生數及其差異；扇形統計圖有利于直觀了

解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統計

圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身

高變化趨勢。學生還可以討論用什么數據來代表全班同學的

身高，自己的身高在全班的什么位置。

教學設計時，可以關注如下要點：

（1）組織學生討論并明確畫統計圖的基本標準。如果

學生意見不一致，可以根據意見的不同把學生分組，各自畫

出統計圖后進行比較。

（2）可以把幾年來全班同學平均身高的數據畫出折線

統計圖，讓學生與自己身高數據的折線圖進行分析比較。還

可以對男女生的身高數據進行分析和比較。

（3）組織學生討論用什么數據來代表全班同學的身高，

自己的身高在全班的什么位置。學生可以用平均身高作為代

表，用自己的身高與平均身高進行比較；可以用出現次數最

多的身高作為代表（“眾數”的意義），用自己的身高與其

相比；也可以用班級中等水平學生的身高作為代表（“中位

數”的意義），用自己的身高與其相比。學生只要能說出自

己的理由就可以，不需要出現“眾數”“中位數”等名詞（只

要求教師理解，不要求給學生講解）。

（4）雖然數據整理和分析的方法可以有所不同，但要

求分析的結論清晰，能夠更好地反映實際背景。

第三學段：比較自己班級與別的班級同學的身高狀況。

[說明]對于兩個班級學生身高狀況比較，通常可以通

過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數是不夠的，如果

一個班同學之間身高差異很大，而另一個班同學之間身高差

異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整

體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，

還需要參考方差。

同樣的一個內容，在不同的年級可以有不同的要求，第一

學段，要求的難度，就是在提取信息的數量上，要求并不是

非常的高，關鍵是讓他意識到，感悟到數據是信息，那么到

了第二學段，顯得這個要求又有所變化了，總之要讓學生經

歷數據的收集、整理、描述、分析的過程，要親自參與其中。

三、數據分析的方法

1．收集數據的方法

在收集數據的方法中我們要把握這么幾點：第一點就是我

們所涉及的數據，可能是全體數據，或者我們說總體數據，

也可能是通過抽樣獲得的數據，抽樣數據，在小學階段，學

生收集的基本上都是總體數據。

第二個就是數據的來源，實際上是有兩種，一種就是閱讀

別人現成的數據，比如說報刊資料上等等的數據，還有一點

就是需要自己的調查的數據，對于小學來說除了要看別人的

數據非常重要，也要自己要做一些調查數據，在這方面很多

老師都有非常好的經驗和設計好的例子，比如我看到一些課

堂中，老師們引入了讓一年級的孩子來統計換乳牙的情況，

或者讓有些同學來統計看電視的時間等等，值得注意的是如

果我們讓學生去收集自己調查的數據，一定要教給他們一些

方法，比如說我曾看到，有的學生并不知道什么叫乳牙，他

也不知道看電視的時間應該怎么統計，所以這樣以來呢，報

出來的數據就不夠真實，是比影響統計的效果，那我們可以

安排一些活動，讓學生在老師的指導下，或者在家長的幫助

下，讓他來去調查，這樣會更好。

常用的收集數據的方法包括這么幾方面：調查的方法、實

驗的方法、測量的方法、查閱資料的方法等等。總而言之，

學生應該對收集數據的方法有一個比較豐富的體驗，《課標》

無論在第一學段還是第二學段都提出了這樣的要求，比如說

在第一學段課標是這樣說的，要了解一些調查、測量等收集

數據的簡單方法。那么有的老師說這兩個好像也沒有太大區

別，其實嚴格意義上都是學生自己去做，當然我們可以這么

理解，調查就是學生去問問自己的同伴，那么測量呢，比如

說我們可以量量這個課桌有多長，我們量量我們班的課桌大

體上都是多長，包括我們在前面舉過的上學時間都可以理解

是測量。在第二學段，顯然又進了一步，要求學生能夠自己

來設計簡單的調查表，這跟第一學段相比有進一步的提高，

而且能夠選擇適當的方法了，就不僅僅是了解了，在選擇方

法中包括了我們說的調查，可以做一些測量，還可以做一些

試驗，比如說我們原來肯定做過的物理試驗，或者說呢有的

課上這樣讓學生做試驗，反彈高度，就不同高度拋一個球，

肯定起始高度越高，反彈高度一般情況下都會高，那么到底

是什么關系呢，這時候通過試驗來獲取一些數據。這三點都

是學生能夠自己獲得的。當然我們也要讓學生了解現成的數

據，也就是從報刊、雜質、電視等等媒體中呢，有意識的獲

得一些數據，那么總而言之應該對收集數據的方法有比較豐

富的體驗。

2．整理、描述、分析數據的方法

當人們收集了一堆數據以后，這些數據往往看起來比較雜

亂，這就需要來整理數據，在不損失信息的前提下，對看起

來雜亂無章的數據進行必要的歸納和整理，然后把整理后的

數據運用統計圖表等直觀地表示出來，并加以適當的分析，

為人們作出決策和推斷提供依據。

常用的收集數據方法包括調查、試驗、測量、查閱資料等。

學生應該對收集數據的方法都有比較豐富的體驗。為此，《標

準》在第一學段提出“了解調查、測量等收集數據的簡單方

法”；在第二學段提出“會根據實際問題設計簡單的調查表，

能選擇適當的方法（如調查、試驗、測量）收集數據”“能

從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數據信息”。

在第二學段，學生將學習條形統計圖、扇形統計圖、折線

統計圖等常見的統計圖，并且能用它們直觀、有效地表示數

據。第二學段還將學習一個重要的刻畫數據集中趨勢的統計

量——平均數。

統計圖可以很直觀反應數據，學生對統計圖中數據的分析

以及預測都是數據分析觀念的重要體現。對于統計圖的學習，

提出幾點需要注意的：第一，不要急于引入正規統計圖的學

習，在第一學段《標準》要求鼓勵學生用自己的方式來描述

數據。第二，在描述數據的過程中，使學生不斷體會各種統

計圖的特點，能根據實際問題選擇合適的統計圖來描述數據。

第三，鼓勵學生讀懂媒體中的一些統計圖表。第四，鼓勵學

生從統計圖中獲取盡可能地有用信息。

這個問題也是大家普遍困惑的，到底引導學生從哪些方面

來“讀圖”呢？

Curcio(1987)把學生對統計圖的認識分為三個水平：

（1）數據本身的讀取（readingthedata），包括用能

夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的

答案。(2)數據之間的讀取（readingbetweenthedata）。

這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對

數據進行操作(例如加減乘除)。(3)超越數據本身的讀

取（readingbeyondthedata），包括通過數據來進行推

斷預測推理，并回答具體的問題。

在實際教學中，教師已經開始重視鼓勵學生嘗試由信息來

進行預測。但是，在教學中還存在了一些誤區。比如，曾經

有過這樣的案例：如圖2，教師鼓勵學生根據某女生出生到

12歲的身高，由此去預測這個學生15歲的身高（圖2到

圖7中縱軸的身高單位為厘米）。

有的學生（雖然是很少數）脫離了數據去進行“預測”：

“我覺得她應該能長到190厘米，因為我希望她去打籃

球”。就是基于數據，學生也有五花八門的答案，有的說：

“8歲到10歲長了10厘米，10歲到12歲長了24

厘米，照這個趨勢12到14歲要長30多厘米，我估計她

到15歲要到2米了”；有的說：“8歲到10歲長了10

厘米，10歲到12歲長了24厘米，12歲到14歲又

會回到長10厘米，我估計她到15歲快到180厘米”；

還有的說：“到12歲就不怎么長了，我估計她到15歲差

不多170厘米。”面對五花八門的答案，教師也覺得都有

道理，不知如何引導。

這里需要注意兩點。第一，預測需要基于數據。對于脫離

數據進行“預測”的學生，要引導他用數據說話，雖然這個

預測也有可能，但可能性不會大；第二，有時候為了更合理

地預測，需要我們收集更多的數據。教師可以引導學生思考：

幾個學生的想法都有道理，但是要比較合理地預測，還需要

我們掌握更多的信息，比如，可以收集曾經和她差不多情況

的人15歲的身高來幫助預測；或者把她與當地女生平均身

高進行對比，看看12歲與平均身高的對比情況，由此預測

15歲與平均身高的對比情況。當然，無論哪種預測都不能肯

定是正確的，但會比單純依靠這個學生以前的情況進行預測

要合理。進一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵學生實際

去做。在這樣的思考下，一位老師做了如下的設計：根據統

計圖來進行“三次”預測。

第一次，教師呈現小婷（女生）出生到12歲的身高數據

（如圖2），鼓勵學生預測她15歲的身高。和前面敘述的

一樣，學生基于這個數據給出了不同答案。

教師沒有就此結束，而是給出了小婷15歲的身高，引起

學生的反思：“實際上，小婷今年已經15歲了，她的身高

是168厘米”，并得到圖3。

在此基礎上再鼓勵學生預測小婷18歲的身高。學生發現

小婷12—15歲增長的幅度不大，由此推斷15—18歲

增長的幅度也會不大。那么是這樣嗎？有的學生提出可以找

一些和小婷情況差不多的女孩，看看她們18歲時的身高。

根據學生的想法，教師呈現了如下三個女生的身高（如圖4，

圖5，圖6）鼓勵學生進行第二次預測。

學生發現雖然她們的身高具體數值不同，但15—18歲

變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預測小

婷到18歲很可能只比15歲時增長2厘米左右，即她18

歲的身高在170厘米左右。還有的同學發現小婷的身高值

與圖6所表示的女生比較接近，并且比這個女生略矮一些，

由此根據這個女生18歲171厘米預測小婷170厘米。

進一步，有的學生提出只有這三個女生的數據是否太少了，

不說明一般情況，還可以收集更多的數據。于是，教師給出

了北京城市女生平均身高統計圖（如圖7），鼓勵學生進行

第三次預測。

學生發現這組數據也有這個趨勢：15到18歲的身高增

長的不多，由此預測小婷的身高是170厘米左右。有的學

生則根據15歲時小婷的身高比平均身高多6厘米，由此

估計小婷18歲時也要多6厘米，所以是169厘米左右。

當然，這些預測也并不能保證一定正確。

以上“三次預測”的案例是鼓勵學生從數據中獲取合理信

息的有益嘗試，在實踐中我們還需要更多的案例，以及如何

鼓勵學生有效獲取信息的策略，這也構成了需要進一步研究

的問題。教學中應鼓勵學生運用所學習的方法，盡可能多地

從數據中提取有用的數據，并且能夠根據問題的背景選擇合

適的方法，而不是單純地名詞、計算方法等的掌握。需要我

們根據問題的背景選擇合適的統計圖。

總之，“統計學對結果的判斷標準是‘好壞'”，而不是

“對錯”。

3．關于統計教學的幾點建議

（1）發展學生的應用意識，感受統計的價值。

（2）教師要重視統計，并把發展學生的數據分析觀念的

培養作為重要的教學目標。

（3）切忌將統計的學習處理成單純數字計算和繪圖技能。

四、數據的隨機性及簡單隨機事件發生的可能性

1．數據隨機性的內涵

數據的隨機性主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每

次收集到的數據可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數

據就可能從中發現規律。

老師們存在這樣的困惑：概率也是研究隨機現象的，那么

為什么又提出數據的隨機性呢？

對于這個問題，史寧中教授這樣回答：我聽了一些課，

老師們經常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到

出現正面或反面的概率是1/2，然后讓學生通過反復擲硬幣

去驗證這個結果。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假

定它出現正面和反面的可能性是1/2，這是數學（或者稱為

概率）。這個1/2是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬

幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次實驗也得不到1/2，

反而更加糊涂了。第二，運用定義的方式教學隨機，不能很

好的培養學生的隨機觀念。需要指出的是，我們贊成做實驗，

贊成運用統計的思想來做實驗。統計是通過數據來獲取一些

信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在

統計上就會這樣設計實驗：先讓學生多次擲硬幣，計算出現

正面的比例（頻率），然后用頻率來估計一下出現正面的可

能性是多大。如果這個可能性接近1/2的話，就推斷這個硬

幣大概是均勻的，這是統計的思想。

2．合理設計實驗，體會數據的隨機性

《標準》中提出了“體會數據隨機”的想法，如何在課堂

中設計合理的實驗落實“體會數據隨機”的目的呢？一個好

的切入點是對目前課堂教學中的實驗加以分析，看看哪些實

驗的設計是合理的，哪些還需要進一步的思考和改進。

第一類：“驗證”類

下面是一個五年級的課堂教學片段：

老師拿出一個盒子，盒子里有9個白球、1個黃球。如

果從中任意摸出1個球，可能是什么顏色的球?摸到白球

的可能性有多大，黃球呢？

(學生略做思考后交流。)

生1：可能摸到白球，也可能是黃球。

生2：摸到白球的可能性是9/10，因為有10個球，

其中9個是白球。

（大家都表示同意）

師:好，下面就請你們分小組摸球，記錄摸球的結果，

驗證一下大家的想法。

本活動的目的是驗證摸到白球的概率是否為9/10，如前

所述是不提倡的。因為學生完全可以通過分析推理得到摸到

白球的概率，他們產生不了做實驗的需求。如果做了實驗，

摸到白球的頻率往往不是9/10，學生反而產生困惑，當然

也體會不到數據的作用了。

第二類：“體會隨機”類

看下面的一個二年級的課堂教學片段：

組織小組活動：盒子里有3個黃球、3個白球。每次摸

出1個，摸之前先猜猜你會摸到什么顏色的球?每次你都

猜對了么?

活動結束時，老師詢問:有沒有每次都猜對的同

學?(全班只有2人舉手。)

師:為什么我們那么多的同學都沒有猜對呢?

(此時，兩個猜對的同學急于向大家介紹方法。)

生1:黃球和白球摸在手里的感覺不一樣!

師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見識一下!

生1:(摸出一球，沒看前猜測)黃色!(拿出后是白

色，生1低頭坐了下去。)

師:怎么不試了?

生1：沒有信心了。

師:怎么就沒有信心了?

生1:摸在手里分辨不出來.

生2:我發現了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就

猜是白球，是交錯出現的。